Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине оудп.04 математика по разделу «основы тригонометрии»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

"ВОЛГОГРАДСКИЙ КОЛЛЕДЖ МАШИНОСТРОЕНИЯ И СВЯЗИ"

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОУДП.04 МАТЕМАТИКА
ПО РАЗДЕЛУ «ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ»

Волгоград – 2023 год

Рассмотрено на заседании ЦК Протокол № от Председатель ЦК /______________/

Одобрено МС Протокол № от Председатель МС /____________/

Автор-разработчик: Стороженко Евгения Дмитриевна – преподаватель.

Краткая аннотация: Настоящие методические указания разработаны для проведения практических работ по дисциплине ОУДП.04 Математика по теме «Основы тригонометрии». Каждая практическая работа содержит теоретическую справку, примеры решений заданий и задания для выполнения самостоятельной практической работы обучающихся.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка	4
Практическая работа №1	6
Практическая работа №2	8
Практическая работа №3	12
Практическая работа №4	15
Практическая работа №5	17
Практическая работа №6	21
Практическая работа №7	23
Практическая работа №8	25
Заключение	29
Список рекомендуемой литературы	30

Пояснительная записка

Дисциплина «Математика» входит в состав общих общеобразовательных учебных дисциплин, формируемых из обязательных предметных областей ФГОС среднего общего образования, для профессий СПО или специальностей СПО соответствующего профиля профессионального образования, и играет ведущую роль в общей и профессиональной системах образования студентов среднего профессионального образования. 

Раздел «Основы тригонометрии», включенный в содержание учебной дисциплины и отраженный в практических заданиях данного методического указания, является общим для всех профилей профессионального образования.

Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции, их свойства, а также тригонометрические тождества и преобразования тригонометрических выражений, решение тригонометрических уравнений и неравенств. Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях математики, физики и других учебных дисциплинах. 

Целью данного пособия является помощь обучающимся в организации их практической работы по разделу дисциплины «Основы тригонометрии».

Методическое указание содержит все структурные элементы для организации и проведения самостоятельных практических работ.

При работе с методическими указаниями рекомендуется вначале изучить имеющуюся краткую теоретическую часть. При выполнении практической работы следует руководствоваться следующими указаниями:

1. Практическую работу выполняют в отдельной тетради школьного формата в клетку.

2. Работу выполняют чернилами одного цвета, аккуратно, разборчиво.

3. Каждую практическую работу выполняют с новой страницы.

1. Каждую решенную задачу (упражнение) необходимо сопровождать ответом.

2. Чертежи следует выполнять карандашом с использованием чертежных инструментов, аккуратно, соблюдая масштаб.

3. Решения задач должны сопровождаться краткими, но обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать.

Данное указание содержит восемь тем:

1. Применение радианного метода измерения углов вращения и связь с градусной мерой;

2. Применение основных тригонометрических тождеств, формул приведения и сложения;

3. Решение простейших задач на использование основных формул тригонометрии;

4. Преобразование тригонометрических выражений;

5. Построение графиков тригонометрических функций;

6. Решение тригонометрических уравнений;

7. Решение тригонометрических неравенств;

8. Решение тригонометрических уравнений и систем.

Все темы содержат:

1. Справочный теоретический материал.

2. Примеры с решением.

3. Задания для самостоятельной практической работы.

Практическая работа №1

Тема: Применение радианного метода измерения углов вращения и связь с градусной мерой

Цель практической работы: получить навыки применения формул перехода от градусной меры к радианной и наоборот.

Справочный теоретический материал

Градус (обозначение °) – единица измерения углов равная развернутого угла.

Радиан – единица измерения углов, равная величине центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности (рис 1).

Рис. 1

Градусная мера угла в 1 радиан равна: Так как дуга длиной πR (полуокружность), стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит α радиан, то его градусная мера равна:

И наоборот:

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают. Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π

При радианном измерении углов упрощается ряд формул. Так, для окружности радиуса r длины l ее дуги в α радиан находится по формуле:

l=αr

А площадь S сектора круга радиуса r, дуга которого содержит α радиан находится по формуле:

S =

Примеры с решением

Пример 1. Выразите в радианах величину угла α, если 1) α=30^̊, 2)α=135̊.

