![Тема урока: «Перпендикулярные прямые в пространстве» «Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости». «Перпендикулярность прямой и плоскости» Учитель МОУ СОШ №34 г. Комсомольска-на-Амуре Есина Е.В.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_0.jpg)
Тема урока:
«Перпендикулярные прямые в пространстве»
«Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости».
«Перпендикулярность прямой и плоскости»
Учитель МОУ СОШ №34
г. Комсомольска-на-Амуре
Есина Е.В.
![Цели урока:](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_1.jpg)
Цели урока:
- Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
- Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой;
- Дать определение перпендикулярности прямой и плоскости;
- Доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярности к плоскости.
![Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости? Какие прямые в планиметрии называются перпендикулярными ?](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_2.jpg)
- Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости?
- Какие прямые в планиметрии называются перпендикулярными ?
а
в
а
а
в
![Взаимное расположение двух прямых в пространстве а в n m с d m k](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_3.jpg)
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
а
в
n
m
с
d
m
k
![Дано: АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед, угол ВА D равен 30 0 . Найдите углы между прямыми АВ и А 1 D 1 ; А 1 В 1 и А D ; АВ и В 1 С 1 . В 1 С 1 А 1 D 1 С В 30 0 А D](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_4.jpg)
- Дано: АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед, угол ВА D равен 30 0 . Найдите углы между прямыми АВ и А 1 D 1 ; А 1 В 1 и А D ; АВ и В 1 С 1 .
В 1
С 1
А 1
D 1
С
В
30 0
А
D
![Модель куба. Как называются прямые АВ и ВС? В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут скрещиваться. Найдите угол между прямыми АА 1 и DC ; ВВ 1 и А D . D 1 С 1 В 1 А 1 D С А В](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_5.jpg)
Модель куба.
- Как называются
прямые АВ и ВС?
В пространстве
перпендикулярные прямые
могут пересекаться
и могут скрещиваться.
- Найдите угол между
прямыми АА 1 и DC ;
ВВ 1 и А D .
D 1
С 1
В 1
А 1
D
С
А
В
![Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными ( взаимно перпендикулярными ), если угол между ними равен 90 ° . Обозначается a ┴ b Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. c b а 7](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_6.jpg)
Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве
называются перпендикулярными
( взаимно перпендикулярными ),
если угол между ними равен 90 ° .
Обозначается a ┴ b
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
c
b
а
7
![Рассмотрим прямые АА 1 , СС 1 и DC . Если одна из параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. АА1 ǁ СС 1 ; DC СС 1 D 1 С 1 АА 1 DC А 1 В 1 D С А В](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_7.jpg)
Рассмотрим прямые АА 1 , СС 1 и DC .
Если одна из параллельных
прямых перпендикулярна
к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна
к этой прямой.
АА1 ǁ СС 1 ; DC СС 1
D 1
С 1
АА 1 DC
А 1
В 1
D
С
А
В
![Свойства : 1 . Если плоскость перпендикулярна одной](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_8.jpg)
Свойства :
1 . Если плоскость перпендикулярна одной
- из двух параллельных прямых,
- то она перпендикулярна другой
- прямой. ( a ⊥ α b и a II b = b ⊥ α )
- 2 . Если две прямые перпендикулярны
- одной и той же плоскости,
- то они параллельны. (a ⊥ α и b ⊥ α = a II b)
- 3 . Если прямая перпендикулярна
- одной из двух параллельных
- плоскостей, то она перпендикулярна
- и другой плоскости. ( α II β и a ⊥ α = a ⊥ β )
![](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_9.jpg)
Свойства :
- 4 . Если две различные плоскости
- перпендикулярны одной и той же прямой,
- то эти плоскости параллельны .
- (a ⊥ α и a ⊥ β = a II β )
- 5. Через любую точку пространства можно
- провести прямую, перпендикулярную
- данной плоскости, и притом только одну.
- 6. Через любую точку прямой можно
- провести плоскость, перпендикулярную ей
- и притом только одну.
![Найдите угол между прямой АА 1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, А D , АС, В D , М N . Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. 90 0 D 1 С 1 90 0 В 1 А 1 90 0 D 90 0 С М 90 0 А В N](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_10.jpg)
Найдите угол между прямой АА 1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, А D , АС, В D , М N .
Прямая называется
перпендикулярной к плоскости,
если она перпендикулярна к
любой прямой, лежащей
в этой плоскости.
