![Взаимное расположение прямых в пространстве. Углы с соноправленными сторонами. Уго л между прямыми.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_0.jpg)
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Углы с соноправленными сторонами.
Уго л между прямыми.
![Цели урока: Доказать теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами. Научиться находить угол между прямыми в пространстве.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_1.jpg)
Цели урока:
- Доказать теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
- Научиться находить
угол между прямыми
в пространстве.
![Повторение. Нет Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые а) пересекаться? б) быть скрещивающимися? Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с ? Даны две скрещивающиеся прямые а и b . Точки А и А 1 лежат на прямой а , точки В и В 1 лежат на прямой b . Как будут расположены прямые АВ и А 1 В 1 ? Прямая а скрещивается с прямой b , а прямая b скрещивается с прямой с . Следует ли из этого, что прямые а и с - скрещиваются? Да Да Нет АВ скрещивается с А 1 В 1 Нет](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_2.jpg)
Повторение.
Нет
- Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?
- Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые а) пересекаться?
б) быть скрещивающимися?
- Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с ?
- Даны две скрещивающиеся прямые а и b . Точки А и А 1 лежат на прямой а , точки В и В 1 лежат на прямой b . Как будут расположены прямые АВ и А 1 В 1 ?
- Прямая а скрещивается с прямой b , а прямая b скрещивается с прямой с . Следует ли из этого, что прямые а и с - скрещиваются?
Да
Да
Нет
АВ скрещивается с А 1 В 1
Нет
![Любая прямая а , лежащая в плоскости, разделяет плоскость на две части, называемые полуплоскостями. а а – граница полуплоскостей. А С В Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а . Точки А и С лежат по разные стороны от прямой а . ?](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_3.jpg)
Любая прямая а , лежащая в плоскости, разделяет плоскость на две части, называемые полуплоскостями.
а
а – граница
полуплоскостей.
А
С
В
Точки А и В лежат по одну
сторону от прямой а .
Точки А и С лежат по разные
стороны от прямой а .
?
![Углы с сонаправленными сторонами. А 2 ? А О О 1 А 1 О 2 Лучи ОА и О 1 А 1 не лежат на одной прямой, параллельны, лежат в одной полуплоскости с границей ОО 1 → сонаправленные](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_4.jpg)
Углы с сонаправленными сторонами.
А 2
?
А
О
О 1
А 1
О 2
Лучи ОА и О 1 А 1 не лежат на одной
прямой, параллельны, лежат в одной
полуплоскости с границей ОО 1 →
сонаправленные
![Теорема об углах с сонаправленными сторонами Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. Дано: угол О и угол О 1 с сонаправленными сторонами. А О Доказать: А 1 В О 1 В 1](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_5.jpg)
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Если стороны двух углов соответственно
сонаправлены, то такие углы равны.
Дано: угол О и угол О 1
с сонаправленными
сторонами.
А
О
Доказать:
А 1
В
О 1
В 1
![Теорема об углах с сонаправленными сторонами Доказательство: Отметим точки А, В, А 1 и В 1 , такие что ОА = О 1 А 1 и ОВ = О 1 В 1 . 1. Рассмотрим ОАА 1 О 1 : ОА || О 1 А 1 ОА = О 1 А 1 ОАА 1 О 1 –параллелограмм ( по признаку ). А О Значит, АА 1 || ОО 1 и АА 1 = ОО 1 . 2. Рассмотрим ОВВ 1 О 1 : А 1 В О 1 ОВ || О 1 В 1 ОВ = О 1 В 1 ОВВ 1 О 1 –параллелограмм ( по признаку ). В 1 Значит, ВВ 1 || ОО 1 и ВВ 1 = ОО 1 .](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_6.jpg)
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Доказательство:
Отметим точки А, В, А 1 и В 1 , такие что
ОА = О 1 А 1 и ОВ = О 1 В 1 .
1. Рассмотрим ОАА 1 О 1 :
ОА || О 1 А 1
ОА = О 1 А 1
ОАА 1 О 1 –параллелограмм
( по признаку ).
А
О
Значит, АА 1 || ОО 1 и АА 1 = ОО 1 .
2. Рассмотрим ОВВ 1 О 1 :
А 1
В
О 1
ОВ || О 1 В 1
ОВ = О 1 В 1
ОВВ 1 О 1 –параллелограмм
( по признаку ).
В 1
Значит, ВВ 1 || ОО 1 и ВВ 1 = ОО 1 .
