Тела вращения и площади их поверхностей.

Презентация к уроку геометрии в 11 классе на тему "Тела вращения".

Олимпиады: История России 6 - 11 классы

Содержимое разработки

Откроем дверь в мир стереометрии, чтобы освоить основной материал по теме:   «Тела вращения»

Откроем дверь в мир стереометрии, чтобы освоить основной материал по теме:

«Тела вращения»

Слово

Слово "цилиндр" происходит от греческого kylindros , что означает "валик", "каток".

Определение . Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Цилиндрическая поверхность называется  боковой поверхностью цилиндра , а круги –  основаниями цилиндра . Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра , прямая ОО 1 – осью цилиндра . Длина образующей называется высотой цилиндра , а радиус основания – радиусом цилиндра .

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра , а круги – основаниями цилиндра .

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра , прямая ОО 1 осью цилиндра .

Длина образующей называется высотой цилиндра , а радиус основания – радиусом цилиндра .

Основание цилиндра – круги с центрами О и О 1 , тогда ОО 1 – ось цилиндра и ОО 1 = Н, Н – высота цилиндра, ОО 1 – перпендикуляр к плоскости оснований цилиндра. Точки А и А 1 , В и В 1 , Х и Х 1 – соответствующие точки. АА 1 и ВВ 1 – образующие цилиндра, отрезки, соединяющие соответствующие точки на окружностях оснований.  Н

Основание цилиндра – круги с центрами О и О 1 , тогда ОО 1 – ось цилиндра и ОО 1 = Н, Н – высота цилиндра, ОО 1 – перпендикуляр к плоскости оснований цилиндра.

Точки А и А 1 , В и В 1 , Х и Х 1 – соответствующие точки.

АА 1 и ВВ 1 – образующие цилиндра, отрезки, соединяющие соответствующие точки на окружностях оснований.

Н

Если образующие перпендикулярны плоскостям оснований, то цилиндр называется прямым . Рассмотрим круговой цилиндр. ОА=О 1 А 1 = R - радиус цилиндра.  Свойства прямого кругового цилиндра:  плоскости оснований цилиндра параллельны, т.е. пл. АОВ II пл. А 1 О 1 В 1 ;  образующие цилиндра параллельны и равны (АА 1 =ВВ 1 , АА II  1 ВВ 1 );  высота цилиндра равна образующей: Н=ОО 1 =АА 1 ;  цилиндр – тело вращения полученное при вращении прямоугольник вокруг одной стороны.

Если образующие перпендикулярны плоскостям оснований, то цилиндр называется прямым . Рассмотрим круговой цилиндр. ОА=О 1 А 1 = R - радиус цилиндра.

Свойства прямого кругового цилиндра:

плоскости оснований цилиндра параллельны, т.е. пл. АОВ II пл. А 1 О 1 В 1 ;

образующие цилиндра параллельны и равны (АА 1 =ВВ 1 , АА II 1 ВВ 1 );

высота цилиндра равна образующей: Н=ОО 1 =АА 1 ;

цилиндр – тело вращения полученное при вращении прямоугольник вокруг одной стороны.

Осевое сечение цилиндра Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси.

Осевое сечение цилиндра

Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси.

S осн =  R 2   S бок =2  RH   S полн =2S осн +S бок S полн =2  R 2 +2  RH V=S осн H V=  R 2 H  Н R К  оглавлению

S осн = R 2

S бок =2 RH

S полн =2S осн +S бок

S полн =2  R 2 +2 RH

V=S осн H

V=  R 2 H

Н

R

К оглавлению

Латинское слово conus заимствовано из греческого языка (konos - затычка, втулка, сосновая шишка). В XI книге

Латинское слово conus заимствовано из греческого языка (konos - затычка, втулка, сосновая шишка). В XI книге "Начал" даётся следующее определение: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник снова вернётся в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом . Евклид рассматривает только прямые конусы, лишь Аполлоний различает прямые и косые конусы .

S  S – вершина конуса, О – центр круга, лежащего в основание конуса. Отрезки S А и S В, которые соединяют вершину S с точками окружности основания, называются образующими конуса .  Конус называется прямым , если S О  пл. АОВ, ОА=ОВ – радиус конуса. S О – высота конуса . X O B A

S

S – вершина конуса, О – центр круга, лежащего в основание конуса. Отрезки S А и S В, которые соединяют вершину S с точками окружности основания, называются образующими конуса .

