![РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учитель: Копеина Наталья Васильевна 10 класс МОУ «Киришский лицей»](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_0.jpg)
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Учитель: Копеина
Наталья Васильевна
10 класс
МОУ «Киришский лицей»
![ЦЕЛЬ : Повторить решение тригонометрических уравнений. 1. Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений. 2. Различать типы тригонометрических уравнений и знать способы их решений. 3. Уметь решать тригонометрические уравнения любых типов. Выделение основных проблем при решении этих уравнений:](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_1.jpg)
ЦЕЛЬ :
- Повторить решение тригонометрических
уравнений.
- 1. Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
- 2. Различать типы тригонометрических уравнений и знать способы их решений.
- 3. Уметь решать тригонометрические уравнения любых типов.
- Выделение основных проблем при решении
этих уравнений:
- Потеря корней.
- Посторонние корни.
- Отбор корней.
![Содержание . Вводная часть, повторение теоретического материала. Решение тригонометрических уравнений. 3. Виды тригонометрических уравнений. 4. Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_2.jpg)
Содержание .
- Вводная часть, повторение теоретического материала.
- Решение тригонометрических уравнений.
3. Виды тригонометрических уравнений.
4. Проблемы, возникающие при решении
тригонометрических уравнений.
![Устная работа.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_3.jpg)
Устная работа.
- Решите уравнения
- А) 3 х – 5 = 7
- Б) х 2 – 8 х + 15 = 0
- В) 4 х 2 – 4 х + 1= 0
- Г) х 4 – 5 х 2 + 4 = 0
- Д) 3 х 2 – 12 = 0
- Ответы
- 4
- 3; 5
- 0,5
- -2; -1; 1; 2
- -2; 2
![Упростите выражения А ) (sin a – 1) (sin a + 1) Б ) sin 2 a – 1 + cos 2 a В ) sin 2 a + tg a ctg a + cos 2 a Г) Ответы - cos 2 a 0 2 | 1- tg х |](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_4.jpg)
- Упростите выражения
- А ) (sin a – 1) (sin a + 1)
- Б ) sin 2 a – 1 + cos 2 a
- В ) sin 2 a + tg a ctg a + cos 2 a
- Г)
- Ответы
- - cos 2 a
- 0
- 2
- | 1- tg х |
![Повторим значения синуса и косинуса у π /2 90° 1 120° 2 π /3 π /3 60° 135° 3 π /4 π /4 45° 150° 5 π /6 1/2 π /6 30° 180° π -1 0 1 0 0° x - 1/2 ½ 2 π 360 (cost) 210° 7 π /6 - 1/2 11 π /6 330° [- π /6] 225° 5 π /4 7 π /4 315° [- π /4] 240° 4 π /3 5 π /3 300° [- π /3] -1 270° 3 π /2 [- π /2] (sint)](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_5.jpg)
Повторим значения синуса и косинуса
у π /2 90°
1
120° 2 π /3 π /3 60°
135° 3 π /4 π /4 45°
150° 5 π /6 1/2 π /6 30°
180° π -1 0 1 0 0° x
- 1/2 ½ 2 π 360 (cost)
210° 7 π /6 - 1/2 11 π /6 330° [- π /6]
225° 5 π /4 7 π /4 315° [- π /4]
240° 4 π /3 5 π /3 300° [- π /3]
-1
270° 3 π /2 [- π /2]
(sint)
![Арккосинус Арккосинусом числа а называется такое число (угол) t из [0; π ], что cos t = а . Причём, | а |≤ 1 . у π/2 arccos( - а ) arccos а = t х π 0 arccos( - а ) = π - arccos а -1 1 а -а Примеры: 1) arccos(-1) = π 2)arccos( )](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_6.jpg)
Арккосинус
Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0; π ], что
cos t = а .
Причём, | а |≤ 1 .
у
π/2
arccos( - а )
arccos а = t
х
π
0
arccos( - а ) = π - arccos а
-1
1
а
-а
Примеры:
1) arccos(-1)
= π
2)arccos( )
![Арксинус Примеры: Арксинусом числа а называется такое число (угол) t из [- π/2 ; π/2 ] , что sin t = а . Причём, | а |≤ 1 . у π/2 1 arcsin а = t а х - а arcsin( - а ) arcsin( - а )= - arcsin а -1 - π/2](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_7.jpg)
Арксинус
Примеры:
Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [- π/2 ; π/2 ] ,
что sin t = а .