![Теорема об углах с сонаправленными сторонами Вывод: АА 1 || ОО 1 и ВВ 1 || ОО 1 , АА 1 || ВВ 1 АА 1 = ВВ 1 АА 1 = ОО 1 и ВВ 1 = ОО 1 , Следовательно, четырехугольник АА 1 В 1 В – параллелограмм (по признаку). А О АВ = А 1 В 1 3. Рассмотрим ∆АВ О и ∆А 1 В 1 О 1 . А 1 В О 1 ∆ АВО = ∆А 1 В 1 О 1 (по трем сторонам) В 1 Вывод:](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_7.jpg)
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Вывод:
АА 1 || ОО 1 и ВВ 1 || ОО 1 ,
АА 1 || ВВ 1
АА 1 = ВВ 1
АА 1 = ОО 1 и ВВ 1 = ОО 1 ,
Следовательно,
четырехугольник АА 1 В 1 В –
параллелограмм (по признаку).
А
О
АВ = А 1 В 1
3. Рассмотрим ∆АВ О и ∆А 1 В 1 О 1 .
А 1
В
О 1
∆ АВО = ∆А 1 В 1 О 1
(по трем сторонам)
В 1
Вывод:
![Угол между скрещивающимися прямыми. А 1. С α D 0 0 α 90 0 180 0 - α В 2. А 1 Угол между скрещивающимися прямыми АВ и С D определяется как угол между пересекающимися прямыми А 1 В 1 и С 1 D 1 , при этом А 1 В 1 || АВ и С 1 D 1 || CD. С 1 α М 1 D 1 В 1](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_8.jpg)
Угол между скрещивающимися прямыми.
А
1.
С
α
D
0 0 α 90 0
180 0 - α
В
2.
А 1
Угол между
скрещивающимися
прямыми АВ и С D
определяется как угол
между пересекающимися
прямыми А 1 В 1 и С 1 D 1 ,
при этом А 1 В 1 || АВ и С 1 D 1 || CD.
С 1
α
М 1
D 1
В 1
![3. Практическое задание. Выбрать любую точку М 2. Построить А 2 В 2 || АВ и С 2 D 2 || CD . Ответить на вопросы: 1. Почему А 2 В 2 || А 1 В 1 и С 2 D 2 || C 1 D 1 ? 2. Являются ли углы А 1 М 1 D 1 и А 2 М 2 D 2 углами с соответственно параллельными сторонами? ? 1. Вывод: Величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_9.jpg)
3.
Практическое задание.
- Выбрать любую точку М 2.
- Построить А 2 В 2 || АВ и С 2 D 2 || CD .
- Ответить на вопросы:
1. Почему А 2 В 2 || А 1 В 1 и С 2 D 2 || C 1 D 1 ?
2. Являются ли углы А 1 М 1 D 1 и А 2 М 2 D 2
углами с соответственно
параллельными сторонами?
?
1.
Вывод:
- Величина угла между скрещивающимися
прямыми не зависит от выбора точки.
![Дан куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 . Найдите угол между прямыми: C 1 B 1 90 0 ВС и СС1 1. A 1 D 1 45 0 АС и ВС 2. 90 0 3. D 1 С 1 и ВС B C 45 0 4 . А 1 В 1 и АС A D](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_10.jpg)
Дан куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 .
Найдите угол между прямыми:
C 1
B 1
90 0
ВС и СС1
1.
A 1
D 1
45 0
АС и ВС
2.
90 0
3.
D 1 С 1 и ВС
B
C
45 0
4 .
А 1 В 1 и АС
A
D
![Задача №44. Дано: ОВ || С D , ОА и С D – скрещивающиеся. Найти угол между ОА и С D , если: A 40 0 а) В 45 0 D б) О 90 0 C в)](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_11.jpg)
Задача №44.
Дано: ОВ || С D ,
ОА и С D – скрещивающиеся.
Найти угол между ОА и С D , если:
A
40 0
а)
В
45 0
D
б)
О
90 0
C
в)
![Дополнительная задача. Треугольники АВС и АС D лежат в разных плоскостях. РК – средняя линия ∆А DC с основанием АС. Определить взаимное расположение прямых РК и АВ, найти угол между ними, если D Ответ: 1) АВ и РК скрещивающиеся, 2) 60 0 К P С В А](http://fsd.compedu.ru/html/2018/02/04/i_5a76bac6277fa/img_phpAhYU9u_Ugol-mezhdu-pryamymi_12.jpg)
Дополнительная задача.
Треугольники АВС и АС D лежат
в разных плоскостях. РК – средняя
линия ∆А DC с основанием АС.
Определить взаимное расположение
прямых РК и АВ, найти угол между
ними, если
D
Ответ:
1) АВ и РК скрещивающиеся,
2) 60 0
К
P
С
В
А