Вычисление площадей фигур по формуле Пика
"Геометрия - есть знание величин,
фигур и их границ, а также
отношений между ними
и производимых над ними операций,
разнообразных положений и движений"
Диа́дох Прокл
Основная часть Задача 1. 1 способ – по формуле
Решение:
- S АВС =1/2*2*1=1 (кв.ед.)
Ответ : 1 кв. ед.
Основная часть Задача 1. 2 способ - разбиение
Решение:
- S BDCE =1 * 3 = 3 (кв.ед.)
- S BDC = S BDCE : 2 = 3 : 2= = 1,5 (кв. ед.)
- S ACE = S AKCE : 2 =
= 1 * 1 : 2 = 0,5 (кв. ед.)
4. S ABC = S BACE - (S BDC + S ACE ) = 3 - (1,5 + 0,5) = 1 (кв. ед.)
Ответ : 1 кв. ед.
Как пользоваться разбиением?
Мы поняли, что вычислять площади фигур «достраиванием» или «разбиением» сложно и долго .
Есть другой способ для вычисления площади фигур на клетчатой бумаге, используя
Формулу Пика.
Создатель формулы
Георг Александр Пик -
(10. 09. 1859 – 13. 07. 1942)
– австрийский математик.
Им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций,
теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем . Широкую известность получила открытая им теорема Пика для расчёта площади многоугольника.
- Герг Алекса́ндр Пик— австрийский математик. Жил в Праге и преподавал в Немецком университете.
- Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчѐта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер в возрасте 82 лет.
S = В + Г : 2 – 1
В – внутренние узлы Г – граничные узлы
Алгоритм вычисления площади многоугольника
с помощью формулы Пика:
1) Отметить внутренние и граничные узлы.
2) Считаем количество внутренних узлов , граничных узлов .
3) Находим площадь фигуры по формуле:
S = В + Г : 2 - 1.
По формуле Пика
Решение:
В = 1 , Г = 8 S = 1 + 8 : 2 – 1= 4 (кв. ед.)
Ответ : 4 кв. ед.
вычислим её
площадь по Формуле Пика:
В = , Г = S = = (кв. ед.)
Ответ : кв. ед.
вычислим её
площадь по Формуле Пика:
В = 35 , Г = 10 S = 35 + 10 : 2 – 1= 39 (кв. ед.)
Ответ : 39 кв. ед.
2 способ:
Решение с помощью Формулы Пика:
Г = , В =
S = (кв. ед.)
Ответ : кв. ед.
2 способ:
Решение с помощью Формулы Пика:
Г = 6 , В = 3
S = 3 + 6 : 2 – 1 = 5 (кв. ед.)
Ответ : 5 кв. ед.
Задача 6
Решение с помощью Формулы Пика :
Г = , В = .
S= (кв. ед.)
Ответ : кв. ед.
Задача 6
Решение с помощью Формулы Пика :
Г = 8 , В = 0 .
S= 0 + 8 : 2 – 1 = 3 (кв. ед.)
Ответ : 3 кв. ед.
Задача 7
Решение с помощью Формулы Пика :
Г = , В = .
S =
(кв. ед.)
Ответ : кв. ед.
Задача 7
Решение с помощью Формулы Пика :
Г = 13 , В = 6 .
S = 6 + 13 : 2 – 1 = 11, 5
(кв. ед.)
Ответ : 11,5 кв. ед.
Формула Пика в пространстве
Формула Пика не применяется для решения задач
в пространстве .
Вывод:
Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры на клетчатой бумаге, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.
Задачи ЕГЭ
