ОБУЧАЮЩИЕ И РАЗВИВАЮЩИЕ ЗАДАЧИ (8 класс)

ОБУЧАЮЩИЕ И РАЗВИВАЮЩИЕ ЗАДАЧИ
(8 класс)

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает пристального внимания. Она является основой решения множества задач. Поэтому для формирования понимания значимости теоремы Пифагора при изучении как геометрии, так и других дисциплин, умений применять теорему Пифагора к решению восьмиклассникам можно предложить разноуровневые задачи, требующие творческого подхода в решении и оформлении. Решение таких занимательных задач помогает также воспитывать у учащихся интерес к предмету: математика уже не кажется им сухой и скучной наукой, дети видят, что и здесь нужны выдумка, полет фантазии, творческие способности.

Задачи по теме «Теорема Пифагора»

1. Дан прямоугольный треугольник с катетами 300 и 400. Определяется ли гипотенуза данного треугольника однозначно? Найти длину гипотенузы.

2. Перенесемся в далекие времена, в Египет, во времена строительства пирамид. Как люди строили прямые углы на местности? Какие использовались инструменты? Задание: построить прямой угол на спортплощадке только с помощью веревки. (Затем дать определение египетского треугольника со сторонами 3, 4 и 5.)

3. Исторические сведения о Пифагоре рассказывает один из учеников. Особый интерес у восьмиклассников вызывает легенда о первом появлении Пифагора перед народом в Кротоне, о том, как Пифагор доказал теорему, и о нескольких способах других доказательств его теоремы. Вопрос: А не слышали ли вы другую формулировку теоремы Пифагора? (Пифагоровы штаны во все стороны равны.)

Ученикам предлагается в тетради построить любой треугольник с прямым углом, измерить его стороны и заполнить следующую таблицу:

Катеты		Гипотенуза	Квадраты
а	b	с	катетов			гипотенузы
			а	b	с
3	4	5	9	16	25
12	5	13	144	25	169
…	…	…	…	…	…

Задание: проанализировать данные таблицы, высказать гипотезу, перепроверить ее, сформулировать теорему.

1) Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4, а гипотенуза 5. Можно ли, не пользуясь построением, найти второй катет?

2) Как с помощью нескольких веревочек и линейки построить на местности прямой угол?

4. «Фантастика! Вчера у нас в школе появился инопланетянин и предложил нам выбрать пластинки из очень дорогого неизвестного нам металла. Он положил на стол прямоугольный треугольник, а потом на катетах и гипотенузе построил квадраты из упомянутого металла. Все пластинки однородные и одинаковой толщины. От нас зависит выбор: взять квадратную пластинку, построенную на гипотенузе, или две квадратные пластинки, построенные на катетах (это условие инопланетянина). Что мы выбираем?» (Ребята высказывают предложения, спорят, экспериментируют.)

5. Древнеиндийская задача.

Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут ≈ 0,3 м) ?

Решение:

 

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB² – AC² = BC²,

(Х + 0,5 )² – Х² = 2²,

Х² + Х + 0,25 – Х² = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 ∙ 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

6. Задача индийского математика XII в. Бхаскары.

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Решение:

Пусть АВ – высота ствола. По теореме Пифагора имеем СD=  . АВ = АС + АD, АВ = 3 + 5 =8.

Ответ: 8 футов.

7. Задача арабского математика XI в.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение:

Итак, в треугольнике АDВ: АВ2=ВD2+АD2=302+Х2=900+Х2; в треугольнике АЕС: АС2=СЕ2+АЕ2=202+(50-Х)2= =400+2500- 100Х+Х2=2900-100Х+Х2. Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ2=АС2, 900+Х2=2900-100Х+Х2, 100Х=2000, Х=20, АD=20. Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Ответ: 20 локтей.

8. Египетская задача.

На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну.

Решение:

Пусть АВ = АС – длина стебля. Из ∆АDС по теореме Пифагора СD =

Ответ: 5 футов.

Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение:

Пусть АВ=9 – высота ствола, искомая высота АС=Х, тогда СК = 9 - Х. Из ∆САК по теореме Пифагора СК2 = АС2 + АК2; (9 – Х)2 = Х2 + 32, 81 – 18Х + Х2 = Х2 + 9, 18Х = 72, Х = 4. Значит, ствол переломлен на высоте 4 футов.

Ответ: 4 фута.

Задача 9.

В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на один фут над поверхностью воды. Если его пригнуть к берегу, к середине стороны пруда, то он своей верхушкой достигнет берега. Какова глубина пруда в современных единицах длины (1 фут ≈ 0,3 м)?

Решение;

Обозначим глубину озера ВD = х, тогда АВ = ВС = х + 1 – длина тростника. Из ∆ВDС по теореме Пифагора СD² = СВ² –ВD²,

5² = (х + 1)² – х²,

25 = х² + 2х + 1 – х²,

2х = 24,

х = 12.

Значит, глубина пруда 12 футов. 12 ∙ 0,3 = 3,6 (м).

Ответ: 3,6 м.

Задача 10.

Эскалатор метрополитена имеет 17 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Определите а) длину лестницы, б) глубину станции по вертикали.

Решение.

а) Пусть АВ – длина лестницы из 17 ступенек. Из ∆АКD по теореме Пифагора АD =  (см), АВ = 45 ∙ 17 = 765 (см) = 7, 65 (м). б) ВС = 40 ∙ 17 = 680 (см). Из ∆АСВ по теореме Пифагора АС =  (см) = = 3,5 (м).

Ответ: длина лестницы 7, 65 м, глубина станции 3,5 м.

Задача 11.

Параллельно прямой дороге на расстоянии 500м от неё расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полёта пули 2800 м. Какой участок дороги находится под обстрелом?

Решение.

Из ∆АНD по теореме Пифагора АН =  (км), АВ = 2 ∙ АН + НК, АВ = 2 ∙ 2,755 + 0,12 ≈ 5,63 (км).

Ответ: 5,63 км.

Задача №12.

Пловец поплыл от берега реки, всё время гребя в направлении по перпендикуляру к берегу (берега реки считаем параллельными). Плыл он, приближаясь к противоположному берегу со скоростью 3 км/ч. Через 5 мин. он был на противоположном берегу. Узнайте, на каком расстоянии от мести начала заплыва он вышел на противоположном берегу, считая скорость течения всюду равной 6 км/ч.

Решение:

	Пловец приближался к противоположному берегу со скоростью  , значит ширина реки АВ = 50 ∙ 5 = 250 (м). Скорость течения реки  , следовательно, течение снесло его за 5 мин. на 500м (ВС=500м). По теореме Пифагора находим расстояние от точки первоначального заплыва до точки выхода на противоположный берег АС =  ≈ 250 ∙ 2,24=560 (м)

Ответ: 560 м.

Задача №13.

Вы плывёте на лодке по озеру и хотите узнать его глубину. Нельзя ли воспользоваться для этого торчащим из воды камышом, не вырывая его?

Решение:

Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим расстояние а между точками А и В, в которых камыш пересекает поверхность воды соответственно в вертикальном и наклоненном положении. Возвратим камыш в исходное положение и определим высоту в над водой, на которую поднимется при этом точка В наклонённого камыша, заняв исходное положение С. Тогда обозначив через D основание камыша, а через х – искомую глубину АD, из прямоугольного ∆АВD по теореме Пифагора находим х2+а2= (х+в)2, х2+а2= х2+2хв+в2 2хв=а2-в2, х=

Задача №14.

Как далеко видно с маяка данной высоты над уровнем моря?

Решение:

Если обозначить через Н высоту маяка, а через R радиус Земли (R≈6400 км), то искомое расстояние будет равно S= . При Н=125 м S ≈ 40 км.

Ответ: с высоты маяка в 125 м обозревается расстояние в 40 км.