Причём, | а |≤ 1 .
у
π/2
1
arcsin а = t
а
х
- а
arcsin( - а )
arcsin( - а )= - arcsin а
-1
- π/2
![Арктангенс а у Арктангенсом числа а называется такое число (угол) t из (- π/2;π/2 ), что tg t = а . Причём, а Є R . π/2 arctg а = t arctg( - а ) = - arctg а arctg( - а ) - π/2 - а 1) arctg√3/3 = π/6 Примеры: 2) arctg(-1) = - π/4](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_8.jpg)
Арктангенс
а
у
Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (- π/2;π/2 ),
что tg t = а .
Причём, а Є R .
π/2
arctg а = t
arctg( - а ) = - arctg а
arctg( - а )
- π/2
- а
1) arctg√3/3 =
π/6
Примеры:
2) arctg(-1) =
- π/4
![Арккотангенс у Арккотангенсом числа а называется такое число (угол) t из (0; π ), что c tg t = а . Причём, а Є R . - а а arcctg а = t arcctg( - а ) π х arcctg( - а ) = π – arcctg а Примеры: 1) arcctg(-1) = 3 π/4 2) arcctg√3 = π/6](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_9.jpg)
Арккотангенс
у
Арккотангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (0; π ),
что c tg t = а .
Причём, а Є R .
- а
а
arcctg а = t
arcctg( - а )
π
х
arcctg( - а ) = π – arcctg а
Примеры:
1) arcctg(-1) =
3 π/4
2) arcctg√3 =
π/6
![Повторение 2 вариант cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) cos 5π/6 arccos √2/2 arcsin 1 arccos (- 1 /2) arcsin (- √ 3 /2) arctg √ 3 / 3 1 вариант](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_10.jpg)
Повторение
2 вариант
- cos (-π/4 )
- sin π/3
- ctg π/6
- tg π/4
- sin (-π/6)
- cos 5π/6
- arccos √2/2
- arcsin 1
- arccos (- 1 /2)
- arcsin (- √ 3 /2)
- arctg √ 3 / 3
1 вариант
- sin (-π/3)
- cos 2π/3
- tg π/6
- ctg π/4
- cos (-π/6)
- sin 3 π /4
- arcsin √2/2
- arccos 1
- arcsin (- 1/2 )
- arccos (- √3/2 )
- arctg √ 3
![Повторение Ответы 1 вариант Ответы 2 вариант](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_11.jpg)
Повторение
Ответы 1 вариант
Ответы 2 вариант
- - √ 3/2
- - 1/2
- √ 3/3
- 1
- √ 3/2
- √ 2/2
- π/4
- 0
- - π/ 6
- 5 π/ 6
- π/ 3
- √ 2/2
- √ 3/2
- √ 3
- 1
- - 1/2
- - √3/2
- π/4
- π/ 2
- 2 π/ 3
- - π/ 3
- π/ 6
![Формулы корней простейших тригонометрических уравнений 1 .cost = а , где | а| ≤ 1 или 1) cost=0 t = π/2+π k‚ k Є Z Частные случаи 2) cost=1 t = 2 π k‚ k Є Z 3) cost = -1 t = π+2π k‚ k Є Z](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_12.jpg)
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
1 .cost = а , где | а| ≤ 1
или
1) cost=0
t = π/2+π k‚ k Є Z
Частные случаи
2) cost=1
t = 2 π k‚ k Є Z
3) cost = -1
t = π+2π k‚ k Є Z
![Формулы корней простейших тригонометрических уравнений 2. sint = а , где | а |≤ 1 или Частные случаи 1) sint=0 t = π k‚ k Є Z 2) sint=1 t = π/2+2π k‚ k Є Z 3) sint = - 1 t = - π/2+2π k‚ k Є Z](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_13.jpg)
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
2. sint = а , где | а |≤ 1
или
Частные случаи
1) sint=0
t = π k‚ k Є Z
2) sint=1
t = π/2+2π k‚ k Є Z
3) sint = - 1
t = - π/2+2π k‚ k Є Z
![Формулы корней простейших тригонометрических уравнений 3. tgt = а, а Є R t = arctg а + π k‚ k Є Z 4. ctgt = а, а Є R t = arcctg а + π k‚ k Є Z](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_14.jpg)
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
3. tgt = а, а Є R
t = arctg а + π k‚ k Є Z
4. ctgt = а, а Є R
t = arcctg а + π k‚ k Є Z
