Технологическая карта занятия: "Применение производной. Применение первообразной" (2 ч)

Группа

Дата

Дисциплина

Математика

Тема занятия

Раздел : повторение материала всего курса математики

Применение производной. Применение первообразной.

Вид занятия

теоретическое

образовательные:

Цель занятия

-обобщить, повторить и систематизировать знания, полученные при изучении темы «Производная, Первообразная»;

 -продолжить работу по формированию знаний о способах решения примеров на отыскание первообразной и производной

развивающие:

- развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь; развивать логическое мышление, умение самостоятельно работать, навыки взаимоконтроля и самоконтроля, умение говорить и слушать;

воспитательные:

- воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

- воспитание уважительного отношения к одноклассникам

ОК 2 Организовывать собственную деятельность, определять методы решения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3 Оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях

ОК 4 Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5 Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.

ОК 6 Работать в коллективе и команде, взаимодействовать

Показатели оценки

результата

Должны знать

• знать определение и свойства

Должны уметь

• уметь применять при решении примеров полученные ранее знания

Межпредметные

связи

Обеспечивающие

дисциплины

Физика, русский язык

Обеспечиваемые

дисциплины

Физика, химия, черчение, русский язык

Средства

Доска, мел, учебник

обучения

Основная

А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.»

литература

А.В. Погорелов «Геометрия 10-11кл.»

№

этапа

Этапы занятия, учебные вопросы,

формы и методы обучения

Временная

регламентация

этапа

1

Организационный этап:

- проверка готовности студентов к занятию;

- проверка посещаемости; сообщение темы.

1

- Сообщение темы, вовлечение студентов в процесс постановки цели занятия, сообщение правил заполнения листа самоанализа:

Критерий оценивания:

1

2.

Актуализация опорных знаний

15

существование производной функции y=f(x) в точке  эквивалентно существованию касательной к графику функции y=f(x) в точке касания , причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке , то есть .

Заключаем: геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке.

Производные элементарных функций.

3

Мотивационный момент:

2

обоснование необходимости изучения данной темы для эффективного выполнения профессиональных задач;

«За всю историю человечества пока не найдено лучшего способа развития интеллектуальных и творческих способностей человека , чем при помощи математики» Владимир Тихомиров, профессор МГУ.

4

Изучение нового материала

26

Вспомним определения:

1. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство:

F′(x)=f (x).

2. Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом.

Как можно представить себе неопределенный интеграл

где F (x) - первообразная функции f (x), а С - некоторая постоянная величина?

Если в данном примере или задаче не даются начальные условия для нахождения величины С, то мы получаем неоднозначную функцию F (x)+С - семейство интегральных кривых. Графики этих кривых можно совместить с помощью параллельного переноса. Из семейства этих кривых нам нужно уметь выделять ту, которая проходит через данную точку.

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции: f(x)=x-3x^2 в точке x0=2.

Ответ: -11.

Задание. Тело движется прямолинейно по закону  (м). Определить скорость его движения в момент  с.

Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть

В заданный момент времени

 (м/с).

Ответ.  (м/с).

5

Закрепление нового материала.

17

некоторая постоянная величина?

Если в данном примере или задаче не даются начальные условия для нахождения величины С, то мы получаем неоднозначную функцию F (x)+С - семейство интегральных кривых. Графики этих кривых можно совместить с помощью параллельного переноса. Из семейства этих кривых нам нужно уметь выделять ту, которая проходит через данную точку.

Пример 1. Найти для функции f (x)=1-2x первообразную, график которой проходит через точку М(3; 2).

Решение.

F (x)=∫(1-2x) dx=∫dx-2∫xdx=x-x²+C.

Так как F (3)=2 по условию, то получаем равенство:

2=3-3²+С;

2=3-9+С;

2=-6+С → С=8.

Тогда F (x)=x-x²+8.

Критерий оценивания:

Самостоятельная работа

21

Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции 

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение :

Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:

Так как на промежутке  вторая производная , то на этом промежутке функция выпукла; в силу того, что на промежутке  вторая производная  - функция вогнута. Так как при переходе через точку  вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции.

Ответ. Точка  - точка перегиба графика функции.

На промежутке  функция выпукла, на промежутке  функция вогнута.

Задание.   и построить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует:  для любого  из области определения функции;  не существует при  и  .

Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует:  ; при и  вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках  и  функция вогнута, а на промежутках  и  - выпукла. Так как при переходе через точку  вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

Критерий оценивания учащихся отвечающих у доски:

Критерий оценивания учащихся решающих на месте:

(выполнив задание, учащийся поднимает руку и показывает решение примера. В соответствии с критерием оценивания получает баллы за работу.)

6.

Подведение итогов занятия:

5

Заполнение листа самоконтроля

- обсуждение и оценка результатов самостоятельной работы

- выставление оценок.

7.

Домашнее задание: В-93(3) В -96 (3) В-4.24 В-4.29 Индивидуально: № 576(b)

1

8

Рефлексия:

1

обсуждение и оценка результатов самостоятельной работы (рефлексия в письменной форме)

И если есть самостоятельная работа, то задания и форма контроля самостоятельной работы

90