Конус называется прямым , если S О пл. АОВ, ОА=ОВ – радиус конуса. S О – высота конуса .

X

O

B

A

S Свойства прямого конуса: Образующие конуса равны SA = SB =,,,(из равенства треугольников SOA , SOB , ,,,по двум катетам); Так как SO  пл. AOB , то S О=Н кон ; Н l О R А Конус – тело вращения, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника около его катета как оси.   S ОА вращается около прямой а, содержащей катет S О, тогда  S ОА=90 0 и прямая S О – ось конуса. R =АО, Н= S О, А S = l  - образующая конуса.

S

Свойства прямого конуса:

Образующие конуса равны SA = SB =,,,(из равенства треугольников SOA , SOB , ,,,по двум катетам);

Так как SO пл. AOB , то S О=Н кон ;

Н

l

О

R

А

Конус – тело вращения, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника около его катета как оси.

S ОА вращается около прямой а, содержащей катет S О, тогда S ОА=90 0 и прямая S О – ось конуса. R =АО, Н= S О, А S = l - образующая конуса.

S Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.  B C O D A  С SD – сечение, CS = DS= l , CD – хорда в основании конуса.

S

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

B

C

O

D

A

С SD – сечение, CS = DS= l , CD – хорда в основании конуса.

S B C O D A В частности, сечение, проходящее через ось конуса, тоже равнобедренный треугольник. Это сечение называется осевым ,  А S В – осевое сечение, так как S А=АВ= l , АВ – диаметр и ось конуса S О лежит в плоскости А S В.

S

B

C

O

D

A

В частности, сечение, проходящее через ось конуса, тоже равнобедренный треугольник. Это сечение называется осевым , А S В – осевое сечение, так как S А=АВ= l , АВ – диаметр и ось конуса S О лежит в плоскости А S В.

S осн =  R 2 S бок =  RL S полн =S осн +S бок S полн =  R 2 +  RL V=1/3 . S осн . H V=1/3 .  R 2 H  H l R  К оглавлению

S осн = R 2

S бок = RL

S полн =S осн +S бок

S полн =  R 2 + RL

V=1/3 . S осн . H

V=1/3 .  R 2 H

H

l

R

К оглавлению

Однако оба слова

Однако оба слова "шар" и "сфера" происходят от одного и того же греческого слова "сфайра" - мяч.

При этом слово "шар" образовалось от перехода согласных сф в ш.

В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.  Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Луне, Солнцу, Земле и всем мировым телам.  Развивая взгляды Евдокса, он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер. Сфера всегда широко применялась в различных областях науки и  техники.

В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Луне, Солнцу, Земле и всем мировым телам.

Развивая взгляды Евдокса, он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер. Сфера всегда широко применялась в различных областях науки и техники.

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой (поверхностью, определяемой как геометрическое место точек пространства, удалённых на данное расстояние от одной точки). В XI книге

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой (поверхностью, определяемой как геометрическое место точек пространства, удалённых на данное расстояние от одной точки). В XI книге "Начал" Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. B O A О – центр шара, ОА=ОВ= R - радиус шара (сферы), АВ – диаметр. А и В – диаметрально противоположные точки. S c ф = 4  R 2

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

B

O

A

О – центр шара, ОА=ОВ= R - радиус шара (сферы), АВ – диаметр. А и В – диаметрально противоположные точки.

S c ф = 4 R 2

 Х О 1 О Теорема .  Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость .

Х

О 1

О

Теорема . Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость .

Доказательство.  Пусть  - секущая плоскость и О – центр шара. Проведем перпендикуляр ОО 1 на плоскость  , О 1  , тогда О 1 – основание этого перпендикуляра. x o 1  O Пусть  x  , где Х– произвольная точка шара, тогда отрезок О 1 Х лежит в плоскости  и ОО 1  О 1 Х, т.е.  ОО 1 Х=90 0 в  ОО 1 Х. По теореме Пифагора ОХ 2 =ОО 1 2  +О 1 Х 2. Так как ОХ   R , то  О 1 Х=  ОХ 2 - ОО 1 2     R 2  - ОО 1 2 , т.е. любая точка Х сечения шара плоскостью  находится от точки О 1 на расстоянии, не большем   R 2  -  ОО 1 2 ,т.е. эта точка принадлежит кругу с центром О 1 и радиусом  R 2  -  ОО 1 2 .

