Дифференцированный подход в обучении математике

Дифференциация в обучении

математике.

Дифференциация образования является зало­гом предоставления каждому учащемуся высокого шанса достичь высот культуры, за­логом максимального развития детей с самыми разными способностями и направлениями интересов.

Под дифференциацией понимают такую сис­тему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразо­вательной подготовки, являющейся общезначи­мой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных ус­ловиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внима­ние тем направлениям, которые в наиболь­шей степени отвечают его склонностям.

В обучении математике дифференциация имеет особое значение, что объясняется спе­цификой этого учебного предмета. Математика объективно является одной из самых слож­ных школьных дисциплин и вызывает субъек­тивные трудности у многих школьников. В то же время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух «полюсах», весьма велик.

Заметим, что в преподавании математики накоплен определенный опыт дифференциро­ванного обучения. Он относится в основном к обучению сильных школьников (в стране; имеется широкая сеть школ и классов с углубленным изучением математики, практи­куются также факультативные занятия). Одна­ко дифференциацию обучения нельзя рассмат­ривать исключительно с позиций интересую­щихся математикой учащихся и по отношению лишь к старшему звену школы. Ориента­ция на личность ученика требует, чтобы дифференциация обучения математике учиты­вала потребности всех школьников — не только сильных, но и тех, кому этот предмет дается с трудом или чьи интересы лежат в других областях.

Дифференциация затрагивает все компоненты методической системы обучения и все ступени школы. Она может проявляться в двух ос­новных видах. Первый выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по одной програм­ме и учебнику, школьники могут усваивать материал на различных уровнях. Определяю­щим при этом является уровень обязатель­ной подготовки. Его достижение свидетельст­вует о выполнении учеником минимально необходимых требований к усвоению содержа­ния. На его основе формируются более вы­сокие уровни овладения материалом. По от­ношению к этому виду дифференциации в последнее время получил распространение тер­мин «уровневая дифференциация».

Второй вид дифференциации — это диффе­ренциация по содержанию. Она предполагает обучение разных групп школьников по програм­мам, отличающимся глубиной изложения ма­териала, объемом сведений и даже номенкла­турой включенных вопросов. Этот вид диф­ференциации иногда называют профильной дифференциацией. Разновидностью профиль­ного .обучения является углубленное изучение математики, которое отличает достаточно продвинутый уровень математической подго­товки, что позволяет добиваться высоких результатов. Одновременно высокий уровень учебных требований естественным образом ог­раничивает число учащихся, охваченных этой формой обучения. Профильное же обучение является более демократичной и широкой формой фуркации школы на старшей ступени.

Оба вида дифференциации — уровневая и профильная — сосуществуют и взаимно допол­няют друг друга на всех ступенях школь­ного математического образования, однако в разном удельном весе. В основной школе ведущим направлением дифференциации яв­ляется уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается разнообраз­ным формам профильного изучения предметов. Вместе с тем дифференциация по содержанию может проявляться уже и в основной школе

Проблема дифференцированного подхода к учащимся исследуется давно, в педагогике и методике ей всегда уделялось значительное внимание. Однако выдвижение и развитие за последние годы новых концептуальных идей, в частности идеи планирования обязательных результатов обучения математике, приводит к постепен­ной перестройке всей методической системы, в том числе позволяет по-новому взглянуть на проблему дифференцированного обучения.

Традиционно дифференцирован­ный подход основывался на психолого-педагогических различиях школьников, при этом конечные учебные цели остаются для всех учащихся едиными, а для многих заведо­мо непосильными. Сущность дифференциации состояла в поиске приемов и способов обу­чения, которые индивидуальными путями вели бы всех школьников к одинаковому овладе­нию программой. А эта задача не всегда разрешима. Необходимо также отметить отсут­ствие адекватных механизмов дифференциро­ванного подхода в традиционном его пони­мании, которые позволяли бы объективно формировать группы учащихся в зависи­мости от особенностей их развития и психики. Поэтому оценка индивидуальных возможностей школьников целиком зависит об субъективного мнения учителя, что часто ведет к методи­ческим ошибкам и снижает эффективность дифференцированной работы.

Принципиальное отличие нового подхода состоит в том, что уровневая дифференциация основывается на планировании результатов обучения: явном выделении уровня обяза­тельной подготовки и формировании на этой основе повышенных уровней овладения мате­риалом. Сообразуясь с ними и учитывая свои способности, интересы, потребности, ученик получает право и возможность выби­рать объем и глубину усвоения учебного ма­териала, варьировать свою учебную нагрузку.

