Логарифмическая функция, её свойства и график

Урок 45

Тема: «Логарифмическая функция, её свойства и график»

Цели:

• Образовательная: Ввести понятие логарифмической функции с применением прошлого опыта, дать определение. Изучить основные свойства логарифмической функции. Сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции.

• Развивающая: Выработать умение выделять главное, сравнивать, обобщать. Формировать графическую культуру учащихся.

• Воспитательная: Показать взаимосвязь математики с окружающей действительностью. Формировать навыки общения, диалога, умение работать в коллективе.

Ход урока.

1.Оргмомент.

2.Актуализация знаний:

Учащимся предлагаются устные упражнения с использованием определения логарифма, его свойств, формул перехода к новому основанию, решения простейших логарифмических и показательных уравнений, примеров на нахождение области допустимых значений под логарифмических выражений

Устно:

1. Вычислить, пользуясь определением логарифма:

log₂8; log₄16; ; ; .

2) Вычислить, используя основное логарифмическое тождество:

.

3) Решите уравнение, используя определение:

4) Выясните, при каких значениях x имеет смысл выражение:

5) Найдите значение выражения, используя свойства логарифмов:

2. Изучение темы. Учащимся предлагается решить показательные уравнения: 2^х=у; ( )^х =у. с помощью выражения переменной х через переменную у. В результате этой работы получаются формулы, которые задают функции, незнакомые учащимся. , .Вопрос : «Как бы вы назвали эту функции?» учащиеся говорят, что она логарифмическая, так как переменная стоит под знаком логарифма: .

Определение: Функцию, заданную формулой у=log_ax называют логарифмической с основанием а (а0, а   1)

III. Исследование функции y=log_ax

Совсем недавно мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида у=log_ax,   и о ее графике и свойствах.

Функцию, заданную формулой у=log_ax называют логарифмической с основанием а (а0, а   1)

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных действительных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.D(f)=R+

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество действительных чисел.E(f)= (-∞; +∞)

3. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

4.Логарифмическая функция возрастает при а1, и убывает при 0

5. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вида.

6. Функция не имеет точек максимума и минимума, в области определения непрерывна.

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0

Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.

Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций.

Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) = log₈(4 - 5x).

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных действительных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 - 5x0. Решаем это неравенство и получаем x₈(4 - 5*x) будет являться промежуток (-∞;0.8)

V. Закрепление темы:

1. решить №№318 , 319

2. №№320, 321

3. решить №325(1,3), №326(1, 3)

4. решить № 327 (1,3,5)

Домашнее задание:§18, №322,323, 325(2,4), 327(2,4,6)

Самостоятельно(на 10 минут, если позволит время)

1 вариант

1. Найдите х:

log₃ x = -2; log₃₆ x = ; log₃ x = 3;

log₆₄ 4 = x; log₃ = x; log₂ 16 = x;

log_x 16 = 2; log_x = -3; log_x 5 = .

2. Вычислите:

log₄9 + 2 log₄8 – 2 log₄3; log₆ - log₆ ; log₆9 + 2 log₆2 – lg1; lg - lg ;

2 вариант

1. Найдите х:

log₂ x = -3; log₄₉ x = ; log₂ x = 3;

log₆₂₅ 5 = x; log₂ = x; log₃ 27 = x;

log_x 25 = 2; log_x = -3; log_x 4 = .

4. Вычислите:

log₈3 + 3 log₈4 – log₈9; log₇ - log₇ ; lg 4 + 2 lg5 – lg1; log₅ - log₅ ;

3 вариант

1. Найдите х:

log₃ x = -2; log₃₆ x = ; log₃ x = 3;

log₆₄ 4 = x; log₃ = x; log₂ 16 = x;

log_x 16 = 2; log_x = -3; log_x 5 = .

2. Вычислите:

log₄9 + 2 log₄8 – 2 log₄3; log₆ - log₆ ; log₆9 + 2 log₆2 – lg1; lg - lg ;

4 вариант

1. Найдите х:

log₂ x = -3; log₄₉ x = ; log₂ x = 3;

log₆₂₅ 5 = x; log₂ = x; log₃ 27 = x;

log_x 25 = 2; log_x = -3; log_x 4 = .

