Неопределенный интеграл.
Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу — нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.
Функция 
называется первообразной функцией для функции 
на промежутке 
, если в каждой точке 
этого промежутка 
.
Например, 
является первообразной для функции 
, так как 
.
Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что все функции 
, где 
— некоторое число, являются первообразными для функции .
Аналогично в общем случае, если — некоторая первообразная для , то, поскольку 
, функции вида 
, где - произвольное число, также являются первообразными для .
Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается 
, где 
— знак интеграла, — подынтегральная функция, 
— подынтегральное выражение. Таким образом,
где — некоторая первообразная для , — произвольная постоянная.
Например, 
- первообразная для функции , то 
.
Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е,
.
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
где — произвольное число.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
где 
— произвольное число.
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.
Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:
.
Пример . Найти .
Решение.
= .
Интегрирование заменой переменных (подстановкой).
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:
где — функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Пример. Найти .
Решение.
.
Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала). Например,
Тогда
Пример . Найти .
Решение.
.
Интегрирование по частям.
Пусть и — дифференцируемые функции. По свойству дифференциала
или
.
Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла
.
Пример . Найти .
Решение.
.
Пример . Найти .
Решение.
.
Пример. Найти .
Положим Тогда и Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Действительно, положим теперь Тогда Следовательно,
