Решение задач на теорему о трех перпендикулярах
Задача 1
Прямая АК перпендикулярна к плоскости равностороннего треугольника АВС, точка М – середина стороны ВС.
1) Докажите, что МК ⊥ ВС
2) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВС, если АК = а, ВС = 2а.
1) Дано:
AB = BC = CA,
AK ⊥ ABC,
BM = MC.
Доказать: МК ⊥ ВС. 
Рис. 1
Доказательство:
АМ - это проекция наклонной КМ на плоскость АВС. АМ - медиана. По свойству равностороннего треугольника медиана АМ является и высотой, то есть прямые ВС и АМ перпендикулярны.
Первый способ:
Прямая ВС перпендикулярна АМ - проекции наклонной МК. По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что прямая ВС перпендикулярна и наклонной МК, что и требовалось доказать.
Второй способ:
Прямая АК перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ВС, лежащей в плоскости АВС. Имеем, ВС перпендикулярна АМ, ВС перпендикулярна АК, значит, ВС перпендикулярна плоскости МАК, а значит, и прямой МК, лежащей в этой плоскости, что и требовалось доказать.
2) Дано:
АВ = ВС = СА,
АК ⊥ АВС,
ВС = 2а,
АК = а,
Найти: ∠(КМ; АВС)
Решение:
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскости. Мы имеем наклонную МК, имеем ее проекцию АМ. Значит, углом между прямой МК и плоскостью АВС является угол АМК.
Треугольник АВС – равносторонний. Значит, все его углы равны 60°. Значит, ∠АВС = 60°.
Рассмотрим треугольник АМВ. Он прямоугольный, так как АМ ⊥ ВС. Найдем АМ:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АМК. AK = a, 
Угол АМК – острый, значит, 
Ответ: 30°.
Задача 2
Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD.
1) Докажите, что треугольники АМD и МСD – прямоугольные.
2) Найдите угол между прямой МD и плоскостью АВС, если СD = 3см,
АD = 4 см, МВ=5 см.
Рис. 2
1) Дано: прямоугольник АВСD, МВ ⊥ АВС.
Доказать: ∆АМD и ∆МСD – прямоугольные
Доказательство:
МВ – перпендикуляр к плоскости АВС. МА – наклонная, ВА - ее проекция. Проекция ВА перпендикулярна прямой АD из плоскости АВС. Значит, и наклонная МА перпендикулярна DА (по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, треугольник АМD - прямоугольный, так как угол МАD - прямой.
Аналогично, МС – наклонная, ВС - проекция наклонной МС на плоскость АВС. Проекция ВС перпендикулярна СD, значит, и наклонная МС перпендикулярна СD(по теореме о трех перпендикулярах). Угол МСD прямой, треугольник МСD прямоугольный.
2) Дано:
АВСD – прямоугольник, МD ⊥ АВС
СD = 3 см, АD = 4 см, МВ = 5 см.
Найти: ∠(DМ; АВС).
Решение:
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. DМ - наклонная, DВ ее проекция на плоскость АВС, следовательно, нам нужно найти угол МDВ. Обозначим его за φ.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ВАD. АВ = СD = 3 см (как противоположные стороны прямоугольника). Найдем ВD по теореме Пифагора.
Рассмотрим прямоугольный треугольник МВD. Найдем угол ВDМ.
Угол φ – острый, значит, 
Ответ: 