4. Вычислите:

log₈3 + 3 log₈4 – log₈9; log₇ - log₇ ; lg 4 + 2 lg5 – lg1; log₅ - log₅ ;

5 вариант

1. Найдите х:

log₃ x = -2; log₃₆ x = ; log₃ x = 3;

log₆₄ 4 = x; log₃ = x; log₂ 16 = x;

log_x 16 = 2; log_x = -3; log_x 5 = .

2. Вычислите:

log₄9 + 2 log₄8 – 2 log₄3; log₆ - log₆ ; log₆9 + 2 log₆2 – lg1; lg - lg ;

6 вариант

1. Найдите х:

log₂ x = -3; log₄₉ x = ; log₂ x = 3;

log₆₂₅ 5 = x; log₂ = x; log₃ 27 = x;

log_x 25 = 2; log_x = -3; log_x 4 = .

4. Вычислите:

log₈3 + 3 log₈4 – log₈9; log₇ - log₇ ; lg 4 + 2 lg5 – lg1; log₅ - log₅ ;

7 вариант

1. Найдите х:

log₃ x = -2; log₃₆ x = ; log₃ x = 3;

log₆₄ 4 = x; log₃ = x; log₂ 16 = x;

log_x 16 = 2; log_x = -3; log_x 5 = .

2. Вычислите:

log₄9 + 2 log₄8 – 2 log₄3; log₆ - log₆ ; log₆9 + 2 log₆2 – lg1; lg - lg ;

8 вариант

1. Найдите х:

log₂ x = -3; log₄₉ x = ; log₂ x = 3;

log₆₂₅ 5 = x; log₂ = x; log₃ 27 = x;

log_x 25 = 2; log_x = -3; log_x 4 = .

4. Вычислите:

log₈3 + 3 log₈4 – log₈9; log₇ - log₇ ; lg 4 + 2 lg5 – lg1; log₅ - log₅ ;

9 вариант

1. Найдите х:

log₃ x = -2; log₃₆ x = ; log₃ x = 3;

log₆₄ 4 = x; log₃ = x; log₂ 16 = x;

log_x 16 = 2; log_x = -3; log_x 5 = .

2. Вычислите:

log₄9 + 2 log₄8 – 2 log₄3; log₆ - log₆ ; log₆9 + 2 log₆2 – lg1; lg - lg ;

10 вариант

1. Найдите х:

log₂ x = -3; log₄₉ x = ; log₂ x = 3;

log₆₂₅ 5 = x; log₂ = x; log₃ 27 = x;

log_x 25 = 2; log_x = -3; log_x 4 = .

4. Вычислите:

log₈3 + 3 log₈4 – log₈9; log₇ - log₇ ; lg 4 + 2 lg5 – lg1; log₅ - log₅ ;

11 вариант

1. Найдите х:

log₃ x = -2; log₃₆ x = ; log₃ x = 3;

log₆₄ 4 = x; log₃ = x; log₂ 16 = x;

log_x 16 = 2; log_x = -3; log_x 5 = .

2. Вычислите:

log₄9 + 2 log₄8 – 2 log₄3; log₆ - log₆ ; log₆9 + 2 log₆2 – lg1; lg - lg ;

12 вариант

1. Найдите х:

log₂ x = -3; log₄₉ x = ; log₂ x = 3;

log₆₂₅ 5 = x; log₂ = x; log₃ 27 = x;

log_x 25 = 2; log_x = -3; log_x 4 = .

4. Вычислите:

log₈3 + 3 log₈4 – log₈9; log₇ - log₇ ; lg 4 + 2 lg5 – lg1; log₅ - log₅ ;

13 вариант

1. Найдите х:

log₃ x = -2; log₃₆ x = ; log₃ x = 3;

log₆₄ 4 = x; log₃ = x; log₂ 16 = x;

log_x 16 = 2; log_x = -3; log_x 5 = .

2. Вычислите:

log₄9 + 2 log₄8 – 2 log₄3; log₆ - log₆ ; log₆9 + 2 log₆2 – lg1; lg - lg ;

14 вариант

1. Найдите х:

log₂ x = -3; log₄₉ x = ; log₂ x = 3;

log₆₂₅ 5 = x; log₂ = x; log₃ 27 = x;

log_x 25 = 2; log_x = -3; log_x 4 = .

4. Вычислите:

log₈3 + 3 log₈4 – log₈9; log₇ - log₇ ; lg 4 + 2 lg5 – lg1; log₅ - log₅ ;