Тема урока: Производная и её применение
«Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира»
Н.И. Лобачевский
Цели урока:
- узнать историю открытия производной;
- узнать основные направления применения производной в разных областях науки и техники.
- ввести определение производной
- познакомиться с правилами дифференцирования
- Узнать в чём заключается геометрический и физический смысл производной
немного из истории
Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке.
Понятие производной возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой.
Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.
1. Выражение вида f появилось уже в конце 17 в.
и означает «приращение».
2. Термин производная ввел в 1797г. Ж. Лагранж
3. И. Ньютон называл производную функцию
флюксией , а саму функцию – флюентой.
- Раздел математики, в котором изучаются
производные и их применения к исследованию
функций , называется
дифференциальным исчислением.
- Дифференциальное исчисление создан
Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия.
Приращение аргумента, приращение функции.
Пусть х – произвольная точка, лежащая в
некоторой окрестности фиксированной
точки х 0 .
Разность х-х 0 называется приращением
независимой переменной
( или приращением аргумента ) в точке х 0 и обозначается ∆х.
∆ х = х – х 0 – приращение независимой переменной
Приращением функции f в точке x 0
называется разность между значениями
функции в произвольной точке и значением
функции в фиксированной точке.
f(х) – f(х 0 )=f(х 0 +∆х) – f(х 0 ) – приращение функции f
∆ f=f(х 0 +∆х) – f(х 0 )
Таблица производных элементарных функций
Основные правила дифференцирования
Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0, то справедливы следующие правила:
- 1. Производная суммы (u+v)'= u' + v'
- 2. О постоянном множителе (Cu)'=Cu'
- 3. Производная произведения
(uv)'=u'v+uv'
- 4. Производная дроби (u/v)'=(u'v-uv') / v 2
Образцы решения задач.
Решая примеры, проговаривай вслух.
Помни: «Мысль рождается с собственной речи!»
Тест по теме «Производная функции »
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной со-
стоит в том, что производная в точке х 0
равна угловому коэффициенту касательной
в точке х 0 и тангенсу угла наклона касатель-
ной
k=tgα=∆y/∆x
Механический смысл производной (физический смысл производной)
Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t 0 :
S ' (t 0 )=V(t 0 ).
Ответим на следующие вопросы:
- Сформулируйте определение производной функции?
- Как называется математическая операция нахождения производной функции?
- В чем заключается геометрический смысл производной функции?
- Каков физический (механический) смысл производной?
“ Ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике”
Аристотель
