ОПОРНЫЕ КОНСПЕКТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ (теоретический материал)
для учащихся 7 класса
-
Смежные углы
-
Вертикальные углы
-
Первый признак равенства треугольников
-
Второй признак равенства треугольников
-
Третий признак равенства треугольников
-
Признаки параллельности прямых
-
Свойства параллельных прямых
-
Равнобедренный треугольник. Равносторонний треугольник. Свойства равнобедренного треугольника.
-
Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника
-
Сумма углов треугольника
1.СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
Определение. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
Теорема. Сумма смежных углов равна 180.
Дано: АОВ и ВОС – смежные.
Доказать: АОВ + ВОС = 180.
Доказательство
АОВ+ВОС=АОС, АОС – развёрнутый, значит, АОВ+ВОС = 180, что и требовалось доказать.
Следствие. Если смежные углы равны, то они прямые.
Дано: АОВ и ВОС – смежные. АОВ = ВОС.
Доказать: АОВ и ВОС – прямые.
Доказательство
АОВ + ВОС=180, АОВ = ВОС = = 90, значит, АОВ и ВОС – прямые, что и требовалось доказать.
2.ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Теорема. Вертикальные углы равны.
Дано: 1 и 3, 2 и 4 – вертикальные.
Доказать: 1 = 3, 2 = 4.
Доказательство
1 и 2, 3 и 2 – смежные, значит
аналогично , ч. т. д.
Определение. Угловая мера меньшего из вертикальных углов называется углом между прямыми.
Угол между пересекающимися прямыми.
3.ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ABC;
Доказать: ABC =
Доказательство:
А = А1, поэтому можно наложить ABC на
А1В1С1, так что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1.
АВ = А1В1 | АС = А1С1 |
|
|
|
| ||
АВ | АС | В | С | ВС |
| ||
Совместятся при наложении |
| ||||||
А1В1 | А1С1 | В1 | С1 | В1С1 |
|
Т. о., АВС =
А1В1С1, ч. т. д.
4.ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: АВС,
А1В1С1, АВ = А1В1, А = А1, В = В1.
Доказать: АВС =
А1В1С1.
Доказательство
АВ = А1В1, поэтому можно наложить АВС на
А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, сторона АВ – со стороной А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1.
А = А1 | В = В1 |
|
|
|
| |
Луч АС | Луч ВС | С = АС ВС | АС | ВС | АВС | |
Совместятся при наложении | ||||||
Луч А1С1 | Луч В1С1 | С1 = А1С1 В1С1 | А1С1 | В1С1 | А1В1С1 |
Т. о., АВС =
А1В1С1, ч. т. д.
5.ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: АВС,
А1В1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1.
Доказать: АВС =
А1В1С1.
Доказательство
АВ = А1В1, поэтому можно приложить АВС к
А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В – с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.
Возможны три случая: луч С1С проходит внутри ; луч С1С проходит вне А1С1В1; луч С1С совпадает с одной из сторон
.
6.ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Дано: а с = А, b с = В, 1 и 2 накрест лежащие, 1 = 2
Доказать: а || b.
-
Если 1 = 2 = 90, то a АВ и b АВ, тогда а || b.
-
Пусть углы 1 и 2 не прямые.
-
Разделим отрезок АВ пополам, получим О.
-
Проведем ОН a.
-
На прямой b от точки В отложим ВН1 = АН и проведем отрезок ОН1.
-
ОНА =
ОН1В по двум сторонам и углу между ними (ОА = ОВ, АН = ВН1, 1 = 2).
-
3 = 4, 5 = 6 = 90
-
3 = 4, поэтому точки Н1, О1, Н лежат на одной прямой.
-
а НН1 и b НН1, значит, а || b, ч. т. д.
Рассмотрим особо пункт 6.
Пусть точки Н, О и Н1 не лежат на одной прямой, тогда продолжим ОН, получаем: НМ АВ = О. НОА = ВОМ как вертикальные, но НОА = ВОН1, значит, ВОМ = ВОН1 и лучи ОН1 и ОМ совпадают.