Решение: Так как , то :

1. 30̊ = =

2. 135̊ = =

Ответ: 1) ; 2)

Пример 2. Выразите в градусной мере величину угла α , если 1) α= , 2) α= .

Решение: Так как , то:

1. = × = 60̊

2. = × = 144̊

Ответ: 1) 60̊ ; 2) 144̊.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера  .

Решение: Найдем длину дуги окружности, используя формулу l=αr:

l=6× = 4,5π (см)

Ответ: 4,5π (см)

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла  .

Решение: Воспользуемся формулой для нахождения площади сектора S = :

S = × = × = 45π

Ответ: 45π

Задания для практической работы

Задание №1. Найти радианную меру угла, градусная мера которого равна:
а) 15̊, 200̊, 45̊, 216̊, 330̊;
б) 25̊, 100̊, 60̊, 72̊, 270̊.

Задание №2. Найти градусную меру угла, радианная мера которого равна:
а) ; ; ; ; π;
б) ; ; ; ;

Задание №3. Найдите радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 4см, если радиус окружности равен 1,5 см.

Задание №4. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус окружности 12 см, а угол равен α=  .

Задание №5. Найдите радианную меру угла смежного с углом 60̊.

Задание №6. Контрольные вопросы:

1. Что такое угол в 1 радиан?

2. Запишите формулу перехода от радианной меры угла к градусной.

3. Запишите формулу перехода от градусной меры угла к радианной.

Практическая работа №2

Тема: Применение основных тригонометрических тождеств, формул приведения и сложения.

Цель практической работы: закрепить умение применять основные тригонометрические тождества, таблицу значений тригонометрических функций при упрощении и вычислении выражений.

Справочный теоретический материал

Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические функции связаны между собой следующими основными тождествами:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Значения тригонометрических функций некоторых углов приведены в следующей таблице:

α	0								π								2π
	0̊	30̊	45̊	60̊	90̊	120̊	135̊	150̊	180̊	210̊	225̊	240̊	270̊	300̊	315̊	330̊	360̊
sin α	0				1				0				-1				0
cos α	1				0				-1				0				1
tg α	0		1		-		-1		0		1		-		-1		0
ctg α	-		1		0		-1		-		1		0		-1		-

Знаки тригонометрических функций в различных четвертях

Рисунок 2

Знаки тригонометрических функций определяются в зависимости от того, в какой четверти лежит рассматриваемый угол. I четверть – от 0̊ до 90̊, II четверть – от 90̊ до 180̊, III четверть– от 180̊ до 270̊, IV четверть – от 270̊ до 360̊.

Формулы сложения:

cos (α-β)=cosα cosβ + sinα sinβ

cos (α+β)=cosα cosβ - sinα sinβ

sin (α-β)=sinα cosβ + cosα sinβ

sin (α+β)=sinα cosβ + cosα sinβ

tg (α+β) =

tg (α-β) =

С помощью формул приведения осуществляется преобразование выражений вида: sin ( ±α), cos ( ±α), tg ( ±α), ctg ( ±α), n ∈ Z.

Правило для записи формул приведения:

1. перед приведённой функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (рис.2), если 0˂α˂ ;

2. функция меняется на «кофункцию», если n нечётно; функция не меняется, если n чётно. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс.).

Примеры с решением

Пример 1. Определите знак cos 52̊.

Решение: Угол 52̊ - угол первой четверти, значит cos 52̊ имеет знак +.

Ответ: знак +.

Пример 2. Упростить выражение: 1 – sin²α.

Решение: Для решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: =˃

1 – sin²α = cos²α + sin²α – sin²α = cos²α

Ответ: cos²α

Пример 3. Найдите значение tgα, если cosα = , ˂ α˂ π.

