Комбинаторика – это интересно

Комбинаторика – это интересно

Содержание

Введение 2

1 Теоретическая часть 4

1.1 Комбинаторика в древности 5

1.2 Этапы развития комбинаторики 6

1.3 Основы комбинаторики 6

2 Практическая часть 7

2.1 Социологический опрос 8

2.2 Применение комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности 9

Заключение 11

Литература 12

Приложение 1 13

Приложение 2 14

Приложение 3 15

Приложение 4 16

Введение

Если вы хотите участвовать в большой жизни,

то наполняйте свою голову математикой, пока

есть к тому возможность. Она окажет вам

потом огромную помощь во всей вашей работе.

(М.И. Калинин) 

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются различные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVII веке. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. Первые комбинаторные задачи касались азартных игр, так как возникало много вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре.

Основа хорошего понимания комбинаторики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач.

Нам часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать, складываются в самые разнообразные комбинации.

Меня заинтересовала данная тема. Мне захотелось больше узнать о комбинаторике, о практической значимости комбинаторных задач в нашей жизни.

Я думаю, что выбранная мною тема является актуальной, потому что комбинаторные задачи могут дать ответ на многие вопросы, связанные с практической деятельностью людей. Из года в год растет потребность в комбинаторных величинах представителям многих специальностей: экономистам, химикам, биологам, логистам, специалистам в области защиты информации и т. д.

Практическая значимость заключается в том, что используя полученные знания, мы развиваем математические способности, логическое мышление и имеем возможность применять их в различных сферах жизнедеятельности.

Цель работы:

• расширить область математических знаний;

• показать, что область комбинаторики широко применяется в различных сферах жизнедеятельности;

• провести социологический опрос для определения знаний области применения комбинаторики.

Гипотеза: комбинаторика имеет широкий спектр практической направленности.

Задачи:

• изучить историю развития комбинаторики;

• систематизировать материал о комбинаторике;

• провести анкетирование студентов техникума;

• показать практическое применение комбинаторики.

Методы исследования: общетеоретические, сбор информации, анкетирование, анализ.

Научная новизна работы заключается в том, что владея основными понятиями комбинаторики их можно использовать при изучении других дисциплин, а так же элементы комбинаторики могут использоваться при решении различных жизненных ситуациях.

Комбинаторика превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки и имеет широкий спектр практической направленности.

1 Теоретическая часть

1.1 Комбинаторика в древности

С задачами, получившими название комбинаторных, оказывается, люди сталкивались в глубокой древности. С задачами, в которых приходится выбирать иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, наилучшие расположение охотников во время охоты, воинов во время битвы. Определенным образом располагались украшения на одежде, узоры на керамике, перья в оперении стрелы.

Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т.д. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.

Первое упоминание о вопросах, близких к комбинаторным, встречается в китайских рукописях, относящихся к 12-13 вв. до н. э. В этих книгах писалось, что все в мире является сочетанием двух начал - мужского и женского, которое авторы обозначали символами --- и -- --. В рукописи "Же Ким" ("Книга перестановок") показаны различные соединения этих знаков по два и по три. По мере углублений знаний понадобилось выразить и другие элементы мироздания с помощью тех же знаков --- и -- --. Были составлены 64 фигуры, содержавшие уже пять рядов черточек. Надо полагать, что автор рукописи "Же Ким" заметил удвоенно числа рисунков при добавлении одного ряда символов. Это можно рассматривать как первый общий результат комбинаторики.

Античные греки также рассматривали отдельные комбинаторные задачи, хотя систематическое изложение ими этих вопросов, если оно и существовало, до нас не дошло. Хрисипп (III век до н.э.) и Гиппарх (II век до н.э.) подсчитывали, сколько следствий можно получить из 10 аксиом; методика подсчёта нам неизвестна, но у Хрисиппа – более миллиона, а у Гиппарха – более 100000. Аристотель при изложении своей логики безошибочно перечислил все возможные типы трёхчленных силлогизмов. Аристоксен рассмотрел различные чередования длинных и коротких слогов в стихотворных размерах. Какие-то комбинаторные правила пифагорейцы, вероятно использовали при построении своей теории чисел и нумерологии(совершенные числа, фигурные числа, пифагоровы тройки и др.).