90 0
D 1
С 1
90 0
В 1
А 1
90 0
D
90 0
С
М
90 0
А
В
N
![a α](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_11.jpg)
a
α
![Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Дано: прямая а параллельна прямой а 1 и перпендикулярна плоскости α . Доказать: а 1 α а 1 а х](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_12.jpg)
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Дано: прямая а параллельна прямой а 1 и
перпендикулярна плоскости α .
Доказать: а 1 α
а 1
а
х
![Проведем прямую х в плоскости . Так как а , то а х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а х. Т.о., прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , т.е. а .](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_13.jpg)
- Проведем прямую х в плоскости . Так как а , то а х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а х. Т.о., прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , т.е. а .
1
1
![Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. M c b а b 1](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_14.jpg)
Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
M
c
b
а
b 1
![Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. а А р Р l q Q O m L B](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_15.jpg)
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
- Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
а
А
р
Р
l
q
Q
O
m
L
B
![Применение признака перпендикулярности прямой и плоскости. Дан куб. Определи, какая из перечисленных в ответе прямых перпендикулярна названной плоскости? а) плоскости (ABC) перпендикулярна B1C1, AC1, BD1, AC, AA1, BD, AB б) плоскости (BDD1) перпендикулярна AC, AA1, B1C1, AC1, AB, BD1, BD](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_16.jpg)
Применение признака перпендикулярности прямой и плоскости. Дан куб. Определи, какая из перечисленных в ответе прямых перпендикулярна названной плоскости?
а) плоскости (ABC) перпендикулярна B1C1, AC1, BD1, AC, AA1, BD, AB
б) плоскости (BDD1) перпендикулярна AC, AA1, B1C1, AC1, AB, BD1, BD
![Две прямые, перпендикулярные одной плоскости. Прямая PQ параллельна плоскости α. От точек P и Q к плоскости проведены прямые PP1⊥α и QQ1⊥α. Известно, что PQ=PP1=19,8 см. Определи вид четырехугольника PP1Q1Q и найди его периметр. Ответ: 1. PP1Q1Q — 2. PPP1Q1Q= см](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_17.jpg)
Две прямые, перпендикулярные одной плоскости.
Прямая PQ параллельна плоскости α.
От точек P и Q к плоскости проведены прямые PP1⊥α и QQ1⊥α. Известно, что PQ=PP1=19,8 см.
Определи вид четырехугольника PP1Q1Q и найди его периметр.
Ответ:
1. PP1Q1Q —
2. PPP1Q1Q= см
![Перпендикулярность прямой к плоскости. Проведенная к плоскости перпендикулярная прямая пересекает плоскость в точке O. На прямой отложен отрезок AD, точка O является серединной точкой этого отрезка. Определи вид и периметр треугольника ABD, если AD= 24 см, а OB= 5 см (ответ округли до одной десятой). Ответ: 1. ΔABD — 2. PABD= см](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_18.jpg)
Перпендикулярность прямой к плоскости.
Проведенная к плоскости перпендикулярная прямая пересекает плоскость в точке O.
На прямой отложен отрезок AD, точка O является серединной точкой этого отрезка.
Определи вид и периметр треугольника ABD, если AD= 24 см, а OB= 5 см (ответ округли до одной десятой).
Ответ:
1. ΔABD —
2. PABD= см
![Прямые, перпендикулярные к плоскости. Две прямые образуют прямой угол с плоскостью α. Длина отрезка KN= 96,5cм , длина отрезка LM= 56,5 см. Рассчитай расстояние NM, если KL=41 см. NM= … см](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_19.jpg)
Прямые, перпендикулярные к плоскости.
Две прямые образуют прямой угол с плоскостью α.
Длина отрезка KN= 96,5cм , длина отрезка LM= 56,5 см.
Рассчитай расстояние NM, если KL=41 см.
NM= … см
![Перпендикуляр к плоскости квадрата. К плоскости квадрата ABCD со стороной 7 см через точку пересечения диагоналей O проведена прямая, перпендикулярная плоскости квадрата. На прямой отложен отрезок OK длиной 5 см. Рассчитай расстояние от точки K к вершинам квадрата (результат округли до одной десятой). KA= см KB= см KC= см KD= см](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_20.jpg)
Перпендикуляр к плоскости квадрата.
К плоскости квадрата ABCD со стороной 7 см через точку пересечения диагоналей O проведена прямая, перпендикулярная плоскости квадрата.
На прямой отложен отрезок OK длиной 5 см.
Рассчитай расстояние от точки K к вершинам квадрата (результат округли до одной десятой).