Решение: Для решения воспользуемся одной из формул тригонометрического тождества: =˃

tg²α = – 1 = -1 = -1=

Получаем: tgα =± = ± . Знак тангенса определяем по углу α. Известно, что ˂ α˂ π. Очевидно, это II четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tgα= .

Ответ:- .

Пример 4. С помощью формул сложения, вычислить cos15̊.

Решение: Представим 15̊ в виде разности 45̊-30̊ и воспользуемся формулой сложения cos (α-β)=cosα cosβ + sinα sinβ. Получаем,

cos15̊ = cos(45̊-30̊) = cos45̊×cos30̊ + sin45̊×sin30̊ = × + × = .

Ответ: .

Пример 5. Используя формулы приведения, найдите значение sin150̊.

Решение: Обратим внимание, что 150̊ мы можем представить в виде (90̊+60̊). Теперь применим к синусу формулу приведения:

• 90̊+60̊ – это I четверть, синус в ней положителен. Значит знак будет плюс

• 90̊ - находится на «вертикали» - функция меняется на кофункцию. Получаем,

sin150̊= sin(90̊+60̊) = cos60̊ =

Ответ:

Задания для практической работы

Задание №1. Определите, какой знак имеют sin α, cos α, tg α и ctg α:
а) α = 49̊;
б) α= 128̊.

Задание №2. Упростите выражение:
а) cos²x + (1-sin²x); ctgx - ;
б) (1-sinα)×(1+sinα); sin²α + 2cos²α-1.

Задание №3. Найдите значение tgα, если:
а) sinα = - , ˂α˂2π;
б) cosα =- , ˂α˂π.

Задание №4. Найдите значение выражения:
а) cos107̊×cos17̊ + sin107̊×sin17̊; sin51̊×cos21̊ - cos51̊×sin21̊;
б) cos36̊×cos24̊ - sin36̊×sin24̊; sin63̊×cos27̊ + cos63̊×sin27̊.

Задание №5. Используя формулы привидения, вычислите:
а) cos (-210̊);
б) sin (-150̊)

Задание №6. Контрольные вопросы:

1) В каком случае функция не изменяется?

2) Как определяется знак функции?

3) Какие формулы можно вывести из основного тригонометрического тождества?

Практическая работа №3

Тема: Решение простейших задач на использование основных формул тригонометрии

Цель практической работы: закрепить умения применять основные формулы тригонометрии.

Справочный теоретический материал

Формулы суммы и разности тригонометрических функций:

sinα + sinβ = 2sin cos ; sinα - sinβ = 2sin cos ; cosα + cosβ = 2cos cos ;

cosα - cosβ = -2sin cos ; tgα + tgβ = ; tgα - tgβ = .

Формулы двойного аргумента:

sin2α= 2sinα cosα; cos2α = cos2α-sin2α; tg2a = ;

cos2α = 1 - 2sin2α; cos2α = 2cos2α – 1.

Формулы половинного аргумента:

sin2 = ; cos2 = ;	tg2 = ; tg = ;
tg = .

Примеры с решением

Пример 1. Упростите выражение .

Решение: Преобразуем числитель по формуле двойного аргумента:

= = 2sinx

Ответ: 2sinx

Пример 2. Вычислите .

Решение: Преобразуем числитель по формуле разности косинусов, а знаменатель оставим прежним:

= = = -2sin30̊ = -2 = -1

Ответ: -1

Пример 3. Вычислите sin2α и cos2α, если sinα = - и π˂α˂ .

Решение: Используя основное тригонометрическое тождество, найдем cosα

cos²α=1-sin²α = 1-( ² = 1 =

Так как π˂α˂ , то угол α – угол III четверти, значит cosα имеет знак минус, получаем: cosα = .

По формулам двойного угла найдем sin2α и cos2α:

sin2α = 2× ×( =

cos2α = ( ² – (- ² = = - .

Ответ: sin2α = ; cos2α =- .

Пример 4. Найдите sin , если cosα = - , π˂α˂ .

