История предела функции
Студентка группы ТХ-41 Гурова Валерия
Предел числовой последовательности
Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого ϵ0существует номер n0=n0(ϵ) такой, что для любого nn0 выполняется неравенство |xn−a|ϵ:
limn→∞xn=a⇔∀ϵ0,∃n0=n0(ϵ):∀nn0,|xn−a|ϵ
Предел функции в точке
Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если для ∀ϵ0∃δ0такое, что для ∀x∈(a−δ;a+δ)∩D[f] из того, что 0x−a|δ следует, что |f(x)−b|ϵ: limx→af(x)=b или f(x)→bf при x→a
Предел функции на бесконечности
Число b называется пределом функции y=f(x) на бесконечности или при x→∞, если для любого ∀ϵ0существует такое число δ=δ(ϵ)0 такое, что для всех x∈D(f) из того, что |x|M, выполняется неравенство |f(x)−b|ϵ.
История развития
Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходом. Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объёмов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.
При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.
Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.
С помощью теории пределов в первой половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций .
Это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.
Применение пределов на практике
Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.
