ДВУГРАННЫЙ УГОЛ
.
Основные задачи урока:
- Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла
- Рассмотреть задачи на применение этих понятий
Определение:
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
AF ⊥ CD
BF ⊥ CD
AFB -линейный угол двугранного угла ACDВ
Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.
Докажем, что все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
Рассмотрим два линейных угла АОВ и А 1 ОВ 1 . Лучи ОА и ОА 1 лежат в одной грани и перпендикулярны ОО 1 , поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и ОВ 1 также сонаправлены.
Следовательно, ∠ АОВ= ∠ А 1 ОВ 1 (как углы с сонаправленными сторонами).
Примеры двугранных углов:
Определение:
Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Задача 1:
В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1 .
Ответ: 90 o .
Задача 2:
В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1 .
Ответ: 45 o .
Задача 3:
В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1 .
Ответ: 90 o .
Задача 4:
В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1 .
Ответ: 90 o .
Задача 5:
В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями
BC 1 D и BA 1 D .
Решение:
Пусть О – середина ВD. A 1 OC 1 – линейный угол двугранного угла А 1 ВDС 1 .
Задача 6:
В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что ∠DMB – линейный угол двугранного угла BACD.
Решение:
Треугольники ABC и ADC правильные, поэтому, BM ⊥AC и DM⊥AC и, следовательно, ∠DMB является линейным углом двугранного угла DACB.
Задача 7:
Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ 1 . Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ=2, ∠ВАС=150 0 и двугранный угол ВАСВ 1 равен 45 0 .
Решение:
- АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС.
ВК – расстояние от точки В до АС.
ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α
2) Так как АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теореме , обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ∠ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ∠ВКВ 1 =45 0 .
3) ∆ВАК :
∠ А=30 0 , ВК=ВА·sin30 0 , ВК =1.
∆ ВКВ 1 :
ВВ 1 =ВК·sin45 0 , ВВ 1 =
Домашнее задание:
Параграф 3, п.22, №167, 169, с.57, вопросы 7-10.