Решение: Так как π˂α˂ (третья четверть), то разделим обе части этого неравенства на 2, при этом знаки неравенства останутся прежними: ˂ ˂ (вторая четверть).

Значит sin ˃ 0.

Воспользуемся формулой половинного аргумента:

sin² = = = = .

sin = = = .

Ответ:

Задания для практической работы

Задание №1. Упростите выражения:
а) cos2x+sin²x;
б) .

Задание №2. Вычислите:
а) ; 2sin ×cos ;
б) ; .

Задание №3. Вычислите sin2α и cos2α, если sinα = - и ˂α˂π

Задание №4. Вычислите tg2α, если tgα=

Задание №5. Найдите sin , cos , tg , если cosα = , .˂α˂2π.

Задание №6. Контрольные вопросы

1) Чему равна сумма и разность синусов и косинусов?

2) Какими формулами пользовались при вычислении?

Практическая работа №4

Тема: Преобразование тригонометрических выражений

Цель практической работы: закрепить навыки применения тригонометрических формул при вычислении значений тригонометрических функций и преобразовании выражений, содержащих тригонометрические функции.

Справочный теоретический материал

Преобразование тригонометрических выражений – это упрощение выражений, которое выполняется с помощью тригонометрических формул

Основные формулы

sin2x + cos2x = 1 tgx = ctgx =

1+tg2x = 1+ctg2x = tgx × ctgx = 1

Примеры с решением

Пример 1. Докажите тождество: (1+tgα)² + (1-tgα)² =

Решение: Для доказательства упростим левую часть равенства и покажем, что она всегда равна правой. Используя формулы суммы и разности квадратов, запишем выражение в развернутом виде:

(1+tgα)² + (1-tgα)² = 1+2tgα + tg²α + 1-2tgα + tg²α

Сократим противоположные слагаемые и приведем подобные:

1+2tgα + tg²α + 1-2tgα + tg²α = 1+ tg²α + 1+ tg²α = 2+2 tg²α

Вынесем за скобки общий множитель 2:

2+2 tg²α = 2(1+ tg²α)

Заметим, что 1+ tg²α = . Получаем:

2(1+ tg²α) = 2× =

Видим, что после упрощения левая часть равенства тождественно равна правой.

Доказано.

Пример 2. Упростите тригонометрическое выражение: .

Решение: Заметим, что = 1+ctg²x. Получаем:

= 1+ctg²x – 1 = ctg²x.

Ответ: ctg²x.

Пример 3. Докажите, что при всех допустимых значениях α, значение выражение

не зависит от α: .

Решение: Преобразуем числитель. Заменим 1, используя основное тригономтерическое тождество:

= = = = 2

Получили выражение, не зависящее от α.

Задания для практической работы

Задание №1. Докажите тождество:
а) (tgα + ctgα)² -(tgα - ctgα)²; + ;
б) 1-tg²β = ; = tg²β.

Задание №2. Упростите выражения:
а) tg²x + sin²x - ; sin²x + cos²x+tg²x; (sinx + 2cosx)²-4sinx×cosx;
б) tg²x(1-sin²x) ; + tg ctg ; ctgx - .

Задание №3. Докажите, что при всех допустимых значениях α, значение выражение не зависит от α:
а) ;
б) .

Задание №4. Контрольные вопросы:

1) Какими формулами пользовались при решении данных примеров?

Практическая работа №5

Тема: Построение графиков тригонометрических функций

Цель практической работы: закрепить навыки построения графиков тригонометрических функций.

Справочный теоретический материал

Функцией называется зависимость переменной y от переменной x ,при которой каждому x ставится в соответствие единственное значение y.

При этом x называется независимой переменной (аргументом), а y – зависимой переменной (функцией).

Обозначается функция: y=f(x).

Областью определения функции D(f) называется множество всех значений переменной x, при которых данная функция имеет смысл.

Областью значений функции Е(f) называется множество, состоящее из всех чисел f(x), таких, что x принадлежит области определения функции f.