В XII веке индийский математик Бхаскара в своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями.

Несколько комбинаторных задач содержит «Книга абака» (Фибоначчи, XIII век). Например, он поставил задачу найти наименьшее число гирь, достаточное для взвешивания любого товара весом от 1 до 40 фунтов.

1.2 Этапы развития комбинаторики

Комбинаторика становится наукой в семнадцатом веке. Изучением комбинаторных задач занимались французские математики Б. Паскаль и П.Ферма.

Термин «комбинаторика» придумал Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716), который в 1665 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве», в котором впервые был дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Именно В. Лейбниц выделил комбинаторику как самостоятельную ветвь науки.

В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое).

Мечтой Лейбница, оставшейся так и неосуществлённой, оставалась построение общей комбинаторной теории. Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение.

В историю зарождавшейся теории вероятностей вошла переписка заядлого игрока шевалье де Мерэ с Пьером Ферма и Блезом Паскалем, где были затронуты несколько тонких комбинаторных вопросов. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии – как для разработки шифров, так и для их взлома.

Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века). Паскаль, в отличии от предшественников, строго изложил и доказал свойство этого треугольника. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики.

Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш, который ввёл в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования.

1.3 Основы комбинаторики

Важную область комбинаторики составляет теория перечислений. С ее помощью можно подсчитать число решений различных комбинаторных задач.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении количества комбинаций используют формулы комбинаторики:

1. Размещения: пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов. Из определения вытекает, что n ≥ k ≥ 0 и что размещения из n элементов по k элементов – это всё k – элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования.

В комбинаторных задачах необходимо уметь подсчитывать число всех возможных размещений из n элементов по k элементов. Для обозначения этого числа применяется специальный символ (читается: «число размещений из n по k» или «А из n по k»). В общем случае на вопрос о числе размещений из n элементов по k элементов даёт ответ следующая формула:

= n (n – 1) (n – 2) …(n – k + 1), k › 0, (1)

2) Перестановки: размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов. Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов. Число перестановок из n элементов обозначают через Р_n.

В общем случае число перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

Р_n = n (n – 1) (n – 2) …(n – n + 1) = n!. (2)

3) Сочетания: пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетания из n элементов по k элементов – это все k-элементные подмножества n-элементного множества, причём различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, не считаются различными.

Число всех сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом (читается: «число сочетаний из n по k»). В общем случае число сочетаний из n элементов по k элементов определяется следующей формулой:

(3)

2 Практическая часть

В повседневной жизни нередко перед нами возникают про­блемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариан­тов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

2.1 Социологический опрос

С целью определения знаний области применения комбинаторики, мною проведен социологический опрос студентов техникума (количество опрошенных – 60 человек) по следующим вопросам:

1. Знаете ли вы что такое комбинаторика?

2. Как часто вы применяете знания по комбинаторике?

3. В каких областях своей жизни вы используете знания по комбинаторики?

Результаты анкетирования:

В результате проведенных исследований можно сделать вывод, что подавляющее большинство респондентов имеют определенный багаж знаний в области комбинаторики и могут практически применить их в различных жизненных ситуациях.

2.2 Применение комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности

Все мы, по сути – комбинаторы. Ежедневно что - то пробуем, ошибаемся, находим более удачные комбинации:

• Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали все более и более сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Одним из простейших шифров была «тарабарская грамота», в которой буквы заменялись другими по определенным правилам. Однако такие шифры легко разгадывались по характерным сочетаниям букв. Поэтому стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т. д. Шифрами пользовались не только дипломаты и заговорщики, но и сами ученые, чтобы защитить свое авторское право на свои открытия. Иероглифы и клинопись. Навыки в разгадке сложных шрифтов помогли ученым, когда археологи стали откапывать камни и черепки с таинственными знаками — письменностью, замолкшей несколько тысячелетий тому назад.

• Вся наша жизнь состоит из множества  разнообразных программ. Чтобы запустить ту или иную программу нужно ввести соответствующий верный пароль.  В качестве пароля, в зависимости от рода программы,  могут выступать всевозможные цифры, слова или комбинации слов. Имея страницы в социальных сетях или электронную почту, у нас у каждого есть пароль входа, который состоит из различных комбинаций цифр и букв.

