Действительные числа. История развития понятия числа. Геометрическая интерпретация действительных чисел
Основные понятия и термины по теме: натуральные, целые, дробные, иррациональные и действительные числа.
План изучения темы:
История развития числа.
Натуральные числа.
Целые числа.
Дробные числа.
Иррациональные числа.
Действительные числа.
Теория:
На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счёта предметов, дней, шагов и т.п. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать всё большие и большие числа, уметь их записывать. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.
С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнить число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия "больше", "меньше", "столько же" или "равно". Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признакам чрезвычайно высокой образованности человека.
С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика. Её возникновению и развитию способствовали практические потребности - строительство разнообразных сооружений, торговля, мореходство и пр. Долгое время арифметике имели дело с числами относительно небольшими. Например, в системе счисления Древней Греции самым большим числом, которое имело название, была "мириада" - 10 000. Ещё в III в. до н. э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен. Вот тогда - то Архимед в своём трактате "Исчисление песчинок" - "Псаммит" разработал систему, которая позволила выразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен. Следует заметить, что первое представление о бесконечно малом и бесконечно большом дал Анаксагор (около 500 - 428 гг. н. э.). Древнегреческий философ Аристотель (384 - 322 гг. до н. э.) в своих высказываниях, допуская бесконечность математического пространства, считал математическую прямую бесконечной. Аналогичных принципов придерживался и Евклид.
В IV в. до н. э. греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем через √2. Учёные того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа.
Потребовалось не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.
Как видно, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные.
Натуральные числа N- это числа, которые используются для счета: 1,2,3,4,5,6 и так далее.
Натуральный ряд - это ряд из всех натуральных чисел, выстроенных по порядку. Натуральный ряд – бесконечен. 1 - самое маленькое натуральное число
Не существует самого большого натурального числа.
При сложении и умножении натуральных чисел всегда получается натуральное число. Вычитание и деление не всегда выполнимо.
Натуральные числа бывают простые и составные.
Целые числа Z - это натуральные числа, им противоположные числа и 0
Отрицательными называются числа, лежащие левее нуля.
Положительные числа - это числа, лежащие правее нуля.
0 - ни отрицательное, ни положительное число.
Так как из двух чисел больше то, которое лежит правее на числовой прямой, то любое отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного числа.
Обыкновенная дробь Q — это частное двух чисел, записанное определенным образом: m/n, где m — целое число, n — натуральное число. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем дроби.
Иррациональное число I — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби m/n. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. √2 = 1,414213…
Действительное число R - число, которое можно выразить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Наглядно понятие действительного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому действительному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, действительное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества действительных чисел.