KA= см
KB= см
KC= см
KD= см
![Доказательство перпендикулярности скрещивающихся прямых. Известно, что в тетраэдре DABC ребро DA перпендикулярно ребру BC. На ребрах DC и DB расположены серединные точки K и L. Докажи, что DA перпендикулярно KL. Так как K и L — серединные точки DC и DB, то KL —…… треугольника CBD. 2. Средняя линия ….. третьей стороне треугольника, то есть BC. Если DA перпендикулярна одной из …… прямых, то она ….. и другой прямой.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_21.jpg)
Доказательство перпендикулярности скрещивающихся прямых.
Известно, что в тетраэдре DABC ребро DA
перпендикулярно ребру BC.
На ребрах DC и DB расположены
серединные точки K и L.
Докажи, что DA перпендикулярно KL.
- Так как K и L — серединные точки DC и DB,
то KL —…… треугольника CBD.
2. Средняя линия ….. третьей стороне треугольника, то есть BC.
Если DA перпендикулярна одной из …… прямых, то она ….. и другой прямой.
![Признак перпендикулярности прямой к плоскости. В тетраэдре DABC точка M серединная точка ребра CB. Известно, что в этом тетраэдре AC=ABDC=DB Докажи, что прямая, на которой находится ребро CB, перпендикулярна плоскости (ADM). 1. Определи вид треугольников. ΔABC — ΔDCB — 2. Какой угол образует медиана с основанием этих треугольников? Ответ: градусов. 3. Согласно признаку, если прямая к прямым в некой плоскости, то она к этой плоскости.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_22.jpg)
Признак перпендикулярности прямой к плоскости.
- В тетраэдре DABC точка M серединная точка ребра CB.
Известно, что в этом тетраэдре AC=ABDC=DB
Докажи, что прямая, на которой находится ребро CB, перпендикулярна плоскости (ADM).
1. Определи вид треугольников.
ΔABC —
ΔDCB —
2. Какой угол образует медиана с основанием этих треугольников?
Ответ: градусов.
3. Согласно признаку, если прямая к прямым в некой плоскости, то она к этой плоскости.
![Свойство прямой перпендикулярной к плоскости. Через вершину прямого угла C к плоскости прямоугольного треугольника ABC проведена перпендикулярная прямая KC. Точка D — серединная точка гипотенузы AB. Длина катетов треугольника AC = 48 мм и BC = 64 мм. Расстояние KC = 42 мм. Определи длину отрезка KD. KD =…. мм](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_23.jpg)
Свойство прямой перпендикулярной к плоскости.
Через вершину прямого угла C к плоскости прямоугольного треугольника ABC проведена перпендикулярная прямая KC.
Точка D — серединная точка гипотенузы AB.
Длина катетов треугольника AC = 48 мм и BC = 64 мм.
Расстояние KC = 42 мм. Определи длину отрезка KD.
KD =…. мм
![(сложное) Доказательство от противного. Прямая d перпендикулярна плоскости α и прямой m, которая не лежит в плоскости α. Докажи, что прямая m параллельна плоскости α. 1. Согласно данной информации, если прямая не лежит в плоскости, она может или быть …плоскости, или … плоскость. 2. Допустим, что прямая m не ….., а …..плоскость α. 3. Если прямая d по данной информации перпендикулярна плоскости α, то она …… каждой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой, которая проведена через точки, в которых плоскость пересекает прямые d и m. 4. Мы имеем ситуацию, когда через одну точку к прямой d проведены две …… прямые. 5. Это противоречие, из чего следует, что прямая m….. плоскости α, что и требовалось доказать.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_24.jpg)
(сложное) Доказательство от противного.
- Прямая d перпендикулярна плоскости α и прямой m, которая не лежит в плоскости α.
- Докажи, что прямая m параллельна плоскости α.
1. Согласно данной информации, если прямая не лежит в плоскости, она может или быть …плоскости, или … плоскость.
2. Допустим, что прямая m не ….., а …..плоскость α.
3. Если прямая d по данной информации перпендикулярна плоскости α, то она …… каждой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой, которая проведена через точки, в которых плоскость пересекает прямые d и m.
4. Мы имеем ситуацию, когда через одну точку к прямой d проведены две …… прямые.
5. Это противоречие, из чего следует, что прямая m….. плоскости α, что и требовалось доказать.
![Признак перпендикулярности прямой в расчетах расстояния до вершин квадрата.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_25.jpg)
Признак перпендикулярности прямой в расчетах расстояния до вершин квадрата.
![Домашнее задание П.15,16 Вопросы1,2 (стр.57) № 116,118](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/20/i_5a1298b650406/img_phptGS5Om_Perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve_26.jpg)
Домашнее задание
- П.15,16
Вопросы1,2 (стр.57)
№ 116,118