![При каких значениях х имеет смысл выражение: 1. arcsin(2x+1) 2.arccos(5-2x) 1) -1≤ 2х+1 ≤1 -2≤ 2х ≤0 -1≤ х ≤0 Ответ: [-1;0] 2) -1≤ 5-2х ≤1 -6≤ -2х ≤ -4 2≤ х ≤3 Ответ: [2;3] 3.arccos(x²-1) 4.arcsin(4x²-3x) -1≤ х²-1 ≤ 1 0 ≤ х² ≤2 Ответ:](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_15.jpg)
При каких значениях х имеет смысл выражение:
1. arcsin(2x+1)
2.arccos(5-2x)
1) -1≤ 2х+1 ≤1
-2≤ 2х ≤0
-1≤ х ≤0
Ответ: [-1;0]
2) -1≤ 5-2х ≤1
-6≤ -2х ≤ -4
2≤ х ≤3
Ответ: [2;3]
3.arccos(x²-1)
4.arcsin(4x²-3x)
-1≤ х²-1 ≤ 1
0 ≤ х² ≤2
Ответ:
![Примеры: 2) sint = 0; cost= - ; Частный случай: t = π k, k Є Z t= ±arccos(-1/2)+2 π k, k Є Z t= ± + 2 π k, k Є Z 3) tgt = 1; t = arcctg( ) + π k, k Є Z t = + π k, k Є Z. t = arctg1+ π k, k Є Z t = + π k, k Є Z.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_16.jpg)
Примеры:
2) sint = 0;
- cost= - ;
Частный случай:
t = π k, k Є Z
t= ±arccos(-1/2)+2 π k, k Є Z
t= ± + 2 π k, k Є Z
3) tgt = 1;
t = arcctg( ) + π k, k Є Z
t = + π k, k Є Z.
t = arctg1+ π k, k Є Z
t = + π k, k Є Z.
![Решение простейших уравнений tg2x = -1 2) cos(x+ π /3) = ½ x+ π /3 = ±arccos1/2 + 2 π k, k Є Z x+ π /3 = ± π /3 + 2 π k, k Є Z x = - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z Ответ: - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z 2x = arctg (-1) + π k, k Є Z 2x = - π /4 + π k, k Є Z x = - π /8 + π k/2, k Є Z Ответ: - π /8 + π k/2, k Є Z . 3) sin( π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin ( x/3 ) = 0 частный случай x/3 = π k, k Є Z x = 3 π k, k Є Z. Ответ: 3 π k, k Є Z.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_17.jpg)
Решение простейших уравнений
- tg2x = -1
2) cos(x+ π /3) = ½
x+ π /3 = ±arccos1/2 + 2 π k, k Є Z
x+ π /3 = ± π /3 + 2 π k, k Є Z
x = - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z
Ответ: - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z
2x = arctg (-1) + π k, k Є Z
2x = - π /4 + π k, k Є Z
x = - π /8 + π k/2, k Є Z
Ответ: - π /8 + π k/2, k Є Z .
3) sin( π – x/3) = 0
упростим по формулам приведения
sin ( x/3 ) = 0
частный случай
x/3 = π k, k Є Z
x = 3 π k, k Є Z.
Ответ: 3 π k, k Є Z.
![Виды тригонометрических уравнений 1.Сводимые к квадратным Решаются методом введения новой переменной a∙sin²x + b∙sinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| ≤1 , тогда a∙p² + b∙p + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_18.jpg)
Виды тригонометрических уравнений
1.Сводимые к квадратным
Решаются методом введения новой переменной
a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx = p, где |p| ≤1 , тогда a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.
![Виды тригонометрических уравнений 2. Однородные 1)Первой степени: Решаются делением на cos х (или sinx ) и методом введения новой переменной . a∙sinx + b∙cosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx ). Получим: простое уравнение a∙tgx + b = 0 или tgx = m Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0. Решение: Разделим обе части уравнения на cosx . Получим Ответ:](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_19.jpg)
Виды тригонометрических уравнений
2. Однородные
1)Первой степени:
Решаются делением на cos х (или sinx ) и методом введения новой переменной .
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx ). Получим: простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m
Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0.
Решение: Разделим обе части уравнения на cosx .
