Пристальное, глубокое изучение природы
есть источник самых плодотворных
открытий математики.
Жан Батист Жозеф Фурье.
Введение.
Меня интересует мир живой природы, мне нравится наблюдать за птицами, животными и насекомыми. Рассматривая листья и цветы растений, их форму и расположение на стебле, удивляюсь красоте, великому разнообразию и совершенству, мысленно сравниваю их с геометрическими фигурами.
Я также люблю математику, меня завораживает кружево ее формул, строгая логика, возможность из частных примеров выводить общие правила и законы. Поэтому решила провести исследование, в котором найти образы математики в природе, изобразить объекты живой природы геометрическими фигурами, выявить, какие математические закономерности помогают понять гармонию и красоту всего живого. Эта тема актуальна в силу того, что может показать применимость математических законов на практике, способствует пониманию стратегии развития природы и воспитанию бережного отношения к окружающему миру. Хочется выбрать профессию, которая была бы связана с моими интересами: природой и математикой.
Предполагаю, что, математика настолько богата идеями, правилами и законами, что, несмотря на великое разнообразие природы, для любого ее объекта, для описания процесса его роста можно найти общие правила и законы или составить математическую модель развития.
Целью моей работы является обобщение и осмысление математических закономерностей живой природы.
Для достижения этой цели я поставила перед собой такие задачи:
проанализировать научную и научно-популярную литературу по теме исследования;
в процессе наблюдения за цветами и листьями растений сравнить их форму с геометрическими фигурами;
выяснить, по каким математическим законам происходят изменения в процессе роста и развития живых организмов.
Задачи определили этапы работы (чтение книг и статей, знакомство с содержанием сайтов в интернете, наблюдение, фотографирование цветов, установление разделов математики, описывающих данное явление, оформление работы) и методы исследования (анализ, синтез, равнение, классификация закономерностей, обобщение).
Загадка чисел Фибоначчи
Начав работу, я не могла и предположить, что стольких людей в прошлые века и в настоящее время интересовали те же вопросы и проблемы: какие «формулы красоты» лежат в основе гармонии и совершенства мира. «Все, что находится в природе, математически точно и определенно; и, если иногда мы сомневаемся в этой точности, то наше невежество ничего не отнимает от этой достоверности», - сказал более двух веков назад Михаил Васильевич Ломоносов. Поиск общих закономерностей, идея единства природы и науки сохранили свою актуальность от древних времен и до наших дней.
Математические закономерности можно искать как в живой, так и в неживой природе.
Кроме этого, необходимо определить, какие закономерности надо искать.
Математические закономерности, найденные в природе:
Золотое сечение. Числа Фибоначчи (спираль Архимеда). А также другие виды спиралей.
Различные виды симметрии: центральная, осевая, поворотная. А также симметрия в живой и неживой природе.
Углы и геометрические фигуры.
Фракталы. Термин фрактал образовал от латинскогоfractus (ломать, разламывать), т.е. создавать фрагменты неправильной формы.
Арифметическая и геометрия прогрессии.
Я бы хотела подробней остановиться на закономерности чисел Фибоначчи. Леонардо Пизанский. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи {Fibonacci). О происхождении этого псевдонима имеются разные версии. По одной из них, его отец Гильермо имел прозвище Боначчи {«Благонамеренный»), а сам Леонардо прозывался filius Bonacci («сын Благонамеренного»). По другой, Fibonacci происходит от фразы Figlio Виопо Nato Ci, что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился».
Леонардо изучал труды математиков стран ислама (таких как ал-Хорезми и Абу Камил); по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака».
Сообщаемый в “Книге абака” материал Леонардо поясняет на большом числе задач, составляющих значительную часть этого тракта. Рассмотрим одну из них: “Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рожают кролики со второго месяца после своего рождения”.
В итоге получается такой ряд цифр: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Его можно продолжать бесконечно долго. Его суть в том, что каждое следующее число является суммой двух предыдущих.
У этого ряда есть несколько математических особенностей, которых обязательно нужно коснуться. Он асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Так отношение какого-либо члена ряда к предшествующему ему колеблется около числа 1,618, через pаз то превосходя, то не достигая его. Отношение к следующему аналогично приближается к числу 0,618, что обратно пропорционально 1,618. Если мы будем делить элементы через одно, то получим числа 2,618 и 0,382, которые так же являются обратно пропорциональными. Это так называемые коэффициенты Фибоначчи.
Иррациональное число "фи" (Ф=1,618…) – «Золотое сечение», «Золотое среднее», «Отношение вертящихся квадратов», 0,618… - «Золотая пропорция».
Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое сечение.
