![Тема урока: Производная и её применение](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_0.jpg)
Тема урока: Производная и её применение
![«Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира» Н.И. Лобачевский](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_1.jpg)
«Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира»
Н.И. Лобачевский
![Цели урока:](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_2.jpg)
Цели урока:
- узнать историю открытия производной;
- узнать основные направления применения производной в разных областях науки и техники.
- ввести определение производной
- познакомиться с правилами дифференцирования
- Узнать в чём заключается геометрический и физический смысл производной
![немного из истории Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Понятие производной возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой. Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_3.jpg)
немного из истории
Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке.
Понятие производной возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой.
Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.
![](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_4.jpg)
![](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_5.jpg)
![](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_6.jpg)
![](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_7.jpg)
![](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_8.jpg)
![](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_9.jpg)
![1. Выражение вида f появилось уже в конце 17 в. и означает «приращение». 2. Термин производная ввел в 1797г. Ж. Лагранж 3. И. Ньютон называл производную функцию флюксией , а саму функцию – флюентой. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций , называется дифференциальным исчислением. Дифференциальное исчисление создан Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_10.jpg)
1. Выражение вида f появилось уже в конце 17 в.
и означает «приращение».
2. Термин производная ввел в 1797г. Ж. Лагранж
3. И. Ньютон называл производную функцию
флюксией , а саму функцию – флюентой.
- Раздел математики, в котором изучаются
производные и их применения к исследованию
функций , называется
дифференциальным исчислением.
- Дифференциальное исчисление создан
Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия.
![Приращение аргумента, приращение функции. Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х 0 . Разность х-х 0 называется приращением независимой переменной ( или приращением аргумента ) в точке х 0 и обозначается ∆х. ∆ х = х – х 0 – приращение независимой переменной Приращением функции f в точке x 0 называется разность между значениями функции в произвольной точке и значением функции в фиксированной точке. f(х) – f(х 0 )=f(х 0 +∆х) – f(х 0 ) – приращение функции f ∆ f=f(х 0 +∆х) – f(х 0 )](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_11.jpg)
Приращение аргумента, приращение функции.
Пусть х – произвольная точка, лежащая в
некоторой окрестности фиксированной
точки х 0 .
Разность х-х 0 называется приращением
независимой переменной
( или приращением аргумента ) в точке х 0 и обозначается ∆х.
∆ х = х – х 0 – приращение независимой переменной
Приращением функции f в точке x 0
называется разность между значениями
функции в произвольной точке и значением
функции в фиксированной точке.
f(х) – f(х 0 )=f(х 0 +∆х) – f(х 0 ) – приращение функции f
∆ f=f(х 0 +∆х) – f(х 0 )
![](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_12.jpg)
![Таблица производных элементарных функций](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_13.jpg)
Таблица производных элементарных функций
![Основные правила дифференцирования Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0, то справедливы следующие правила: 1. Производная суммы (u+v)'= u' + v' 2. О постоянном множителе (Cu)'=Cu' 3. Производная произведения (uv)'=u'v+uv'](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_14.jpg)
Основные правила дифференцирования
Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0, то справедливы следующие правила:
- 1. Производная суммы (u+v)'= u' + v'
- 2. О постоянном множителе (Cu)'=Cu'
- 3. Производная произведения
(uv)'=u'v+uv'
- 4. Производная дроби (u/v)'=(u'v-uv') / v 2
![Образцы решения задач. Решая примеры, проговаривай вслух. Помни: «Мысль рождается с собственной речи!»](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_15.jpg)
Образцы решения задач.
Решая примеры, проговаривай вслух.
Помни: «Мысль рождается с собственной речи!»
![Тест по теме «Производная функции »](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_16.jpg)
Тест по теме «Производная функции »
![Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной со- стоит в том, что производная в точке х 0 равна угловому коэффициенту касательной в точке х 0 и тангенсу угла наклона касатель- ной k=tgα=∆y/∆x](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_17.jpg)
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной со-
стоит в том, что производная в точке х 0
равна угловому коэффициенту касательной
в точке х 0 и тангенсу угла наклона касатель-
ной
k=tgα=∆y/∆x
![Механический смысл производной (физический смысл производной) Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t 0 : S ' (t 0 )=V(t 0 ).](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_18.jpg)
Механический смысл производной (физический смысл производной)
Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t 0 :
S ' (t 0 )=V(t 0 ).
![Ответим на следующие вопросы:](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_19.jpg)
Ответим на следующие вопросы:
- Сформулируйте определение производной функции?
- Как называется математическая операция нахождения производной функции?
- В чем заключается геометрический смысл производной функции?
- Каков физический (механический) смысл производной?
![“ Ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике” Аристотель](http://fsd.compedu.ru/html/2018/03/28/i_5abbf0028e2b2/img_php0WktD2_prezentaciya-proizvodnaya-1-urok_20.jpg)
“ Ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике”
Аристотель