Взаимное расположение прямых в пространстве.
Углы с соноправленными сторонами.
Уго л между прямыми.
Цели урока:
- Доказать теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
- Научиться находить
угол между прямыми
в пространстве.
Повторение.
Нет
- Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?
- Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые а) пересекаться?
б) быть скрещивающимися?
- Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с ?
- Даны две скрещивающиеся прямые а и b . Точки А и А 1 лежат на прямой а , точки В и В 1 лежат на прямой b . Как будут расположены прямые АВ и А 1 В 1 ?
- Прямая а скрещивается с прямой b , а прямая b скрещивается с прямой с . Следует ли из этого, что прямые а и с - скрещиваются?
Да
Да
Нет
АВ скрещивается с А 1 В 1
Нет
Любая прямая а , лежащая в плоскости, разделяет плоскость на две части, называемые полуплоскостями.
а
а – граница
полуплоскостей.
А
С
В
Точки А и В лежат по одну
сторону от прямой а .
Точки А и С лежат по разные
стороны от прямой а .
?
Углы с сонаправленными сторонами.
А 2
?
А
О
О 1
А 1
О 2
Лучи ОА и О 1 А 1 не лежат на одной
прямой, параллельны, лежат в одной
полуплоскости с границей ОО 1 →
сонаправленные
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Если стороны двух углов соответственно
сонаправлены, то такие углы равны.
Дано: угол О и угол О 1
с сонаправленными
сторонами.
А
О
Доказать:
А 1
В
О 1
В 1
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Доказательство:
Отметим точки А, В, А 1 и В 1 , такие что
ОА = О 1 А 1 и ОВ = О 1 В 1 .
1. Рассмотрим ОАА 1 О 1 :
ОА || О 1 А 1
ОА = О 1 А 1
ОАА 1 О 1 –параллелограмм
( по признаку ).
А
О
Значит, АА 1 || ОО 1 и АА 1 = ОО 1 .
2. Рассмотрим ОВВ 1 О 1 :
А 1
В
О 1
ОВ || О 1 В 1
ОВ = О 1 В 1
ОВВ 1 О 1 –параллелограмм
( по признаку ).
В 1
Значит, ВВ 1 || ОО 1 и ВВ 1 = ОО 1 .
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Вывод:
АА 1 || ОО 1 и ВВ 1 || ОО 1 ,
АА 1 || ВВ 1
АА 1 = ВВ 1
АА 1 = ОО 1 и ВВ 1 = ОО 1 ,
Следовательно,
четырехугольник АА 1 В 1 В –
параллелограмм (по признаку).
А
О
АВ = А 1 В 1
3. Рассмотрим ∆АВ О и ∆А 1 В 1 О 1 .
А 1
В
О 1
∆ АВО = ∆А 1 В 1 О 1
(по трем сторонам)
В 1
Вывод:
Угол между скрещивающимися прямыми.
А
1.
С
α
D
0 0 α 90 0
180 0 - α
В
2.
А 1
Угол между
скрещивающимися
прямыми АВ и С D
определяется как угол
между пересекающимися
прямыми А 1 В 1 и С 1 D 1 ,
при этом А 1 В 1 || АВ и С 1 D 1 || CD.
С 1
α
М 1
D 1
В 1
3.
Практическое задание.
- Выбрать любую точку М 2.
- Построить А 2 В 2 || АВ и С 2 D 2 || CD .
- Ответить на вопросы:
1. Почему А 2 В 2 || А 1 В 1 и С 2 D 2 || C 1 D 1 ?
2. Являются ли углы А 1 М 1 D 1 и А 2 М 2 D 2
углами с соответственно
параллельными сторонами?
?
1.
Вывод:
- Величина угла между скрещивающимися
прямыми не зависит от выбора точки.
Дан куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 .
Найдите угол между прямыми:
C 1
B 1
90 0
ВС и СС1
1.
A 1
D 1
45 0
АС и ВС
2.
90 0
3.
D 1 С 1 и ВС
B
C
45 0
4 .
А 1 В 1 и АС
A
D
Задача №44.
Дано: ОВ || С D ,
ОА и С D – скрещивающиеся.
Найти угол между ОА и С D , если:
A
40 0
а)
В
45 0
D
б)
О
90 0
C
в)
Дополнительная задача.
Треугольники АВС и АС D лежат
в разных плоскостях. РК – средняя
линия ∆А DC с основанием АС.
Определить взаимное расположение
прямых РК и АВ, найти угол между
ними, если
D
Ответ:
1) АВ и РК скрещивающиеся,
2) 60 0
К
P
С
В
А