Достижение обязательных результатов обу­чения становится при таком подходе тем объективным критерием, на основе которого может видоизменяться ближайшая цель в обучении каждого ученика и перестраиваться в соответствии с этим содержание его работы: или его усилия направляются на овладение материалом на более высоких уровнях, или продолжается работа по формированию важ­нейших опорных знаний и умений. Именно такой подход приводит к тому, что дифферен­цированная работа получает прочный фун­дамент, приобретает реальный, осязаемый и для учителя, и для ученика смысл. Резко увеличиваются возможности работы с сильны­ми учениками, так как учитель уже не связан необходимостью спросить все, что он давал на уроке, со всех школьников. И наконец, отпадает необходимость постоянно разгружать программы и снижать общий уровень тре­бований, оглядываясь на слабых школьников. Необходимо отметить, что принцип выделе­ния уровня обязательной подготовки как ос­новы дифференциации обучения находит под­держку в мировом опыте. В настоящее вре­мя во многих странах идет процесс расши­рения списка обязательных школьных предме­тов и установления минимальных обязатель­ных требований, представляющих собой госу­дарственный стандарт образования, соответст­вие которому дает школьнику право на полу­чение документа о среднем образовании. При этом требования к усвоению математики в той или иной форме задаются в конечном счете в виде конкретных задач, например, тестов.

Перечислим ряд важных условий, выполне­ние которых необходимо для успешного и эффективного осуществления уровневой диффе­ренциации. Первое состоит в том, что выде­ленные уровни усвоения материала и в пер­вую очередь обязательные результаты обучения должны быть открытыми для учащихся. Как и успех учебного процесса в целом, успех дифференцированного подхода' в обучении существенно зависит от познавательной актив­ности школьников, от того, насколько они будут заинтересованы в своей деятельности. Ясное знание конкретных целей при условии их посильности, возможность выполнить тре­бования учителя активизируют познавательные способности школьников, причем на разных уровнях. Если цели известны и посильны ученику, а их достижение поощряется, то для подростка нет ничего естественнее, как стре­миться к их выполнению. Поэтому открытость уровней подготовки является механизмом фор­мирования положительных мотивов учения, сознательного отношения к учебной работе, позволяет привлечь самооценку ученика при организации дифференцированной работы.

Следующее важнейшее условие — это нали­чие определенных ножниц между уровнем тре­бований и уровнем обучения. Не следует отождествлять уровень, на котором ведется преподавание, с обязательным уровнем усвое­ния материала. Первый должен быть в целом существенно выше, иначе и уровень обязатель­ной подготовки не будет достигнут, а уча­щиеся, потенциально способные усвоить боль­ше, не будут двигаться дальше. Каждый уче­ник должен пройти через полноценный учебный процесс. Так, он должен в полном объеме ус­лышать предлагаемый материал со всеми до­казательствами и обоснованиями, ознакомиться с образцами рассуждений, на каких-то этапах участвовать в решении более сложных задач. Иными словами, уровневая дифференциация осуществляется не за счет того, что одним ученикам дают меньше, а другим больше, а в силу того, что, предлагая ученикам одинаковый объем материала, мы устанавли­ваем различные уровни требований к его усвоению.

Еще одно важнейшее условие, дополняющее предыдущее, состоит в том, что в обучении должна быть обеспечена последовательность в продвижении ученика по уровням. Это оз­начает, что в ходе обучения не следует предъявлять более высоких требований тем учащимся, которые не достигли уровня обя­зательной подготовки. Надо, чтобы трудности в учебной работе были для таких школьников посильными, соответствующими индивидуаль­ному темпу овладения материалом на каж­дом этапе обучения. В то же время если для одних учащихся необходимо продлить этап отработки основных, опорных знаний и умений, то других не следует необоснован­но задерживать на этом этапе.

Содержание контроля и оценка должны от­ражать принятый уровневый подход. Контроль должен предусматривать проверку достижения всеми учащимися обязательных результатов обучения как государственных требований, а также дополняться проверкой усвоения мате­риала на более высоких уровнях. При этом достижение уровня обязательных требований целесообразно оценивать альтернативной оцен­кой (например: «зачтено» — «не зачтено»), для более высоких уровней целесообразно разра­ботать соответствующую шкалу оценивания (например, отметки «4» и «5»).

И наконец, еще одно условие, реализация которого существенно усиливает эффективность дифференцированного обуче­ния,— добровольность в выборе уровня усвое­ния и отчетности. В соответствии с ним каждый ученик имеет право добровольно и сознательно решать для себя, на каком уровне ему усваивать материал. Именно такой подход позволяет формировать у школьников позна­вательную потребность, навыки самооценки, планирования и регулирования своей деятель­ности.

