Проектная работа по алгебре на тему "Математика в Древней Греции"

Проектная работа на тему:

«Математика в Древней Греции»

1) Понятие  древнегреческая математика  охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между  VI веком до н. э.  и  V веком н. э.

2) Математика как наука родилась в Древней Греции. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для  магических  ритуалов, имевших целью выяснить волю богов ( астрология ,  нумерология  и т. п.). Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули тезис « Числа правят миром ». Или, как сформулировал эту же мысль  Галилей  два тысячелетия спустя: « книга природы написана на языке математики ».

3) Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели:  астрономия ,  оптика ,  музыка ,  геометрия , позже —  механика . Всюду были отмечены впечатляющие успехи:  математическая модель  обладала неоспоримой предсказательной силой.

Введение:

Бо́льшая часть античных сочинений по математике не дошла до наших дней и известна только по упоминаниям позднейших авторов и комментаторов, в первую очередь  Паппа Александрийского  (III век),  Прокла  (V век),  Симпликия  (VI век) и др. Среди сохранившихся трудов в первую очередь следует назвать  «Начала»   Евклида  и отдельные книги  Аристотеля ,  Архимеда ,  Аполлония  и  Диофанта .

Источники:

Попп Александрийский

Вплоть до  VI века до н. э.  греческая математика ничем не выделялась. Были, как обычно, освоены счёт и измерение. Греческая нумерация (запись чисел), как позже римская, была аддитивной, то есть числовые значения цифр складывались. Первый её вариант ( аттическая , или  геродианова ) содержали буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная доска ( абак ) с камешками. Кстати, термин  калькуляция  (вычисление) происходит от  calculus   — камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль.

Начальный период:

Позднее (начиная с V века до н. э.) вместо аттической нумерации была принята алфавитная — первые 9 букв  греческого алфавита  обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки, остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10000.

Аристотель

В  VI веке до н. э.  начинается «греческое чудо»: появляются сразу две научные школы —  ионийцы  ( Фалес Милетский ,  Анаксимен ,  Анаксимандр ) и  пифагорейцы . О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по упоминаниям позднейших авторов, преимущественно комментаторов  Евклида ,  Платона  и  Аристотеля .

Фалес , богатый купец, хорошо изучил  вавилонскую математику  и астрономию — вероятно, во время торговых поездок.  Ионийцы , по сообщению  Евдема Родосского , дали первые доказательства нескольких простых геометрических  теорем  — например, о том, что  вертикальные углы  равны [4] . Однако главная роль в деле создания античной математики принадлежит  пифагорейцам .

Фалес

-Пифагор , основатель школы — личность легендарная, и достоверность дошедших до нас сведений о нём проверить невозможно. Видимо, он, как и Фалес, много путешествовал и тоже учился у  египетских  и  вавилонских  мудрецов.

Пифагорейская школа:

Пифагор

  Вернувшись около 530 г. до н. э. в  Великую Грецию  (район южной Италии), он в городе  Кротон  основал нечто вроде тайного духовного ордена. Именно он выдвинул тезис « Числа правят миром », и с исключительной энергией занимался его обоснованием.

В начале V в. до н. э., после неудачного политического выступления, пифагорейцы были изгнаны из Южной Италии, и союз прекратил своё существование, однако популярность учения от рассеяния только возросла. Пифагорейские школы появились в  Афинах , на островах и в греческих колониях, а их математические знания, строго оберегаемые от посторонних, сделались общим достоянием.

Многие достижения, приписываемые Пифагору, вероятно, на самом деле являются заслугой его учеников.  Пифагорейцы  занимались  астрономией ,  геометрией ,  арифметикой (теорией чисел) , создали  теорию музыки . Пифагор первый из европейцев понял значение аксиоматического метода, чётко выделяя базовые предположения ( аксиомы , постулаты) и дедуктивно выводимые из них  теоремы .

Геометрия пифагорейцев в основном ограничивалась  планиметрией  (судя по дошедшим до нас позднейшим трудам, очень полно изложенной) и завершалась доказательством « теоремы Пифагора ». Хотя изучались и  правильные многогранники .

Была построена математическая теория  музыки . Зависимость музыкальной  гармонии  от отношений целых чисел (длин струн) была сильным аргументом пифагорейцев в пользу исконной  математической гармонии  мира, спустя 2000 лет воспетой  Кеплером . 

Кеплер

Они были уверены, что « элементы чисел являются элементами всех вещей… и что весь мир в целом является гармонией и числом » [5] . В основе всех законов природы, полагали пифагорейцы, лежит арифметика, и с её помощью можно проникнуть во все тайны мира. В отличие от геометрии, арифметика у них строилась не на аксиоматической базе, свойства натуральных чисел считались самоочевидными, однако доказательства теорем и здесь проводили неуклонно. Понятия нуля и  отрицательных чисел  ещё не возникли.

Пифагорейцы далеко продвинулись в  теории делимости , но чрезмерно увлеклись « треугольными », « квадратными », « совершенными » и т. п. числами, которым, судя по всему, придавали мистическое значение. Видимо, правила построения « пифагоровых троек » были открыты уже тогда; исчерпывающие формулы для них приводятся у  Диофанта .

Теория  наибольших общих делителей  и  наименьших общих кратных  тоже, видимо, пифагорейского происхождения. Они построили общую теорию дробей (понимаемых как отношения ( пропорции ), так как единица считалась неделимой), научились выполнять с дробями сравнение (приведением к общему знаменателю) и все 4 арифметические операции. Пифагорейцы знали, задолго до « Начал »  Евклида , деление целых чисел с остатком и « алгоритм Евклида » для практического нахождения  наибольшего общего делителя .  Непрерывные дроби  как самостоятельный объект выделили только в Новое время, хотя их неполные частные естественным путём получаются в алгоритме Евклида

Это интересно:

После Аполлония (со  II века до н. э. ) в античной науке начался спад. Новых глубоких идей не появляется. В  146 году до н. э.  Рим захватывает Грецию, а в  31 году до н. э.  — Александрию.

Среди немногочисленных достижений:

открытие  конхоиды  ( Никомед );

известная  формула Герона  для площади треугольника ( I век  н. э.);

содержательное исследование  сферической геометрии   Менелаем Александрийским ;

завершение геоцентрической модели мира Птолемея ( II век  н. э.), для чего потребовалась глубокая разработка плоской и сферической  тригонометрии .

Необходимо отметить деятельность  Паппа Александрийского  ( III век ). Только благодаря ему до нас дошли сведения об античных учёных и их трудах.

На фоне общего застоя и упадка резко выделяется гигантская фигура  Диофанта  — последнего из великих античных математиков, «отца алгебры».

После  III века  н. э. александрийская школа просуществовала около 100 лет — приход христианства и частые смуты в империи резко снизили интерес к науке. Отдельные учёные труды ещё появляются в Афинах, но в  529 году   Юстиниан  закрыл Афинскую академию как рассадник язычества.

Упадок античной науки

Греческая математика поражает прежде всего  красотой  и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры — у Диофанта, аналитическая геометрия — у Аполлония и т. д. Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов [9] .

Первое — греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики.

Второе — они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.

В этих двух отношениях античная математика вполне современна.

Заключение:

Спасибо за внимание!