Разработка уроков по теме: "Квадратные уравнения"
Цель: Познакомить учащихся с квадратными уравнениями, дискриминантом, теоремой Виета.
Показать учащимся, как решаются квадратные уравнения различных видов.
Развивать внимание и логическое мышление учащихся.
Воспитывать аккуратность и четкость в записях учащихся.
Ход урока:
Оргмомент.
Составление конспекта лекции.
Определение. Уравнение вида ax2+bx+c=0, где а, b и c – некоторые числа, причем а 0, а х – переменная, называется квадратным.
Примеры: 2х2+2х+1=0; -3х2+4х=0; 9х2-25=0. В каждом из уравнений назвать, чему равны коэффициенты.
Определение. Если в уравнении вида ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен 0, то уравнение называют неполным квадратным.
1. Если с=0, то уравнение имеет вид ax2+bx=0. Оно решается разложением на множители. Уравнение данного вида всегда имеет два корня, всегда один из них равен нулю.
Пример: 4х2+16х=0 Решить самостоятельно:
4х (х+4) = 0 3х2-6х=0
4х=0 или х+4=0
х=0 х= -4
Ответ: х=0, х= -4.
2. Если b=0, то уравнение имеет вид ax2+c=0. Оно решается только тогда, когда у коэффициентов а и с разные знаки. При решении уравнений применяет формулу разности квадратов.
Пример: 1) 1-4y2=0 2) 6х2+12=0
(1-2y) (1+2y) =0 Решений нет, так как это сумма квадратов, а не разность.
| 1-2y=0 или 1+2y=0 | 3) Решить самостоятельно -х2+3=0 |
| 2y=1 2y= -1 | (3-х)(3+х)=0 |
| y=0,5 y= -0,5 | 3-х=0 или 3+х=0 |
| Ответ: y=0,5; y= -0,5 | х= 3 х=-3 |
3. Если b=0 и с=0, то уравнение имеет вид ах2=0. Уравнение имеет единственный корень х=0.
Решение полных квадратных уравнений
Определение. Выражение вида D=b2-4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
Примеры. Вычислите дискриминант
2х2+3х+1=0, a=2, b=3, c=1 D=32-4* 2* 4= -23
5х2-2х-1=0, a=5, b=-2, c=-1 D=(-2)2-4* 5* (-1)= 24
Самостоятельно: вычислите дискриминант -2х2-2х+5=0, 3х2+7х-3=0.
Если второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записать в другом виде:ax2+2kx+c=0; D= k2-2ac,
Вывод:
1. Если D0, то уравнение имеет два разных корня.
2. Если D=0, то уравнение имеет два равных корня.
3. Если D
Примеры:
1) 3х2+5х-8=0
2) х2+5х+10=0
Решение:
a=1, b=5, c=10, D=52-4E 1* 10= -15
Ответ: корней нет.
3) Решить самостоятельно
х2-6х+9=0 a=1, b=-6, c=9
| I способ (х-3)2=0 | II способ D=(-6)2-4* 1* 9= 0 |
| х=6/2 |
|
| х=3 |
|
| Ответ: х=3. |
|
Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Задача1. Сумма двух чисел равна 13, их произведение равно 40. Найдите эти числа
Решение: I+II=13, I * II=40
Пусть х – первое число, тогда (13-х) – второе число. Зная, что их произведение равно 40, составляем уравнение:
х (13-х)=40,
-х2+13х-40=0,
х2-13х+40=0,
D=(-13)2-4 * 1 * 40= 9
х1=8, х2=5.
Если первое число 8, тогда второе 5; если первое число 5, тогда второе 8.
Ответ: 8 и 5.
Теорема Виета.
Определение. Квадратное уравнение с первым коэффициентом, равным единице, называется приведенным x2+bx+c=0. Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным.
5х2-2х+3=0. Разделим обе части уравнения на 5.
– приведенное квадратное уравнение.
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Пример. Проверить теорему Виета для уравнения.
1) х2-9х+20=0.
х1+х2=9 х1=4 D=(-9)2-4* 20= 1
х1E х2=20 х2=5 , х1=4, х2=5
Ответ: х1=4, х2=5.
) самостоятельно х2+16х+63=0
Обратная теорема. Если два числа в сумме равны b, а в произведении равны с, то эти числа являются корнями квадратного уравнения x2-bx+c=0.
Пример: 1) Составить квадратное уравнение, чтобы корни его были 2 и 3.
Решение. х1+х2=2+3=5, значит, b=-5
х1* х2=6, значит, с=6
Ответ: х2-5х+6=0.
2) самостоятельно х1=4, х2=6. Составить квадратное уравнение.
Определение. Уравнение вида ax4+bx2+c=0, называется биквадратным.
Биквадратное уравнение решается с помощью замены вида x2=t
Пример 1) x4-15x2-96=0
Решение
Пусть x2=t, тогда t2-15t-96=0
t1+t2=15, t1=16
t1* t2=-16, t2=-1
x2=16 x2=-1
х=G 4 корней нет
Ответ: х1=4, х2=-4.
2) самостоятельно x4-11x2-12=0.
Итог урока.
Домашнее задание. Выучить конспект, п 19-23, ответить на вопросы 1-5 после п. 23