Уровневую дифференциацию можно органи­зовать в разнообразных формах, которые существенно зависят от индивидуальных под­ходов учителя, от особенностей класса, от возраста учащихся и др. В качестве основного пути осуществления дифференциации обучения предлагается формирование мобиль­ных групп. Деление на группы осуществляется прежде всего на основе критерия достижения уровня обязательной подготовки. Работа этих групп может проходить в рамках обычных уроков. Их можно также временно выделить для отдельных занятий. В первом случае целесообразно не ограничиваться дифференци­рованным подходом в процессе самостоятель­ной деятельности учащихся, а варьировать характер работы групп (самостоятельная или фронтальная под руководством учителя) в за­висимости от этапа изучения темы, от потреб­ности в помощи учителя. Во втором случае целесообразно предусмотреть работу и с группами выравнивания, и с группами повышенного уровня, создать соответствующие программы и методику обучения.

Проблема дифференцированного подхода не яв­ляется новой. Однако выдвижение и развитие концептуальной идеи планирования обязательных результатов обуче­ния позволило подойти к этой проблеме с новых позиций. Принципиальное отличие нового под­хода состоит в том, что перед разными катего­риями учащихся ставятся различные цели: одни ученики должны достичь определенного объек­тивно обусловленного уровня математической подготовки, называемого базовым, а другие, проявляющие интерес к математике и обладаю­щие хорошими математическими способностя­ми, должны добиться более высоких резуль­татов.

В соответствии с этим в классе могут быть выделены две группы учащихся: группа базово­го уровня и группа повышенного уровня. Ко­нечно, состав групп не должен быть застывшим. Желательно, чтобы любой ученик из группы базового уровня мог перейти в группу повышен­ного уровня, если он хорошо усвоит материал и будет свободно выполнять задания, соответ­ствующие обязательным результатам обучения. С другой стороны, ученик из группы повышен­ного уровня может быть переведен в группу базового уровня, если он имеет пробелы в зна­ниях или не справляется с темпом продвиже­ния группы.

Дифференцированный подход целесообразно осуществлять на определенных этапах урока. Так, на этапе введения нового понятия, свой­ства, алгоритма необходимо работать со всем классом, без деления его на группы. Но после того, как несколько упражнений вы­полнено на доске, учащиеся могут приступить к дифференцированной самостоятельной рабо­те. Ее особенность состоит в том, что группа базового уровня и группа повышенного уровня получают задания, различающиеся не только содержанием, но и формой их подачи.

Проиллюстрируем это на дифференцирован­ных заданиях, составленных по некоторым темам курса алгебры VII класса

Задания составлялись в двух вариантах: ва­риант I предназначался для группы базового уровня, вариант II — для группы повышенного уровня. Вариант I содержит большое количест­во простых тренировочных упражнений с посте­пенным пошаговым нарастанием трудности. Во II варианте преобладают задания комби­нированного характера, требующие установле­ния связей между отдельными компонентами курса и применения нестандартных приемов решения. В каждом варианте упражнения на­чинаются с простейших и располагаются по воз­растающей сложности. Однако это возраста­ние в разных вариантах проходит с разным ускорением. Вариант I строится таким образом, что переход от одного упражнения к другому связан с небольшим варьированием данных или с незначительными усложнениями форму­лировки задания. Такой подход позволяет решить важную дидактическую задачу — предоставить слабым учащимся возможность на каждом шаге преодолевать только одну какую-либо трудность. Во II варианте слож­ность заданий возрастает в значительно более высоком темпе. Это позволяет быстрее пройти начальный этап формирования соответ­ствующего умения и выйти на усложненные комбинированные задания.

В качестве примера покажем, как строится система упражнений для самостоятельной ра­боты по одной из тем курса алгебры VII класса.

Задания по теме «Сложение и вычитание многочленов»

Вариант I

1. Закончите выполнение сложения и вычита­ния многочленов:

а) (2х-3у) + (4х—8у)=2х-3у+4х—8у =

б) (2х⁴+7х³) — (х⁴—3х³)=2х⁴+7х³—х⁴+3х³=

2. Раскройте скобки, перед которыми стоит знак «плюс» или знак «минус», используя со­ответствующее правило:

а) За²+ (а+4); в) 17bc —(b —с);

б) 7х³+(-х²-Зх); г) 4у³-(у²-у+1).

3. Раскройте скобки и выполните приведе­ние подобных членов:

а) 8a+(3b — 5а); в) (Зх + 6)+(12-2х);

б) 5х — (3 — х)\ г) (2,5а — 4) — (9,5а + 2).

4. Упростите выражение:

а) (12a + 3b) + (2a — 4b);

б) (а² + 2а-1) + (За²-а + 6);

в) (4ху~Зх²)-(-ху + 5х²);

г) (x²-xy+y²)-(-2x²-xy-y²)

5. Упростите выражение и найдите его зна­чение при а=4:

а) (а² — 2а+3) — (а² — 5а+1) —4;

б) (5а — 6) — (За+8) + (6 — а).