Графиком функции f называют множество всех точек (х,у) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения функции f.

Функцию f называют чётной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство: f(-х)= f(х).

Функцию f называют нечётной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство: f(-х)= - f(х).

Функция синус

Числовая функция, заданная формулой y=sinx , называется функцией синус.

Область определения функции синус – множество всех действительных чисел, т.е. D(y)=R.

Областью значений функции синус является отрезок [-1;1], т.е. E(y) = [-1;1].

Синус – нечётная функция, т.е. для любого числа x выполняется равенство sin(-x) = - sin x

Синус периодическая функция с пределом Т=2π, т.е. для любого x выполняется равенство sin(x+2πn) = sin x, где n – произвольное целое число.

График синуса называется синусоидой (рис.3).

Рисунок 3

Функция косинус

Числовая функция, заданная формулой y=cosx , называется функцией косинус.

Область определения функции косинус – множество всех действительных чисел, т.е. D(y) = R.

Областью значений функции косинус является отрезок [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1] .

Косинус чётная функция, т.е. для любого x выполняется равенство cos (-x) = cos x.

Косинус периодическая функция с периодом T= 2π, т.е. для любого x выполняется равенство cos(x+2πn)=cos x, где n – произвольное целое число.

График косинуса называется косинусоида. (рис. 4).

Рисунок 4

Функция тангенс

Числовая функция, заданная формулой y = tg x, называется функцией тангенс.

Область определения функции y = tgx все действительные числа, кроме чисел вида x= +πn, n

Область значения тангенса – все действительные числа, т.е. E(y) = R

Тангенс является нечётной функцией, т.е. для любого x выполняется равенство tg(-x) = -tg x.

Тангенс периодическая функция с периодом Т = π, т.е. для любого x выполняется равенство tg(x + πn) = tg x, n є Z.

График тангенса называется тангенсоида. (рис.5)

Рисунок 5

Функция котангенс

Числовая функция, заданная формулой y =ctgx, называется функцией котангенс.

Область определения функции котангенс – множество всех чисел x, для которых sin x ≠ 0, т.е. D(y) = (πn; π + πn), где n є Z.

Область значений котангенса – все действительные числа, т.е. E(y) R.

Котангенс является нечётной функцией, т.е. для любого x выполняется равенство ctg(-x) = -ctg x.

Котангенс периодическая функция с периодом Т = π, т.е. для любого x выполняется равенство ctg(x + πn) = ctg x, где n є Z.

График котангенса называют котангенсоидой. (рис.6)

Рисунок 6

Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: f (kx b) , при этом k  0,b  0 .

Функцию f(kx b) необходимо представить в виде f(kx b) = f(k(x+ ) и последовательно выполнить следующие преобразования:

1) График функции f (x) сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат: f (kx).

2) График полученной функции f (kx) сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси абсцисс на единиц, в результате чего будет построен искомый график f (kx b).

Примеры с решением

Пример 1. Построить график функции y  sin 2x.

Решение: Сначала строим график y  sin x . Период T  2 .

Сжимаем синусоиду к оси Оу в 2 раза:

Таким образом, график функции y  sin 2x получается путём сжатия графика y  sinx к оси ординат в два раза.

Период функции y  sin2x равен  .

В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:

x = =˃ sin(2× ) = sin = 1

x = =˃ sin(2× ) = sinπ = 0

Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.

Пример 2. Построить график функции y=sin(2x+ )

Решение: 1)Представим функцию в виде y=sin(2(x+ )) и выполним следующие преобразования: синусоиду y  sin x сожмём к оси Оу в два раза: y  sin 2x .

2) сдвинем вдоль оси Ох на влево:

Задания для практической работы

Задание №1. Построить график функции y  cos3x .

Задание №2. Построить график функции y = cos (2x + ).

Задание №3. Построить график функции y = sin (3x - ).

Задание №4. Контрольные вопросы:

1) Напишите свойства тригонометрических функций.

