![Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_0.jpg)
Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
![Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции ( промежутков возрастания и убывания ). Такой анализ легко сделать с помощью производной.](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_1.jpg)
- Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции ( промежутков возрастания и убывания ). Такой анализ легко сделать с помощью производной.
![Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_2.jpg)
- Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
![убывающая убывающая убывающая возрастающая возрастающая возрастающая и убывающая на интервалах возрастающая и убывающая на интервалах возрастающая и убывающая на интервалах](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_3.jpg)
убывающая
убывающая
убывающая
возрастающая
возрастающая
возрастающая и убывающая на интервалах
возрастающая и убывающая на интервалах
возрастающая и убывающая на интервалах
![Теорема 1.](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_4.jpg)
Теорема 1.
- Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.
![Теорема 2.](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_5.jpg)
Теорема 2.
- Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает) .
![Правило нахождения интервалов монотонности](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_6.jpg)
Правило нахождения интервалов монотонности
- Находим область определения функции f(x) .
- Вычисляем производную f’(x) данной функции.
- Находим точки, в которых f’(x) =0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).
- Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности .
- Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)› 0 , то на этом интервале f ( x) возрастает ; если f’(x)‹ 0 , то на таком интервале функция f(x) убывает .
![Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5 Область определения : R . Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36. Находим критические точки: y’= 0. x²-x-6 =0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при x ϵ (-∞;-2] υ [3;+∞) , функция убывает при x ϵ [ -2;3 ] . - + + -2 3](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_7.jpg)
Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5
- Область определения : R . Функция непрерывна.
- Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36.
- Находим критические точки: y’= 0.
x²-x-6 =0
Д=1-4*(-6)*1=1+24=25
- Делим область определения на интервалы:
- Функция возрастает при x ϵ (-∞;-2] υ [3;+∞) , функция убывает при x ϵ [ -2;3 ] .
-
+
+
-2
3
![Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x² Область определения : R . Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’= 3 x²-6x. Находим критические точки: y’= 0. x²- 2 x =0 x(x-2)=0 x1=0 и x2=2 Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при x ϵ (-∞;0] υ [2;+∞) , функция убывает при x ϵ [0 ; 2] . + - - 0 2](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_8.jpg)
Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²
- Область определения : R . Функция непрерывна.
- Вычисляем производную : y’= 3 x²-6x.
- Находим критические точки: y’= 0.
x²- 2 x =0
x(x-2)=0
x1=0 и x2=2
- Делим область определения на интервалы:
- Функция возрастает при x ϵ (-∞;0] υ [2;+∞) , функция убывает при x ϵ [0 ; 2] .
+
-
-
0
2
![Точку x 0 называют точкой минимума функции y=f(x) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x 0 ) . Точку x 0 называют точкой максимума функции y=f(x) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x 0 ) .](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_9.jpg)
- Точку x 0 называют точкой минимума функции y=f(x) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x 0 ) .
- Точку x 0 называют точкой максимума функции y=f(x) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x 0 ) .
![Теорема 3. Если производная f ’( x ) при переходе через точку x 0 меняет знак , то точка x 0 является точкой экстремума функции f ( x ). Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_10.jpg)
Теорема 3.
- Если производная f ’( x ) при переходе через точку x 0 меняет знак , то точка x 0 является точкой экстремума функции f ( x ).
Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума
![Для запоминания!!! min max Экстремума нет Экстремума нет](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_11.jpg)
Для запоминания!!!
min
max
Экстремума нет
Экстремума нет
![Пример № 3 . Найти экстремумы функции y= - 2x³-3x² +12 x -4 Область определения : R . Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’= - 6x²-6x +12 . Находим критические точки: y’= 0. - x²-x +2=0 Д=1-4*(-1)*2=1+8=9 x 1 =1; x 2 =-2 Делим область определения на интервалы: x =-2 – точка минимума . Найдём минимум функции y min =-24 . x =1 – точка максимума . Найдём максимум функции: y max =3 . + - - -2 1](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_12.jpg)
Пример № 3 . Найти экстремумы функции y= - 2x³-3x² +12 x -4
- Область определения : R . Функция непрерывна.
- Вычисляем производную : y’= - 6x²-6x +12 .
- Находим критические точки: y’= 0.
- x²-x +2=0
Д=1-4*(-1)*2=1+8=9
x 1 =1; x 2 =-2
- Делим область определения на интервалы:
- x =-2 – точка минимума . Найдём минимум функции y min =-24 . x =1 – точка максимума . Найдём максимум функции: y max =3 .
+
-
-
-2
1
![Работа на уроке: Исследовать на экстремум функцию y=x 2 +2. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x 2 +2)’=2x. Приравниваем её к нулю: 2x=0 , откуда x=0 – критическая точка. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x =0 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =2. - + 0](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_13.jpg)
Работа на уроке:
- Исследовать на экстремум функцию y=x 2 +2.
Решение:
- Находим область определения функции: D(y)=R.
- Находим производную: y’=(x 2 +2)’=2x.
- Приравниваем её к нулю: 2x=0 , откуда x=0 – критическая точка.
- Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:
- x =0 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =2.