6. Докажите, что при любом а значение выражения

(2а+5) + (а — 1) — (За+2) равно 2.

7. Карандаш стоит а коп., а тетрадь b коп. Саша купил 3 карандаша и одну тетрадь, Петя купил 4 карандаша и 10 тетрадей, а Боря — 2 карандаша и 6 тетрадей. Сколько денег упла­тил каждый из них? Все вместе?

8. Пусть А = 5х² — у, В=Зу+х². Составьте и упростите выражение: а) A+В; б) А — В; в) В+А; г) В — А. Сравните результаты.

Вариант II

1. Составьте сумму и разность данных мно­гочленов и упростите их:

а) 4b²+2b и b² —2b; б) 5х²+6ху и х² — 12ху.

2. Упростите выражение:

а) (42х+106у)- (17x — 84у) + (14х — у);

б)

в) 0,Зху — (1,6х²+ху — 0,2у²) + + (0,4x:² — 0,5y²).

3. Пусть А=5а² — ab+\2ab²; B=4a²+ +8аb — b²; C=9a²—11b². Составьте и упро­стите выражение:

а) А+В — С; б) А — В+С; в) — А+В+С.

4. Докажите, что значение выражения (a² — 6ab+9b²) + (3a²+ab — 7b²) —

(а² - 5ab+2b²) не зависит от b.

5. Докажите, что при всех значениях х и у сумма многочленов

и

является положительным числом.

6. Замените М многочленом так, чтобы по­лученное равенство было тождеством:

а) М+ (Зх²+6ху — у²) =4х²+6ху;

б) (6a² — b) — M=5a²+ab + 12b.

7. Туристы в первый день прошли а км, а в каждый следующий проходили на 5 км больше, чем в предыдущий. Какой путь про­шли туристы за четыре дня?

8. Четырехзначное число начинается с 1 и заканчивается 1. В этом числе две средние цифры поменяли местами. Докажите, что раз­ность между данными числом и новым числом кратна 90.

В целом задания II варианта превосходят задания I варианта и в техническом, и в эв­ристическом плане. Но по фабуле они могут и не отличаться существенным образом.

Предлагаемый подход имеет целый ряд преимуществ перед традиционным. Он дает учителю четкие ориентиры для отбора содер­жания дифференцированной работы и позволя­ет сделать ее целенаправленной. Деление учащихся на группы в зависимости от дости­жения ими уровня обязательной подготовки носит объективный характер. Организуемая учителем дифференцированная работа выгля­дит объективной и в глазах ученика и поэ­тому не создает почвы для обид. Важно, что ученик может самостоятельно оценить свои возможности и выбрать для себя тот уровень целей, который соответствует его возмож­ностям и потребностям в данный момент времени. Ориентация на обязательные резуль­таты обучения постоянно поддерживает под­готовку ученика на опорном уровне. Это позволяет ученику при возможности и возник­шем интересе перейти на более высокие уровни на любом этапе обучения. Все это является гарантией оперативности, гибкости, мобильности дифференциации, создает в классе атмосферу взаимного доверия между учителем и учениками, способствует активному введе­нию положительных мотивов учения для разных категорий учащихся. Именно такой подход к дифференциации обучения является существен­ным условием демократизации и гуманиза­ции образования.

Необходимо отметить, что применение кри­терия достижений уровня обязательной подго­товки вполне согласуется с имеющимися под­ходами к организации дифференцированной работы на основе измерения уровня обученности школьников. Однако, в отличие от поня­тия «уровень обученности», которое каждым учителем толкуется по-своему, указанный кри­терий носит объективный характер. Это поз­воляет ставить вопрос об эквивалентности среднего образования, что чрезвычайно важно в условиях многонациональной школы, Надо сказать, что вопросы эквивалентности образо­вания сейчас широко поднимаются и реша­ются в общеевропейском масштабе.

Заметим также, что применение указанного критерия вовсе не исключает возможности учитывать такие качества школьников, как самостоятельность, работоспособность, интерес к учению, уровень мышления, внимательность и др. Более того, уровневый подход к диф­ференциации позволяет учитывать эти инди­видуальные качества в большей степени, не рассматривать их как уже заданные для деления учащихся на группы, а развивать и формировать их у всех школьников в ходе дифференцированной работы.

Индивидуализация обучения в старшем звене средней школы предполагает предоставление учащимся возможности получить образование в различных направлениях, по разным учебным планам и программам, т. е. осуществление профильной дифференциации на базе фуркации . Но и при условии обучения учащихся по выбранным ими направлениям, учитывая возможности каждого подростка, предполагает­ся обеспечить достижение каждым из них некоторого обязательного (базового) уровня знаний по тому или иному предмету.

Такова в общих чертах принципиальная схе­ма дифференциации школьного обучения, которую предполагается реализовать в современной школе.