Решение заданий площади многоугольников по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 9,11 класс http:// mathege.ru/or/ege/Main.html
Теорема Пика
Пусть L − число целочисленных точек внутри многоугольника, B − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика:
S = L + B/2 – 1
1см
Пример 1.
Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки),
B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому
S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.
Теорема Пика
1см
Пример 2.
L = 18 (красные точки),
B = 10 (синие точки), поэтому
S = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц.
Площадь прямоугольного треугольника
Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S − его площадь.
Тогда справедливы формулы:
1
1
S = ab
S = ch
2
2
a
h
c
b
Площадь произвольного треугольника
Пусть а − сторона треугольника, h а – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
1
S = ah a
2
h a
h a
a
a
Площадь параллелограмма
Пусть а − сторона параллелограмма, h а – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
S = ah a
h a
h a
a
a
Площадь трапеции
Пусть а и b − основания трапеции, h – высота,
S − площадь трапеции.
Тогда справедлива формула:
a + b
S = h
2
a
a
h
h
b
b
Площадь четырехугольника
Пусть d 1 и d 2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
1
S = d 1 d 2 sin α
2
d 1
α
α
d 1
d 2
d 2
Задания открытого банка задач
1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
3
Решение:
7
1см
Ответ: 10,5.
Задания открытого банка задач
2. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
4
h a
8
1см
Ответ: 16.
Задания открытого банка задач
3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
h a
3
8
1см
Ответ: 12.
Задания открытого банка задач
4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
1см
4
h a
6
Ответ: 12.
Задания открытого банка задач
5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
1см
3
h a
8
Ответ: 12.
Задания открытого банка задач
6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
8
Решение:
1
9
8
2
6
Ответ: 33.
8
1см
Задания открытого банка задач
7. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
1
7
Решение:
4
9
5
Ответ: 15,5.
8
1см
Задания открытого банка задач
8. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
7
Решение:
1
по теореме Пифагора:
а
а
1см
Ответ: 50.
Задания открытого банка задач
9. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
6
по теореме Пифагора:
2
b
3
а
1
1см
Ответ: 20.
Задания открытого банка задач
10. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
4
8
1см
Ответ: 16.
Задания открытого банка задач
11. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
4
5
3
1см
Ответ: 17,5.
8
Задания открытого банка задач
12. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
4
6
1см
Ответ: 8.
8
Задания открытого банка задач
13. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
5
4
1см
Ответ: 30.
8
Задания открытого банка задач
14. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
2
7
1см
Ответ: 36.
4
Задания открытого банка задач
15. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
7
1см
Ответ: 28.
Задания открытого банка задач
17. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
3
5
Решение:
2
9
7
Ответ: 25,5.
8
1см
7
Задания открытого банка задач
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: (1 способ)
3
1см
2
Ответ: 13,5.
9
Задания открытого банка задач
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: (2 способ)
S 2
4
7
S 3
2
1
1см
S 4
2
Ответ: 13,5.
Задания открытого банка задач
19. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
8
Решение:
6
9
3
Ответ: 51.
2
6
1см
Задания открытого банка задач
20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
2
Решение:
5
9
Ответ: 31.
8
1см
Задания открытого банка задач
21. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
8
2
7
5
2
3
Ответ: 33,5.
1см
Задания открытого банка задач
22. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
8
Решение:
3
8
5
5
3
Ответ: 24.
1см
Задания открытого банка задач
23. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
8
Решение:
4
7
3
5
3
Ответ: 14,5.
1см
31
Задания открытого банка задач
24. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
7
3
2
8
Ответ: 18.
1см
32
4 √ 2
4 √ 2
Задания открытого банка задач
25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: (1 способ)
Площадь четырехугольника
(в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4 √ 2, а синус угла между ними равен 1.
Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16.
4
4
4
4
1см
Ответ: 16.
33
Задания открытого банка задач
25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: (2 способ)
L = 15 (красные точки),
B = 4 (синие точки), тогда по теореме Пика
S = L + B/2 – 1
S = 15 + 4/2 – 1 = 16
Ответ: 16.
1см
34
Задания открытого банка задач
26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: (1 способ)
6
3
4
5
5
9
5
4
Ответ: 19,5.
9
1см
35
Задания открытого банка задач
26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: (2 способ)
L = 16 (красные точки),
B = 9 (синие точки), тогда по теореме Пика
S = L + B/2 – 1
S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5
Ответ: 19,5.
1см
36
Используемые материалы
- http://mathege.ru/or/ege/Main.html − Материалы открытого банка заданий по математике