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
| Дано: а с, b с, 1 и 2 соответственные. 1=2. Доказать: а || b. |
Доказательство
-
2 = 3 как вертикальные.
-
2 = 1 по условию.
-
Значит, 1 = 3.
-
Но 1 и 3 накрест лежащие, поэтому а || b, ч. т. д.
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.
| Дано: а с, b c. 1 и 4 – односторонние. 1 + 4 = 180. Доказать: а || b. |
Доказательство
-
3 и 4 – смежные, значит, 3 + 4 = 180.
-
1 + 4 = 180 по условию.
-
Отсюда 1 = 3.
-
Но 1 и 3 накрест лежащие, поэтому а || b, ч. т. д.
7.СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
| Дано: а || b. а с = М. b с = N. 1 и 2 накрест лежащие. Доказать: 1 = 2. |
Доказательство
(методом от противного)
-
Пусть 1
2, тогда...
-
Отложим от луча МN угол РМN, равный углу 2 так, чтобы РМN и 2 были накрест лежащие при пересечении прямых РМ и в секущей МN.
РМN = 2 РМ || b. Мы получили, что РМ а, РМ || b и а || b, что противоречит аксиоме параллельных.
-
Поэтому 1 = 2, ч. т. д.
Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
| Дано: а || b. с а Доказать: с b. |
Доказательство
-
с а, а || b с b
-
1 = 2 как накрест лежащие при параллельных a, b и секущей с.
-
1 = 902=90, т. е. с b, ч. т. д.
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
| Дано: а || b; с а; с b. 1 и 2 накрест лежащие. Доказать: 1 = 2. |
Доказательство
-
а || b, поэтому 1 = 3 как накрест лежащие при параллельных а, b и секущей с.
-
2 = 3 как вертикальные.
-
1 = 2, ч. т. д.
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180.
| Дано: а || b, с а, с b. 1 и 4 односторонние. Доказать: 1 + 4 = 180. |
Доказательство
-
а || b, поэтому 1 = 2 как соответственные при параллельных а, b и секущей с.
-
2 и 4 – смежные, значит 2 + 4 = 180
8.РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК. СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Определение. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Основание АС.
Боковые стороны АВ и ВС.
Периметр Р = 2АВ + АС.
Углы при основании А и В.
Угол при вершине В.
Определение. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.
АВ = ВС = АС
Свойство 1 равнобедренного треугольника
Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Дано: АВС – равнобедренный (АВ = АС).
Доказать: В = С.
Доказательство
Проведем биссектрису AD (1 = 2).
9.ТЕОРЕМА О БИССЕКТРИСЕ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Свойство 2 равнобедренного треугольника
Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Дано: АВС – равнобедренный, АВ = АС, AD – биссектриса.
Доказать: 1) AD – медиана, 2) AD – высота.
Доказательство
1. По условию AD – биссектриса АВС, поэтому 1 = 2.
3. BD = CD, AD – медиана
АВС, ч. т. д.
4. 3 = 4
Поэтому AD – высота АВС, ч. т. д.
Мы установили, что медиана, биссектриса и высота треугольника совпадают.
Справедливы теоремы:
1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
10.СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180.
| Дано: Доказать: А + В + С = 180. |
Доказательство
-
Проведем а || АС.
-
1 и 4, 3 и 5 – накрест лежащие. АС || а, поэтому 1 = 4, 3 = 5.
-
4 + 2 + 5 = 180, значит, 1 + 2 + 3 = 180, ч. т. д.
Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Следствие 1. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
| Дано: ВСD – внешний. Доказать: ВСD = 1 + 2 |
Доказательство
-
4 + 3 = 180 по свойству смежных углов.
-
1 + 2 + 3 = 180 по теореме о сумме углов треугольника.
-
4 = 1 + 2, ч. т. д.
Следствие 2. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то и третьи углы равны.