Получим
Ответ:
![Виды тригонометрических уравнений 2) Однородные уравнения второй степени: Решаются делением на cos² х (или sin²x ) и методом введения новой переменной . a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0 Разделим обе части на cos²x . Получим квадратное уравнение: a∙tg²x + b∙tgx + c = 0 . П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , t g 2 x + 4 t g x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4 y +3 = 0 , корни этого уравнения: y 1 = 1, y 2 = 3, отсюда 1) t g x = –1, 2) t g x = –3, Ответ:](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_20.jpg)
Виды тригонометрических уравнений
2) Однородные уравнения второй степени:
Решаются делением на cos² х (или sin²x ) и методом введения новой переменной .
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Разделим обе части на cos²x . Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0 .
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
t g 2 x + 4 t g x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4 y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = 1, y 2 = 3, отсюда
1) t g x = –1, 2) t g x = –3,
Ответ:
![Виды тригонометрических уравнений 3. Уравнение вида: А sinx + B cosx = C . А, В, С 0 sin x + cos x = 1 . Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0 ,](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_21.jpg)
Виды тригонометрических уравнений
3. Уравнение вида:
А sinx + B cosx = C . А, В, С 0
sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения
влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
![Виды тригонометрических уравнений 4 . Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента. А sinx + B cosx = C Проверка Если , - не верно, значит , не является корнями исходного уравнения Ответ: При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уровнения.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_22.jpg)
Виды тригонометрических уравнений
4 . Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной
тригонометрической подстановки
Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента.
А sinx + B cosx = C
Проверка
Если ,
- не верно, значит
, не является корнями исходного уравнения
Ответ:
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уровнения.
![Формулы . Универсальная подстановка. х + 2 n ; Проверка обязательна! Понижение степени. = (1 + cos2x ) : 2 = (1 – cos 2x) : 2 Метод вспомогательного аргумента. a cosx + b sinx заменим на C sin ( x + ), где - вспомогательный аргумент . cos = sin =](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_23.jpg)
Формулы .
Универсальная подстановка.
х + 2 n ; Проверка обязательна!
Понижение степени.
= (1 + cos2x ) : 2
= (1 – cos 2x) : 2
Метод вспомогательного аргумента.
a cosx + b sinx заменим на C sin ( x + ), где
- вспомогательный аргумент .
cos =
sin =
![Правила.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_24.jpg)
Правила.
- Увидел квадрат – понижай степень.
- Увидел произведение – делай сумму.
- Увидел сумму – делай произведение.
![1.Потеря корней: делим на g (х). опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями мы сужаем область определения. 2. Лишние корни: возводим в четную степень. умножаем на g (х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями мы расширяем область определения. Потеря корней, лишние корни.](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_25.jpg)
1.Потеря корней:
- делим на g (х).
- опасные формулы (универсальная подстановка).
Этими операциями мы сужаем область определения.
2. Лишние корни:
- возводим в четную степень.
- умножаем на g (х) (избавляемся от знаменателя).
Этими операциями мы расширяем область определения.
Потеря корней, лишние корни.
![Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам Вариант 1. На «3» Вариант 2. На «3» 3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin 2 х - 3 sin х cos х - 2 cos 2 х =0 cos x+ 3 sin x = 0 6 sin 2 х - 5 sin х cos х + cos 2 х =0 На «4» На «4» 3 cos 2 х + 2 sin х cos х =0 5 sin 2 х + 2 sin х cos х - cos 2 х =1 2 sin 2 x – sin x cosx =0 4 sin 2 х - 2 sin х cos х – 4 cos 2 х =1 На «5» На «5»](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_26.jpg)
Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам
Вариант 1.
На «3»
Вариант 2.
На «3»
- 3 sin x+ 5 cos x = 0
- 5 sin 2 х - 3 sin х cos х - 2 cos 2 х =0
- cos x+ 3 sin x = 0
- 6 sin 2 х - 5 sin х cos х + cos 2 х =0
На «4»
На «4»
- 3 cos 2 х + 2 sin х cos х =0
- 5 sin 2 х + 2 sin х cos х - cos 2 х =1
- 2 sin 2 x – sin x cosx =0
- 4 sin 2 х - 2 sin х cos х – 4 cos 2 х =1
На «5»
На «5»
- 2 sin x - 5 cos x = 3
- 1- 4 sin 2 x + 6 cos 2 х = 0
- 2 sin x - 3 cos x = 4
- 2 sin 2 х - 2sin 2х +1 =0
![](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/14/i_5a0b1523ad31b/img_phpPKj9vw_RESHENIE--TRIGONOMETRICHESKIH--URAVNENIJ_27.jpg)