Практическая работа №6

Тема: Решение тригонометрических уравнений

Цель практической работы: Закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.

Справочный теоретический материал

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции.

Простейшие уравнения

1) Уравнение вида sinx=α.

Уравнение sinx=a может иметь решение только при |α| 1.Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной формуле:

x=(-1)ⁿarcsinα +πn, где n Z и - .

Частные случаи:

1. Если sinx=1, то x= +2πn, n Z.

2. Если sinx=-1, то x= +2πn, n Z.

3. Если sinx=0, то x=πn, n Z.

2) Уравнение вида cosx=α.

Уравнение cosx=α может иметь решение только при |α| 1. Известно, что решение данного уравнения находят по обобщенной формуле:

x=±arccosα +2πn, где n Z и 0 .

Полезно знать, что arccos(-α) = π – arccosα.

Частные случаи:

1. Если cosx=0, то x= +πn, n Z.

2. Если cosx=1, то x=2πn, n Z.

3. Если cosx=-1, то x=π+2πn, n Z.

3) Уравнение вида tgx=α, где α=R

Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:

x=arctgα+πn, где n Z.

Полезно помнить, что arctg(-α)= -arctgα

4) Уравнение вида сtgx=α, где α=R

Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:

X=arcсtgα+πn, где n Z.

Примеры с решением

Пример 1. Решить уравнение: sinx = .

Решение: Воспользуемся формулой x=(-1)ⁿarcsinα +πn, подставляем:

x=(-1)ⁿarcsin +πn, n Z.

Так как аrcsin = , то получаем:

x=(-1)ⁿ +πn, n Z.

Ответ: x=(-1)ⁿ +πn, n Z.

Пример 2. Решить уравнение: tgx – 1=0.

Решение: Перенесем 1 из левой части в правую и поменяем знак на противоположный:

tgx =1.

Разделим каждую часть на :

tgx = .

Воспользуемся формулой x=arctgα+πn:

x=arctg +πn, где n Z.

Так как arctg = , то получаем:

x= +πn, где n Z.

Ответ: x= +πn, где n Z.

Пример 3. Решить уравнение: 2sin( + )= .

Решение: Разделим данное уравнение на 2, получим:

sin( + )= .

Воспользуемся формулой x=(-1)ⁿarcsinα +πn, подставляем:

+ =(-1)ⁿarcsin +πn, n Z.

Так как аrcsin = , то получаем:

+ =(-1)ⁿ +πn, n Z.

Перенесем вправо:

=(-1)ⁿ - +πn, n Z.

Умножим обе части равенства на 3:

х = =(-1)ⁿ - +πn, n Z.

Ответ: х = =(-1)ⁿ - +πn, n Z.

Задания для практической работы

Задание №1. Решить уравнения: cosx = - ; tgx= ; ctgx = ; cosx=- ; sinx = .

Задание №2. Решить уравнения: 2sinx-1=0; ctgx-1=0; 2cosx+ =0.

Задание №3. Решить уравнения: 2sin( + ) = 1; 2cos( -5x) = /

Задание №4. Контрольные вопросы:

1) Какие методы знаете для решения простейших тригонометрических уравнений?

Практическая работа №7

Тема: Решение тригонометрических неравенств

Цель практической работы: Закрепить навыки решения тригонометрических неравенств.

Справочный теоретический материал

Неравенства, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

При решении тригонометрических неравенств используют единичную окружность.

Примеры с решением

Пример 1. Решить неравенство: cos x .

Рисунок 7

Решение: По определению cos x – это абсцисса точки единичной окружности. Абсциссу, равную , имеют две точки единичной окружности М₁ и М₂.(рис.7) Абсциссу, большую имеют все точки М дуги единичной окружности, лежащие правее прямой М₁М₂. Таким образом, решениями неравенства cosx являются все числа х из промежутка -  x  .

Все решения данного неравенства – множество интервалов - + 2πn x  +2πn, n Z.

Ответ: - + 2πn x  +2πn, n Z.