Задача №15.

Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально, равна 3 м/с.

Решение.

v ² = 3² + 4² = 25

v = 5.

Ответ: 5 м/с.

Задача 14.

С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого.

Решение: 

  По теореме Пифагора:

4x²+(0,75x*2)²=2000²

6,25x²=2000²

2,5x=2000

x=800

0,75x=0,75*800=600.

Ответ: 800 км/ч.; 600 км/ч

Задача15.

 Найдите равнодействующую трёх сил по 200 Н каждая, если угол между первой и второй силами и между второй и третьей силами равен 60°.

Решение:

Модуль суммы первой пары сил равен:

F₁₊₂²=F₁²+F₂²+2*F₁*F₂ cos α 

где α - угол между векторами F₁ и F₂, т.е. F₁₊₂=200√ 3 Н. Как ясно из соображений симметрии вектор F₁₊₂ направлен по биссектрисе угла α, поэтому угол между ним и третьей силой равен:

β=60°+60°/2=90°.

Теперь найдём равнодействующую трёх сил:

R²=(F₃+F₁₊₂ )

R=400 Н.

Ответ: R=400 Н.

Задача 16.

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.) 

Решение:         

Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+AB

OB=r + x. 

Используя теорему Пифагора, получим 2,3 км

Ответ: 2,3 км

Задача 17. 

Какую наибольшую высоту должна иметь телевизионная вышка, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Р ешение:

Пусть AB= x, BC=R=500 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+AB
OB=r + x. 

Используя теорему Пифагора, получим 

Ответ: 2,3 км.

Задача 18. 

Из учебника Леонтия Магницкого. Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать .

  

  

Решение:

x²+117²=125²

x²=44²

x=44

Ответ: 44 стопы

Задача 19. Две задачи из «Математики в девяти книгах» (Древний Китай, II в. до н.э.).

1. Из девятой книги. «Имеется водоем со стороной в 1 чжан (=10 чи). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

Р ешение.

 В треугольнике ABC угол ABC = 90 .

Пусть BC = x чи, тогда AC = x + 1 (чи); AB = 5 чи.

По теореме Пифагора

1) (x + 1)² = 5² + x²;

x² + 2x + 1 = x² + 25;

2x = 24;

x = 12.

2) 12 + 1 = 13 (чи).

Ответ. глубина воды 12 чи, длина камыша 13 чи.

2. из девятой книги. «Имеется бамбук высотой 1 чжан (= 10 чи). Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня. Спрашивается: какова высота после сгибания?»

Р ешение. 

BD – высота бамбука. При сгибании бамбука вершина D перешла в A. СB – высота бамбука после сгибания. Пусть CB = x чи, тогда CD = AC = 10 – x (чи), AB = 3 чи,

AC² = AB² + BC²,

(10 – x)² = 9 + x²,

100 – 20x + x² = 9 + x²,

– 20x = – 91,

Литература:

• Борисова Н.А. Урок-конференция по геометрии в 8-м классе по теме: "Пифагор и его теорема". - Фестиваль «Открытый урок 2005-2006».

• Балк М. Б. Математика после уроков: пособие для учителей / М. Б. Балк, Г. Д. Балк. – М.: Просвещение, 1971

• Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение

• Газета «Математика»: еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», № 24, 2001 г. «Изучаем теорему Пифагора».

• Кононов А. Теорема Пифагора / А. Кононов // Математика. – 2005. – № 15

• Методическме материалы к урокам математики 7-9 классы. Издательство учитель, 2013.

• Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - М.: Наука, 1978.

• Семенов Е.Е. Изучаем геометрию: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1987.

• Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. - М.: Наука, 1990.

• Ульянова Е.А. Урок геометрии в 8-м классе по теме: "Теорема Пифагора" (интегрированный урок). – Фестиваль «Открытый урок 2005-2006».

• Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / глав. ред. М.Д. Аксёнова. – М: Аванта