Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Доклад по теме

«Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей»

Студентки группы Д-21

Богдановой Анны

Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей: основные понятия теории вероятностей, классическое определение вероятности случайного события, теоремы сложения и умножения вероятностей, понятие условной вероятности.

Основные понятия: событие, частота и вероятность появления события, совместные и несовместные события, теорема сложения вероятностей, теорема умножения вероятностей, условная вероятность.

План:

Понятие опыта, события
Виды событий
Понятие вероятности событий
Основные теоремы вероятностей событий

Теория

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связан с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, - невозможным.

Например, выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.

Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Если известны или могут быть непосредственно (на основе классического определения) найдены вероятности простых событий, то вероятности сложных событий вычисляются c помощью основных теорем теории вероятностей.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани, имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее
количество возможных исходов. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.

Классическое определение. Вероятность события равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

Вероятность суммы n попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

n	n
P(∑Ai )= ∑P(Ai ).
i=1	i=1

Cледствие 1. Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице

∑P(Ai )=1.

i=1

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

P(A)+ P(A)=1.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления

P(A + B)= P(A)+ P(B)− P(AB).

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого

P(AB)= P(A)PA (B).

Замечания:

1.События A и B называются зависимыми, если вероятность события B меняется в зависимости от того, произошло или нет событие A.

2.Условной вероятностью события B называется вероятность этого события, вычисленная в предположении, что ему предшествовало появление события A. Она обозначается так: PA (B).

Для n зависимых событийA1,A2 , ,An теорема умножения вероятностей записывается в виде

P(A1A2...	An ) = P(A1)PA	(A2 )PA A	(A3 ) ...PA A ...A		(An ).

Теорема умножения вероятностей для независимых событий.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

P(A1A2 An )= P(A1)P(A2 )P(An )= ∏P(Ai ).

i=1

Пример. Известно, что в поступившей партии из 30 швейных машинок 10 имеют внутренний дефект. Определить вероятность того, что из партии в 5 наудачу взятых машинок 3 окажутся бездефектными.

Решение. Для решения данной задачи введем обозначения. Пусть — общее число машинок, — число бездефектных машинок, — число отобранных в партию машинок, — число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по машинок, т.е. общее число возможных исходов будет равно числу сочетаний из элементов по , т.е. . Но в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из элементов по , т.е. .

С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из элементов по , т.е. .

Это значит, что общее число благоприятствующих исходов определяется произведением . Откуда получаем

Подставим в эту формулу численные значения данного примера

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

Решение.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

2. .

Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
;