Решение тригонометрических уравнений

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Учитель: Копеина

Наталья Васильевна

10 класс

МОУ «Киришский лицей»

ЦЕЛЬ :

• Повторить решение тригонометрических

уравнений.

• 1. Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
• 2. Различать типы тригонометрических уравнений и знать способы их решений.
• 3. Уметь решать тригонометрические уравнения любых типов.

• Выделение основных проблем при решении

этих уравнений:

• Потеря корней.
• Посторонние корни.
• Отбор корней.

Содержание .

• Вводная часть, повторение теоретического материала.

• Решение тригонометрических уравнений.

3. Виды тригонометрических уравнений.

4. Проблемы, возникающие при решении

тригонометрических уравнений.

Устная работа.

• Решите уравнения
• А) 3 х – 5 = 7
• Б) х 2 – 8 х + 15 = 0
• В) 4 х 2 – 4 х + 1= 0
• Г) х 4 – 5 х 2 + 4 = 0
• Д) 3 х 2 – 12 = 0

• Ответы
• 4
• 3; 5
• 0,5
• -2; -1; 1; 2
• -2; 2

• Упростите выражения
• А ) (sin a – 1) (sin a + 1)
• Б ) sin 2 a – 1 + cos 2 a
• В ) sin 2 a + tg a ctg a + cos 2 a
• Г)

• Ответы
• - cos 2 a
• 0
• 2

• | 1- tg х |

Повторим значения синуса и косинуса

у π /2 90°

1

120° 2 π /3 π /3 60°

135° 3 π /4 π /4 45°

150° 5 π /6 1/2 π /6 30°

180° π -1 0 1 0 0° x

- 1/2 ½ 2 π 360 (cost)

210° 7 π /6 - 1/2 11 π /6 330° [- π /6]

225° 5 π /4 7 π /4 315° [- π /4]

240° 4 π /3 5 π /3 300° [- π /3]

-1

270° 3 π /2 [- π /2]

(sint)

Арккосинус

Арккосинусом числа а называется

такое число (угол) t из [0; π ], что

cos t = а .

Причём, | а |≤ 1 .

у

π/2

arccos( - а )

arccos а = t

х

π

0

arccos( - а ) = π - arccos а

-1

1

а

-а

Примеры:

1) arccos(-1)

= π

2)arccos( )

Арксинус

Примеры:

Арксинусом числа а называется

такое число (угол) t из [- π/2 ; π/2 ] ,

что sin t = а .

Причём, | а |≤ 1 .

у

π/2

1

arcsin а = t

а

х

- а

arcsin( - а )

arcsin( - а )= - arcsin а

-1

- π/2

Арктангенс

а

у

Арктангенсом числа а называется

такое число (угол) t из (- π/2;π/2 ),

что tg t = а .

Причём, а Є R .

π/2

arctg а = t

arctg( - а ) = - arctg а

arctg( - а )

- π/2

- а

1) arctg√3/3 =

π/6

Примеры:

2) arctg(-1) =

- π/4

Арккотангенс

у

Арккотангенсом числа а называется

такое число (угол) t из (0; π ),

что c tg t = а .

Причём, а Є R .

- а

а

arcctg а = t

arcctg( - а )

π

х

arcctg( - а ) = π – arcctg а

Примеры:

1) arcctg(-1) =

3 π/4

2) arcctg√3 =

π/6

Повторение

2 вариант

• cos (-π/4 )
• sin π/3
• ctg π/6
• tg π/4
• sin (-π/6)
• cos 5π/6
• arccos √2/2
• arcsin 1
• arccos (- 1 /2)
• arcsin (- √ 3 /2)
• arctg √ 3 / 3

1 вариант

• sin (-π/3)
• cos 2π/3
• tg π/6
• ctg π/4
• cos (-π/6)
• sin 3 π /4
• arcsin √2/2
• arccos 1
• arcsin (- 1/2 )
• arccos (- √3/2 )
• arctg √ 3

Повторение

Ответы 1 вариант

Ответы 2 вариант

• - √ 3/2
• - 1/2
• √ 3/3
• 1
• √ 3/2
• √ 2/2
• π/4
• 0
• - π/ 6
• 5 π/ 6
• π/ 3

• √ 2/2

• √ 3/2
• √ 3
• 1
• - 1/2
• - √3/2
• π/4
• π/ 2
• 2 π/ 3
• - π/ 3
• π/ 6

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

1 .cost = а , где | а| ≤ 1

или

1) cost=0

t = π/2+π k‚ k Є Z

Частные случаи

2) cost=1

t = 2 π k‚ k Є Z

3) cost = -1

t = π+2π k‚ k Є Z

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

2. sint = а , где | а |≤ 1

или

Частные случаи

1) sint=0

t = π k‚ k Є Z

2) sint=1

t = π/2+2π k‚ k Є Z

3) sint = - 1

t = - π/2+2π k‚ k Є Z

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

3. tgt = а, а Є R

t = arctg а + π k‚ k Є Z

4. ctgt = а, а Є R

t = arcctg а + π k‚ k Є Z

При каких значениях х имеет смысл выражение:

