Введение
В математике, как известно, выше всего ценится не просто верное решение, но и наиболее короткое из возможных, как говорят сами математики, более рациональное.
Как найти такое решение? Что для этого необходимо знать? Чем владеть?
Не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению (неравенству) того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения, речь о которых и пойдет в данном докладе.
Метод ограниченности функций
Для решения уравнений данный метод основан на применении следующей теоремы:
Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функции y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений:
Графический это выглядит так:
E(f(x))
E(g(x))=A
Для решения неравенств данный метод основан на такой теореме:
Пусть множество 
есть общая часть (пересечение) областей существования функций f(x) и g(x) и пусть для любого 
справедливы неравенства 
и 
где 
- некоторое число. Тогда неравенство
равносильно системе уравнений
Метод неотрицательности функций
Решение уравнений.
Данный метод основан на следующей теореме:
Пусть левая часть уравнения F(х)=0 (1), есть сумма нескольких функций 
каждая из которых неотрицательна для любого х из области её существования.
Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений:
Решение неравенств.
Данный метод для решения неравенств основан на следующей теореме:
Пусть левая часть неравенства 
есть сумма нескольких неотрицательных функций, каждая из которых неотрицательна для любого 
из области определения ее существования, тогда данное неравенство равносильно системе уравнений
Метод использования области допустимых значений.
Решение уравнений.
Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения подстановкой чисел из ОДЗ.
Решение неравенств.
Суть этого метода в следующем: если при рассмотрении неравенства выясняется, что обе его части определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования неравенства, достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного неравенства.
Кроме рассмотренных методов решения уравнений и неравенств существуют также следующие методы, основанные на свойствах функции:
Метод использования свойств синуса и косинуса
Метод использования числовых неравенств
Метод использования производной
Решение неравенств методом замены функций
Существуют и другие нестандартные методы решения уравнений и неравенств, помимо использования свойств функции. Например:
Умножение уравнения на функцию
Угадывание корня уравнения
Использование симметричности уравнения
Исследование уравнения на промежутках действительной оси.
Данные методы позволяют рационально решать сложные уравнения и неравенства, а порой являются и единственными способами. Для того, чтобы овладеть этими методами, необходимо иметь прочные навыки по стандартным методам, преобразованиям, знать много теоретического материала и дополнительно решать.