Пример 2. Решить неравенство: cos2x - .

Решение: Обозначив 2х через t, получим cost - . На рис.8 выделена соответствующая дуга l. Находим t₁=arccos (- ) = , t₂=- , откуда

- + 2πn t  +2πn, n Z.

Рисунок 8

Переходя к переменной х, получаем:

- + 2πn 2x  +2πn, - + πn x  +πn, n Z.

Ответ: - + πn x  +πn, n Z

Задания для практической работы

Задание №1. Решить неравенства:
а) sinx ; tgx ; cosx -1;
б) sinx 1; sinx ; tgx .

Задание №2. Решить неравенства:
а) ctg3x ; sin2x ˂ ; cos2x˂- ;
б) cos ˃ ; sin ˂- ; sin3x˂- .

Задание №3. Контрольные вопросы:

1) Какие неравенства называются тригонометрическими?

2) Что используют при решении тригонометрических неравенств?

Практическая работа №8

Тема: Решение тригонометрических уравнений и систем

Цель практической работы: проверить и закрепить знания по решению тригонометрических уравнений и систем уравнений с применением тригонометрических формул.

Справочный теоретический материал

Более сложные тригонометрические уравнения обычно решаются сведением их к простейшим с помощью различных алгебраических и тригонометрических формул и преобразований.

Виды тригонометрических уравнений:

а) уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций;

б) уравнения, решаемые понижением их порядка;

в) уравнения, решаемые после преобразований с помощью тригонометрических формул;

г) однородные уравнения.

Простейшие системы уравнений: к ним отнесем системы, в которых или одно из уравнений является линейным, или уравнения системы могут быть решены независимо друг от друга.

Системы, решаемые с помощью замены неизвестных: если система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду, то удобно использовать замену неизвестных.

Примеры с решением

Пример 1. Решить уравнение: 2sin²x + sinx – 1=0.

Решение: Это уравнение является квадратным относительно sinx. Введем новую переменную у= sinx. Тогда данное уравнение можно записать в виде:

2у²+у-1=0.

Мы получили квадратное уравнение. Найдем корни этого уравнения:

2у²+у-1=0.

D=b²-4ac = 1²-4×2×(-1) = 9; =3.

y ₌

y₁= = =

y₂= = = -1

Получаем: sinx= или sinx=-1. В первом случае получим решения:

x=(-1)ⁿarcsin +πn, n Z,

т.е. x=(-1)ⁿ +πn, n Z.

Во втором случаем имеем:

x=- +2πn, n Z.

Ответ: (-1)ⁿ +πn, n Z, где n Z; - +2πn, n Z.

Пример 2. Решить уравнение: 6sin²x + 5cosx – 2=0.

Решение: Так как квадрат синуса легко выражается через косинус, то, заменяя sin²x на 1 – cos²х и приводя уравнение к квадратному относительно cosx, получим:

6(1-cos²x) +5cosx - 2=0,

т.е. квадратное уравнение: -6cos²x +5cosx + 4 = 0 =˃ 6cos²x -5cosx - 4 =0

Введем новую переменную у= cosx. Тогда данное уравнение можно записать в виде:

6y²-5y-4=0

Найдем корни уравнения:

D = (-5)²-4×6×(-4) = 121; =11

y₁ = = 1 ;

y₁ = = - .

Получаем: cosx=1 и cosx= - .

cosx=1 – не имеет решений, так как 1 ˃1;

Решая уравнение cosx= - , находим:

х = ± + 2πn, n Z.

Ответ: ± + 2πn, n Z.

Пример 3. Решить уравнение: sin²x – 5sinxcosx + 6cos²x = 0.

Решение: Если считать, что sinx и cosx – члены первой степени, то каждое слагаемое имеет вторую степень. Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степен, называется однородным. Его можно решать делением на старшую степень синуса (или косинуса). Делим наше уравнение на cos²x. (При этом мы не теряем корней, так как если мы в данное уравнение подставим cosx=0, то получим, что и sinx=0, что невозможно.)