Если посмотреть на растения и деревья вокруг нас, то видно, сколь много листьев на каждом из них. Издалека кажется, что ветки и листья на растениях расположены случайным образом, в произвольном порядке. Однако во всех растениях чудесным образом, математически точно спланировано какая веточка откуда будет произрастать, как ветки и листья будут располагаться около стебля или ствола. С первого дня появления растение в точности следует в своём развитии этим законам, то есть ни один лист, ни один цветок не появляется случайно. Ещё до появления растение уже точно запрограммировано. Сколько будет веток на будущем дереве, где вырастут ветки, сколько будет листьев на каждой ветке, и как, в каком порядке будут располагаться листья. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы.
Интересен пример растения — тысячелистника, у которого число стеблей (а значит и цветков) всегда есть число Фибоначчи. Причина этого проста: будучи изначально с единственным стеблем, этот стебель затем делится на два, затем от главного стебля ответвляется ещё один, затем первые два стебля снова разветвляются, затем все стебли, кроме двух последних, разветвляются, и так далее. Таким образом, каждый стебель после своего появления "пропускает" одно разветвление, а затем начинает делиться на каждом уровне разветвлений, что и даёт в результате числа Фибоначчи. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), в числе оборотов на стебле, в числе листьев в цикле проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя и закон золотого сечения.
Вообще говоря, у многих цветов (например, лилий) число лепестков является тем или иным числом Фибоначчи.
Также в ботанике известно явление ''филлотаксиса''. В качестве примера можно привести расположение семечек подсолнуха: если посмотреть сверху на их расположение, то можно увидеть одновременно две серии спиралей (как бы наложенных друг на друга): одни закручены по часовой стрелке, другие — против. Оказывается, что число этих спиралей примерно совпадает с двумя последовательными числами Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144. Аналогичные факты верны и для некоторых других цветов (эхинацея) , а также для сосновых шишек, брокколи, ананасов, и т.д.
Чёткая, симметричная форма цветов также подчинена строгому закону.
У многих цветов количество лепесточков – именно числа из ряда Фибоначчи. Например:
ирис, 3леп. лютик, 5 леп. златоцвет, 8 леп. дельфиниум,
13 леп.
цикорий,21леп. астра, 34 леп. маргаритки,55леп.
Впрочем, следует отметить, что есть и растения, для которых приведённые выше подсчёты дадут числа из совсем других последовательностей, поэтому нельзя сказать, что явление филлотаксиса является законом, — это скорее занимательная тенденция.
Спираль Фибоначчи
Для многих растений (по некоторым данным, для 90% из них) верен и такой интересный факт. Рассмотрим какой-нибудь лист, и будем спускаться от него вниз до тех пор, пока не достигнем листа, расположенного на стебле точно так же (т.е. направленного точно в ту же сторону). Попутно будем считать все листья, попадавшиеся нам (т.е. расположенные по высоте между стартовым листом и конечным), но расположенными по-другому. Нумеруя их, мы будем постепенно совершать витки вокруг стебля (поскольку листья расположены на стебле по спирали). В зависимости от того, совершать витки по часовой стрелке или против, будет получаться разное число витков. Но оказывается, что число витков, совершённых нами по часовой стрелке, число витков, совершённых против часовой стрелки, и число встреченных листьев образуют 3 последовательных числа Фибоначчи.
Например, спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и так далее.
Нас удивляет и восхищает спиральное строение ракушек.
У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме спирали. Однако нет сомнения, что эти неразумные существа не имеют представления не только о спирали, но не обладают даже простейшими математическими знаниями, чтобы самим создать себе спиралевидную раковину.
Спирали есть и в человеке. С помощью спиралей мы слышим:
Также, во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и сотворена в форме улитки, имеющей в себе золотые пропорции.
Спирали есть на наших ладошках и пальцах
В животном мире мы также можем найти множество примеров спиралей.
В форме спирали развиваются рога и бивни животных, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.
Интересно, что спиралью закручивается ураган, облака циклона и это хорошо видно из космоса:
В океанских и морских волнах спираль можно математически отразить на графике с точками 1,1,2,3,5,8,13,21,34 и 55.
Такую «бытовую» и «прозаическую» спираль тоже все узнают.
Ведь вода убегает из ванной по спирали:
Да и живём мы с вами в спирали, ведь галактика – это спираль, соответствующая формуле Золотого сечения!
Мы уже говорили, что отношений соседних чисел в ряду Фибоначчи есть число φ = 1,618. Оказывается, что и сам человек – просто кладезь числа фи.
Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы.
M/m=1,618
Первый пример золотого сечения в строении тела человека:
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1,618.
Рука человека
Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.
Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).
Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.
У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.
Золотая пропорция в строении легких человека
Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека т акже существует золотое сечение.
Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.
Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.
Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.
Есть и другое, более прозаическое применение пропорций тела человека. Например, используя эти соотношения, криминальные аналитики и археологи по фрагментам частей человеческого тела восстанавливают облик целого.
Золотые пропорции в строении молекулы ДНК.
Все сведения о физиологических особенностях живых существ, будь то растение, животное или человек, хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).
Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.
Не только прямоходящие, но и все плавающие, ползающие, летающие и прыгающие не избежали участи подчиняться числу фи. Сердечная мышца человека сокращается до 0, 618 своего объёма. Строение ракушки улитки соответствует пропорциям Фибоначчи. И таких примеров можно найти предостаточно – было бы желание исследовать природные объекты и процессы. Мир настолько пронизан числами Фибоначчи, что порой кажется: только ими Вселенная и может быть объяснена.
Практическая часть
Найдём пропорции различных частей нашего тела, и убедимся, что они действительно составляют число, очень близкое к золотому сечению.
Занесём данные измерений и вычислений в таблицу.
| № | t/s | Наши измерения (в см.) |
| 11 | расстояние от кончиков пальцев до запястья / от запястья до локтя | 27,6 / 17 ≈ 1,623 ≈ 1,618 |
| 22 | расстояние от уровня плеча до макушки головы /от плеча до бровей | 33,5 / 20,6 ≈ 1,626 ≈ 1,618 |
| 33 | длина головы / ширина головы | 26,2 / 16,2 ≈ 1,6172 ≈ 1,618 |
| 44 | От макушки головы до пупка/от макушки головы до плеча | 80 / 48 ≈ 1,66 ≈ 1, 618 |
| 55 | От макушки головы до плеча/ длина головы | 40 / 25 ≈ 1,60 ≈ 1, 618 |
| 66 | От бровей до середины губ/ от бровей до основания носа | 10 / 6 ≈ 1, 66 ≈ 1, 618 |
Видим, что пропорция "фи", которая равна отношению соседних чисел из ряда Фибоначчи, проявляется и в человеческом теле.
Мы продолжили наши наблюдения, и изучили строение сосновой шишки. И убедились, что в этих, таких разных на первый взгляд объектах, незримо присутствуют те самые числа последовательности Фибоначчи.
Итак, шаг 1.
Возьмём сосновую шишку:
Рассмотрим её поближе:
Замечаем две серии спиралей Фибоначчи: одна - по часовой стрелки, другая - против, их число 8 и 13.
Вывод:
В наших исследованиях мы увидели, что в окружающих нас растениях, живых организмах и даже в строении человека проявляют себя числа из последовательности Фибоначчи, что отражает гармоничность их строения.
Мы искали ответ на вопрос: как проявляет себя ряд Фибоначчи в окружающей нас действительности? Но, отвечая на него, получали новые и новые вопросы.
Откуда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Спираль скручивается или раскручивается?
Мы убедились, что у Природы есть свои законы, выраженные с помощью математики. И математика – это очень важный инструмент для познания тайн природы.
Как удивительно человек познаёт этот мир!!!
Найдя ответ на один вопрос, получает следующий. Разгадает его, получает два новых. Разберётся с ними, появятся ещё три. Решив и их, обзаведётся пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55...
Список литературы и сайтов Интернета:
Энциклопедический словарь юного математика. М: «Педагогика», 1985.
Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал. № 4, 2005.
А.К.Сухотин .Ритмы и алгоритмы .М: «Просвещение», 1992.
Л.Тарасов Этот удивительно симметричный мир Издательство «Просвещение» Москва,1982
М. Гарднер М. Этот правый, левый мир Издательство «Мир», Москва,1995.
В.И.Григорьев., Г.Я.Мякишев. Силы в природе Издательство «Наука», Москва ,.1999
Мороз О.П. В поисках гармонии Атомиздат, Москва, 1998
Журнал «КВАНТ» №10, 1992г.
Н. Н. Воробьёв. Числа Фибоначчи. — Наука, 1978.— (Популярные лекции по математике).
1.http://www.chydesa-sveta.ru/en/chisla_fibonachchi.html
2.http://zagadkamozga.ru/node/630
3.http://magov.net/blog/3621.html
4.http://greenword.ru/2009/06/fibonacci-sequence.html
5.http://esopedia.ru/ChislaFibonachchi
6.http://reflection.org.ua/vselennaya/zagadka-chisel-fibonachi.html
7.http://dip-ref.ru/diplom/778.htm
8.http://evolutionoftruth.com/abennett
9.http://evolutionoftruth.com/goldensection/solarsys.htm
10.http://www.goldenmuseum.com/
11.http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott
12.http://goldennumber.net/
