Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Доклад по теме

«Числовые последовательности. Предел числовой последовательности»

Студентки группы Д-21

Малаховой Екатерины

Основные понятия и термины по теме: Числовая последовательность. Пределы. Первый и второй замечательные пределы.

План изучения темы:

1. Числовая последовательность

2. Понятие и виды пределов

Теория:

Числовой последовательностью называют ряд чисел, полученных по некоторому правилу или формуле.

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: 2;4;6;8;10...

А правило «первое число равно 3, а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: 3;6;12;24;48....

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называются ее членами (или элементами). И каждое из этих чисел имеет свой порядковый номер.

Например, в последовательности 3;6;12;24;48…

Тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

В математике последовательность обозначают маленькой латинской буквой, а каждый отдельный ее элемент – той же буквой с числовым индексом равным порядковому номеру этого элемента.

То есть, если последовательность 3;6;12;24;48… обозначить как a_n, то можно записать, что a₁=3, a₂=6, a₃=12, a₄=24 и так далее.

Иными словами, для последовательности a_n={3;6;12;24;48;96;192;384…}

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: 1;1;1;1…

Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

- I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

- II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Определение.

Число b называется пределом функции y = f(x) при х → ∞, если для любого числа ε 0 найдётся такое число М 0, что для всех x таких, что |х| М, выполняется неравенство |f(x) – b|.

Записывают так:

lim _х→∞ f(x) = b.

Например: lim _х→∞ х²/(х²+1) = 1 и функция y = х²/(х²+1) имеет горизонтальную асимптоту у = 1.

Вычисление пределов функции при х → ∞

Для вычисления пределов функций при х→∞ используются следующие теоремы об операциях над пределами:

 Теорема о вынесении постоянного множителя за знак предела:

Если lim _х→∞ f(x) = a, то lim _х→∞ k · f(x) = k · а.

 Теорема о пределе суммы:

Если lim _х→∞ f(x) = a, lim _х→∞ g(x) = b, то lim _х→∞ (f(x) + g(x)) = а + b.

 Теорема о пределе произведения:

Если lim _х→∞ f(x) = a, lim _х→∞ g(x) = b, то lim _х→∞ f(x) · g(x) = а · b.

 Теорема о пределе частного:

Если lim _х→∞ f(x) = a, lim _х→∞ g(x) = b и b ≠ 0, то lim _х→∞ f(x) / g(x) = а / b.

Вопросы:

1. Числовая последовательность

2. Понятие и виды пределов

3. Теоремы о пределах