Доклад по теме «Функции одной независимой переменной. Пределы»
Макарова Вера, группа Д-21
Основные понятия и термины по теме: функция, области определения и значения. Пределы.
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.
Переменная величина называется упорядоченной, если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность
Переменная величина называется возрастающей (убывающей), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными.
Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y.
Переменная x называется в этом случае аргументом, или независимой переменной, а множество X - областью определения функции.
Запись y = f(x) означает, что y является функцией x. Значение функции f(x) при x = a обозначают через f(a).
Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x).
Функция f(x) называется чётной, если для любого значения x. График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной, если для любого значения x. График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат
Определение.
Число b называется пределом функции y = f(x) при х→+∞, если для любого числа ε 0 найдётся такое число М 0, что для всех х М выполняется неравенство |f(x) – b|.
Записывают так:
lim х→+∞ f(x) = b.
Геометрически это означает, что график функции y = f(x) при выборе достаточно больших значений х безгранично приближается к прямой у = b. Это означает, что расстояние от точки графика до прямой у = b по мере удаления точки в бесконечность может быть сделано меньше любого числа ε 0. Прямая называется в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).
Например: lim х→+∞ 1/х = 0 и функция y = 1/х имеет горизонтальную асимптоту у = 0.
Определение.
Число b называется пределом функции y = f(x) при х→–∞, если для любого числа ε 0 найдётся такое число М 0, что для всех х выполняется неравенство |f(x) – b|.
Записывают так:
lim х→–∞ f(x) = b.
В этом случае прямая y = b также является горизонтальной асимптотой функции y = f(x), график которой бесконечно близко приближается к ней при достаточно больших по модулю, но отрицательных значениях х.
Например: lim х→–∞ (3 + 2х) = 3 и функция y = (3 + 2х) имеет горизонтальную асимптоту у = 3.
Наконец, прямая у = b может быть горизонтальной асимптотой графика функции и при х→+∞, и при х→–∞. Пишут так: х→∞.
Определение.
Число b называется пределом функции y = f(x) при х → ∞, если для любого числа ε 0 найдётся такое число М 0, что для всех x таких, что |х| М, выполняется неравенство |f(x) – b|.
Записывают так:
lim х→∞ f(x) = b.
Например: lim х→∞ х2/(х2+1) = 1 и функция y = х2/(х2+1) имеет горизонтальную асимптоту у = 1.
Вычисление пределов функции при х → ∞
Для вычисления пределов функций при х→∞ используются следующие теоремы об операциях над пределами:
Теорема о вынесении постоянного множителя за знак предела:
Если lim х→∞ f(x) = a, то lim х→∞ k · f(x) = k · а.
Теорема о пределе суммы:
Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b, то lim х→∞ (f(x) + g(x)) = а + b.
Теорема о пределе произведения:
Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b, то lim х→∞ f(x) · g(x) = а · b.
Теорема о пределе частного:
Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b и b ≠ 0, то lim х→∞ f(x) / g(x) = а / b.
Непрерывные функции
Определение.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке, т.е.
lim х→а f(x) = f(a).
Функция y = f(x) будет непрерывной в точке х = а тогда и только тогда, когда выполняются условия:
функция y = f(x) определена в точке х = а, т.е. существует f(a);
существует предел lim х→а f(x) функции в точке х = а;
предел функции в точке х = а равен значению функции в этой точке, т.е.
lim х→а f(x) = f(a).
Другими словами верно и такое
Определение.
Функция y = f(x) непрерывна в точке х = а, если для любого числа ε 0 существует такое число δ 0, что для всех х, удовлетворяющих условию |x – a| , выполняется неравенство |f(x) – f(a)| .
Определение.
Если функция y = f(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то её называют непрерывной на данном промежутке.