• Игра в шашки или шахматы. В каждой из этих игр приходится рассматривать различные сочетания передвигаемых фигур, и выигрывает тот, кто их лучше изучил, знает выигрывающие комбинации. Цикл комбинаторных задач на шахматной доске связан с подсчетом числа расположений шахматных фигур, при которых они могут бить друг друга или, наоборот, не могут бить друг друга. Ясно, что эти числа взаимосвязаны – ведь общее количество расположений двух фигур можно подсчитать по формуле размещений.

• А тот, кто занимается вязанием, использует различные комбинации лицевых и изнаночных петель. Чередуя в одном ряду лице­вые и изнаночные петли, полу­чается различный узор.

• В турнире по волейболу участвуют пять команд первого курса техникума. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? В итоговой таблице турнира команды будут отличаться занятыми местами, поэтому для подсчета вариантов распределения мест между ними воспользуемся формулой перестановки.

• Составление расписаний. У нас на первом курсе мы изучаем 11 предметов. Секретарь может составить расписание занятий на один день, если в учебный день три предмета методом сочетания. И таких вариантов много.

• Дизайнеры, декораторы, модельеры тоже тем и занимаются, что комбинируют формы, цвета, фигуры.

• Комбинаторные навыки полезны и в часы досуга. Появление большого количества компьютерных игр требуют от нас умение рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. В каждой игре приходится рассматривать различные сочетания передвигаемых фигур и выигрывает тот, кто их лучше изучил выигрышные комбинации.

Заключение

В результате исследования данной темы я, прежде всего, ознакомился с историей возникновения и выделения в самостоятельную область математики – науки комбинаторики.

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. Человек, обладающий логическим мышлением, всегда найдет лучшее решение в конкретной ситуации, а, значит, будет более успешным в любой сфере деятельности.

И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае. Комбинаторика имеет огромное значение в различных областях науки и сферы.

Рассмотрев использование комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности, я постарался показать практическую значимость комбинаторики как области математики. Таким образом, я подтвердил гипотезу: комбинаторика – это раздел математики, имеющий широкий спектр практической направленности. Область применения комбинаторики практически не знает границ.

Поставленные цели и задачи выполнены полностью.

В ходе работы над выбранной темой я узнал много интересного, вышел за рамки предмета. Тема «Комбинаторика» актуальна, современна, имеет широкое применение.

Завершив работу на данную тему, я пришел к выводу о том, что, что комбинаторные задачи сопровождают человечество на протяжении всей истории, переплетаясь с искусством и наукой, что математике присущ элемент игры, которая тренирует интеллект и развивает самые различные способности, особенно творческие.

В любой творческой деятельности человека: в учебе, труде и игре - необходимы внимание, смышленость и умение логически мыслить.

Литература

1. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 2000.

2. Андреева Е. В. «Комбинаторные задачи», Москва «Чистые пруды», 2005.

3. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир, 1998.

4. Грэхем Р., Кнут Д.А., Паташник О. Конкретная математика. Москва « Мир», 1998.

5. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия / Под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. М: Наука, 1998, T.1-3.

6. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. М.: Мнемозина, 2005.

7. Перельман Я.И. «Занимательная алгебра. Занимательная геометрия.» Москва, АСТ «Астрель», 2002.

8. Рыбников К.А. История математики. М.: МГУ, 2001.

9. Савин А. П. «Энциклопедический словарь юного математика», Москва «Педагогика», 1985.

10. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 2005.

Приложение 1

На завтрак можно выбрать булочку, кекс, пряники или печенье, запить можно чаем, соком или кефиром.

Можно выбрать 12 вариантов завтрака.

Приложение 2

В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 стульев. Было решено, каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти 6 стульев по - новому.

720 дней члены семьи смогут сидеть по-разному за кухонным столом.

Разработка интерьеров детского сада с элементами комбинаторики

Приложение 3

Комбинаторика в азартных играх

Приложение 4

Работы по расшифровке генома человека, который содержит более 20 тысяч различных генов, проводились с использованием компьютерных технологий и путем перебора различных вариантов