-
+
0
![Исследовать на экстремум функцию y= 1/3 x 3 -2 x 2 +3 x+1. Решение:](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_14.jpg)
- Исследовать на экстремум функцию y= 1/3 x 3 -2 x 2 +3 x+1.
Решение:
- Находим область определения функции: D(y)=R.
- Находим производную: y’=( 1/3 x 3 -2 x 2 +3 x+1)’=x 2 -4x+3.
- Приравниваем её к нулю: x 2 -4x+3=0 , откуда x 1 =1, x 2 =3 – критические точки.
- Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:
- x =1 – точка максимума. Найдём максимум функции y max =7/3. x =3 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =1 .
-
+
+
1
3
![Исследовать на экстремум функцию y=x 3 +3 x 2 +9 x -6 . Решение:](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_15.jpg)
- Исследовать на экстремум функцию y=x 3 +3 x 2 +9 x -6 .
Решение:
- Находим область определения функции: D(y)=R.
- Находим производную: y’=(x 3 +3 x 2 +9 x -6 )’= 3 x 2 +6 x+ 9 .
- Приравниваем её к нулю: 3 x 2 +6 x+ 9=0, откуда D
- Однако, функция возрастает на всей D(y) , так как y’= 3 x 2 +6 x+ 9 0 :
![Исследовать на экстремум функцию y=x 2 -x-6. Решение:](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_16.jpg)
- Исследовать на экстремум функцию y=x 2 -x-6.
Решение:
- Находим область определения функции: D(y)=R.
- Находим производную: y’=(x 2 -x-6)’=2x-1.
- Приравниваем её к нулю: 2x-1=0 , откуда x=1/2 – критическая точка.
- Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:
- x =1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =-6,25 .
-
+
1/2
![Выполнить задания:](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_17.jpg)
Выполнить задания:
![Пример: Исследовать функцию на монотонность и экстремумы](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_18.jpg)
Пример: Исследовать функцию на монотонность и экстремумы
![На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 8; 3). Определить количество целых точек, в которых производная функции отрицательна 17](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_19.jpg)
На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 8; 3). Определить количество целых точек, в которых производная функции отрицательна
17
![Ответ: 4 17](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_20.jpg)
Ответ: 4
17
![На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 7; 5). Найти точку экстремума функции на отрезке [ -6 ; 4] 17](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_21.jpg)
На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 7; 5). Найти точку экстремума функции на отрезке [ -6 ; 4]
17
![Ответ: - 3 17](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_22.jpg)
Ответ: - 3
17
![На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 3; 8). Найти количество точек максимума функции на отрезке [ - 2 ; 7 ] 17](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_23.jpg)
На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 3; 8). Найти количество точек максимума функции на отрезке [ - 2 ; 7 ]
17
![Ответ: 2 17](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_24.jpg)
Ответ: 2
17
![На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 3; 8). Найти промежутки убывания функции. В ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки 17](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_25.jpg)
На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 3; 8). Найти промежутки убывания функции. В ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки
17
![Ответ: 16 17](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_26.jpg)
Ответ: 16
17
![На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 11; 3). Найти промежутки возрастания функции. В ответе указать длину наибольшего из них 17](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_27.jpg)
На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале ( - 11; 3). Найти промежутки возрастания функции. В ответе указать длину наибольшего из них
17
![Ответ: 6 17](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_28.jpg)
Ответ: 6
17
![Найдите точку минимума функции y = 2х – ln ( x +3) + 7 1. 1 / lnx x + + y \ – y x -3 -2,5 min - , 2 5 В 11 х 3 х 1 0](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_29.jpg)
Найдите точку минимума функции
y = 2х – ln ( x +3) + 7
1.
1
/
lnx
x
+
+
y \
–
y
x
-3
-2,5
min
-
,
2
5
В 11
х
3
х
1
0
![Найдите точку минимума функции 2. / / / uv v u uv – – + y \ y x 8 2 min 2 В 11 х 3 х 1 0](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_30.jpg)
Найдите точку минимума функции
2.
/
/
/
uv
v
u
uv
–
–
+
y \
y
x
8
2
min
2
В 11
х
3
х
1
0
![Найдите точку максимума функции 3. / 1 1 х 2 х Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде – + + – y \ y x 0 17 -17 max 1 7 В 11 х 3 х 1 0](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_31.jpg)
Найдите точку максимума функции
3.
/
1
1
х
2
х
Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде
–
+
+
–
y \
y
x
0
17
-17
max
1
7
В 11
х
3
х
1
0
![Найдите точку максимума функции y = ln (9 x +10) – 9х 4. 1 / lnx x y \ – + y x 10 -1 – 9 max - 1 В 11 х 3 х 1 0](http://fsd.compedu.ru/html/2023/11/15/i_65547112d014b/img_phpMMI26K_Prezentaciya-po-matematike-_Primenenie-proizvodnoj-dlya-issledovaniya-funkcij-na-monotonno_32.jpg)
Найдите точку максимума функции
y = ln (9 x +10) – 9х
4.
1
/
lnx
x
y \
–
+
y
x
10
-1
–
9
max
-
1
В 11
х
3
х
1
0