Доказательство.

Пусть - секущая плоскость и О – центр шара. Проведем перпендикуляр ОО 1 на плоскость , О 1  , тогда О 1 – основание этого перпендикуляра.

x

o 1

O

Пусть x  , где Х– произвольная точка шара, тогда отрезок О 1 Х лежит в плоскости и ОО 1 О 1 Х, т.е. ОО 1 Х=90 0 в ОО 1 Х. По теореме Пифагора ОХ 2 =ОО 1 2 1 Х 2. Так как ОХ R , то О 1 Х= ОХ 2 - ОО 1 2 R 2 - ОО 1 2 , т.е. любая точка Х сечения шара плоскостью находится от точки О 1 на расстоянии, не большем R 2 - ОО 1 2 ,т.е. эта точка принадлежит кругу с центром О 1 и радиусом R 2 - ОО 1 2 .

Верно и обратное утверждение : любая точка Х этого круга принадлежит шару, значит, сечением шара плоскостью является круг с центром в точке  О 1 . Теорема доказана.

Верно и обратное утверждение : любая точка Х этого круга принадлежит шару, значит, сечением шара плоскостью является круг с центром в точке О 1 . Теорема доказана.

 O Сечение шара  диаметральной плоскостью называется  большим кругом. Плоскость, проходя-щая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение сферы называется большой окружностью.

O

Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом.

Плоскость, проходя-щая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.

Сечение сферы называется большой окружностью.

Теорема.  Объем шара радиуса R равен 4/3  R 3 . Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О; введем декартову систему координат, приняв центр шара за начало координат. Плоскость ху пересекает шар по большому кругу, причем уравнение соответствующей окружности имеет вид: х 2 +у 2 = R 2 . Полуокружность, расположенная над осью Ох, задается уравнением: у=  R 2 –x 2 , где - R  х  R.

Теорема.

Объем шара радиуса R равен 4/3 R 3 .

Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О; введем декартову систему координат, приняв центр шара за начало координат. Плоскость ху пересекает шар по большому кругу, причем уравнение соответствующей окружности имеет вид: х 2 2 = R 2 .

Полуокружность, расположенная над осью Ох, задается уравнением: у= R 2 –x 2 , где - R х R.

Для нахождения объема шара воспользуемся общей формулой для вычисления объемов тел вращения криволинейной трапеции вокруг оси Ох. V = ∫  f 2 (x) dx , где f(x) - непрерывная функция, причем f(x)  0 при x   a ; b  . Таким образом, объем шара равен: V = ∫  (R 2 - x 2 ) dx , =   (R 2 x – x 3 /3) = ((R 3 – R 3 /3) - (-R 3 + R 3 /3))  = = 4 /3  R 3 .  Теорема доказана. Исследование  объема  шара.xls   b a R R  -R -R

Для нахождения объема шара воспользуемся общей формулой для вычисления объемов тел вращения криволинейной трапеции вокруг оси Ох.

V = f 2 (x) dx , где f(x) - непрерывная функция, причем f(x) 0 при x a ; b .

Таким образом, объем шара равен:

V = (R 2 - x 2 ) dx , = (R 2 x x 3 /3) = ((R 3 R 3 /3) - (-R 3 + R 3 /3)) =

= 4 /3 R 3 .

Теорема доказана.

Исследование объема шара.xls

b

a

R

R

-R

-R

Пример. Найдите объем шара, радиус которого равен 3см. Решение. Воспользуемся формулой для нахождения объема шара:  V= 4 /3  . 3 3 =  4  . 9=36  (c м 3 ) Ответ.  36  c м 3 .

Пример. Найдите объем шара, радиус которого равен 3см.

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения объема шара:

V= 4 /3 . 3 3 = 4 . 9=36 (c м 3 )

Ответ. 36 c м 3 .

Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы



Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки


Комплекты учителю



Качественные видеоуроки, тесты и практикумы для вашей удобной работы


Подробнее

Вебинары для учителей



Бесплатное участие и возможность получить свидетельство об участии в вебинаре.


Подробнее