1. arcsin(2x+1)

2.arccos(5-2x)

1) -1≤ 2х+1 ≤1

-2≤ 2х ≤0

-1≤ х ≤0

Ответ: [-1;0]

2) -1≤ 5-2х ≤1

-6≤ -2х ≤ -4

2≤ х ≤3

Ответ: [2;3]

3.arccos(x²-1)

4.arcsin(4x²-3x)

-1≤ х²-1 ≤ 1

0 ≤ х² ≤2

Ответ:

Примеры:

2) sint = 0;

• cost= - ;

Частный случай:

t = π k, k Є Z

t= ±arccos(-1/2)+2 π k, k Є Z

t= ± + 2 π k, k Є Z

3) tgt = 1;

t = arcctg( ) + π k, k Є Z

t = + π k, k Є Z.

t = arctg1+ π k, k Є Z

t = + π k, k Є Z.

Решение простейших уравнений

• tg2x = -1

2) cos(x+ π /3) = ½

x+ π /3 = ±arccos1/2 + 2 π k, k Є Z

x+ π /3 = ± π /3 + 2 π k, k Є Z

x = - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z

Ответ: - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z

2x = arctg (-1) + π k, k Є Z

2x = - π /4 + π k, k Є Z

x = - π /8 + π k/2, k Є Z

Ответ: - π /8 + π k/2, k Є Z .

3) sin( π – x/3) = 0

упростим по формулам приведения

sin ( x/3 ) = 0

частный случай

x/3 = π k, k Є Z

x = 3 π k, k Є Z.

Ответ: 3 π k, k Є Z.

Виды тригонометрических уравнений

1.Сводимые к квадратным

Решаются методом введения новой переменной

a∙sin²x + b∙sinx + c=0

Пусть sinx = p, где |p| ≤1 , тогда a∙p² + b∙p + c = 0

Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.

Виды тригонометрических уравнений

2. Однородные

1)Первой степени:

Решаются делением на cos х (или sinx ) и методом введения новой переменной .

a∙sinx + b∙cosx = 0

Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx ). Получим: простое уравнение

a∙tgx + b = 0 или tgx = m

Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0.

Решение: Разделим обе части уравнения на cosx .

Получим

Ответ:

Виды тригонометрических уравнений

2) Однородные уравнения второй степени:

Решаются делением на cos² х (или sin²x ) и методом введения новой переменной .

a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0

Разделим обе части на cos²x . Получим квадратное уравнение:

a∙tg²x + b∙tgx + c = 0 .

П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x  + 5 cos  2  x  = 2.

    Р е ш е н и е .  3sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x  + 5 cos  2   x  = 2sin  2   x  + 2cos  2   x  ,

                              sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x  + 3 cos  2   x  = 0 ,

                             t g 2   x  + 4 t g   x  + 3 = 0 ,  отсюда   y   2  + 4 y  +3 = 0 ,

                             корни этого уравнения:   y 1  =   1,   y 2  =   3,  отсюда

                             1)   t g   x  = –1,  2)   t g   x  = –3,

Ответ:

Виды тригонометрических уравнений

3. Уравнение вида:

А sinx + B cosx = C . А, В, С  0

   sin  x  + cos  x  = 1 .

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения

влево:  

                        sin  x  + cos  x  – 1 = 0 ,

Виды тригонометрических уравнений

4 . Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной

тригонометрической подстановки

Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента.

А sinx + B cosx = C

Проверка

Если ,

- не верно, значит

, не является корнями исходного уравнения

Ответ:

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уровнения.

Формулы .

Универсальная подстановка.

х   + 2  n ; Проверка обязательна!

Понижение степени.

= (1 + cos2x ) : 2

= (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

a cosx + b sinx заменим на C sin ( x +  ), где

 - вспомогательный аргумент .

cos  =

sin  =

Правила.

• Увидел квадрат – понижай степень.

• Увидел произведение – делай сумму.

• Увидел сумму – делай произведение.

1.Потеря корней:

• делим на g (х).
• опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

• возводим в четную степень.
• умножаем на g (х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Потеря корней, лишние корни.

Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам

Вариант 1.

На «3»

Вариант 2.

На «3»

• 3 sin x+ 5 cos x = 0
• 5 sin 2 х - 3 sin х cos х - 2 cos 2 х =0

• cos x+ 3 sin x = 0
• 6 sin 2 х - 5 sin х cos х + cos 2 х =0

На «4»

На «4»

• 3 cos 2 х + 2 sin х cos х =0
• 5 sin 2 х + 2 sin х cos х - cos 2 х =1

• 2 sin 2 x – sin x cosx =0
• 4 sin 2 х - 2 sin х cos х – 4 cos 2 х =1

На «5»

На «5»

• 2 sin x - 5 cos x = 3
• 1- 4 sin 2 x + 6 cos 2 х = 0

• 2 sin x - 3 cos x = 4
• 2 sin 2 х - 2sin 2х +1 =0