- 5 +6 = 0

tg²x – 5tgx +6 = 0

Введем новую переменную у= tgx. Тогда данное уравнение можно записать в виде:

y²-5y+6 = 0

Найдем корни уравнения:

D = (-5)²-4×1×6 = 1; =1

y₁ = = 3;

y₁ = = 2.

Получаем: tgx=3 и tgx=2. В первом случае получим решение:

х = arctg3+πn, n Z.

Во втором случаем имеем:

х = arctg2+πn, n Z.

Ответ: arctg3+πn, n Z; arctg2+πn, n Z.

Пример 4. Решить систему уравнений:

Решение: Так как первое уравнение является линейным, то выразим из него переменную x=   и подставим во второе уравнение:

5+7cos (  )= 3cos²y.

Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество. Получим уравнение: 5 – 7siny = 3(1-sin²y) или 3sin²y – 7siny +2=0.

Введем новую переменную t = siny. Тогда данное уравнение можно записать в виде:

3t²-7t +2=0

Найдем корни уравнения:

D = (-7)²-4×3×2 = 25; =5

t₁ = = 2;

t₁ = = .

Вернемся к старой неизвестной и получим уравнения:

siny = 2 - не имеет решений, так как 2˃1;

siny =

y=(-1)ⁿarcsin +πn, n Z.

Теперь легко найти неизвестную:

x=   = + (-1)ⁿarcsin +πn.

Итак, система уравнений имеет решения: ( + (-1)ⁿarcsin +πn; (-1)ⁿarcsin +πn), где n Z.

Пример 5. Решить систему уравнений:

Решение: Так как в данную систему входят только две тригонометрические функции, то введем новые переменные а = tg х и b = sin у. Получим систему алгебраических уравнений: .

Из первого уравнения выразим а = b + 3 и подставим во второе: (b+3)² +b² =17 или b²+3b-4=0.

Корни этого квадратного уравнения b1 = 1 и   b2= -4. Соответствующие значения а1 = 4 и а2 = -1. Вернемся к старым неизвестным. Получим две системы простейших тригонометрических уравнений:

, ее решение х = arctg4+πn, y= + 2πn, n Z.

б) , решений не имеет, так как siny˃-1.

Ответ: х = arctg4+πn, y= + 2πn, n Z

Задания для практической работы

Задание №1. Решить уравнение: 3sin²x – 5sinx – 2=0.

Задание №2. Решить уравнение: cos²x +3sinx = 3.

Задание №3. Решить уравнение: 9sinxcosx – 7cos²x = 2sin²x.

Задание №4. Решить систему уравнений: .

Задание №5. Решить систему уравнений: .

Задание №6. Контрольные вопросы:

1) Каковы особенности решения систем тригонометрических уравнений?

Заключение

Данные практические работы позволяют формировать знания и умения необходимые в профессиональной деятельности.

В результате самостоятельного поэтапного решения предложенных заданий, обучающиеся получают достаточно полное представление о практическом использовании изученного теоретического материала.

Критерии оценки

Отметка «5» ставится, если:

• работа выполнена полностью;

• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущена одна существенная ошибка или два-три несущественных ошибки.

Отметка «3» ставится, если:

• допущены более одной существенной ошибки или более двух-трех несущественных ошибок, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет 63 обязательными умениями по данной теме в полной мере.

К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, связанные с незнанием, непониманием учащимися основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов решения практических заданий, предусмотренных программой.

К категории несущественных ошибок следует отнести погрешности, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к искажению смысла задания и его выполнения. При наличии существенной ошибки задание считается невыполненным.

Список рекомендуемой литературы

1. Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2017.

2. Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа. 10 кл. [Текст]: учебник / М.И. Башмаков – М.: Дрофа, 2008.

3. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2018.

Интернет-ресурсы:

1. Www.fcior.edu.ru (информационные, тренировочные и контрольные материалы).

2. Www.school-collection.edu.ru (единая коллекции цифровых образовательных ресурсов).