«Логика и смекалка»
Принцип Дирихле. Решение задач на принцип Дирихле
Образовательная цель: познакомить с новыми математическим методом решения задач, которые не рассматриваются в школьном курсе, научить решать задачи с помощью принципа Дирихле; показать его применение для решения разнообразных задач.
Развивающая цель: развитие познавательного интереса, логического мышления; внимания, наблюдательности, накопление определенного запаса математических фактов и сведений, умений и навыков.
Ход занятия
При решении различных математических задач применяется специальный метод, получивший название: принцип Дирихле.
Дирихле родился в вестфальском городе Дюрене в семье почтмейстера. В 12 лет Дирихле начал учиться в гимназии в Бонне, спустя два года в иезуитской гимназии в Кёльне, где в числе прочих преподавателей его учил Георг Ом. С 1822 по 1827 г. жил в качестве домашнего учителя в Париже, где вращался в кругу Фурье. - В 1827г. устраивается на должность приватдоцента университета Бреслау (Вроцлав). В 1829 г. он перебирается в Берлин, где проработал непрерывно 26 лет, сначала как доцент. Затем с 1831 г. Как экстраординарный профессор. С 1839 г. как ординарный профессор Берлинского университета. В 1855 г. Дирихле становится качестве преемника Гаусса профессором высшей математики в Гёттингенском университете
Наиболее распространена следующая формулировка этого принципа:
Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.
Более общая формулировка звучит так:
Если m кроликов рассажены в n клеток, то хотя бы в одной клетке находится не менее кроликов, а также хотя бы в одной клетке находится не более кроликов.
Возможны также несколько формулировок для частных случаев:
Если число клеток больше, чем число кроликов, то, как минимум одна клетка пуста.
Рассмотрим примеры различных задач, решаемых с помощью принципа Дирихле.
Задача 1. В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся как минимум 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц.
Решение:
Пусть 15 учеников будут "зайцы”. Тогда "клетками” будут месяцы года, их 12. Так как 15 12, то, по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна клетка, в которой будет сидеть, по крайней мере, 2 "зайца”. То есть, найдется месяц, в котором будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса.
Задача 2. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5 см.
Решение:
Это наиболее трудная задача на принцип Дирихле . Но на примере ее решения очень хорошо видны все достоинства принципа Дирихле. Итак, при решении сначала надо выбрать что-то за "зайцев”. Так как в условии задачи фигурирует число "5”, то пусть 5 точек будут "зайцами”. Так как "клеток” должно быть меньше, и чаще всего на 1, то их должно быть 4. Как получить эти 4 "клетки”? Так как в условии задачи есть еще 2 числа; 1 и 0,5; причем второе меньше первого в 2 раза, то можно получить 4 "клетки”,разбив равносторонний треугольник с помощью проведения отрезков, соединяющих середины сторон. Тогда получим 4 равносторонних треугольника со сторонами по 0,5 см, которые и будут у нас "клетками”. Так как "зайцев” - 5, "клеток” - 4 и 54,то, по принципу Дирихле, найдется "клетка” - равносторонний треугольник со стороной 0,5 см, в который попадут не менее двух "зайцев” - точек. Так как 4 треугольника равны и расстояние между точками в любом треугольнике меньше, чем 0,5 см. т.е. некоторыми двумя точками из пяти расстояние будет меньше, чем 0,5.
Задача 3. Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делится на 11.Решение:Примем числа за "зайцев”. Так как их 12, то "клеток” должно быть меньше. Пусть "клетки” —это остатки от деления целого числа на 11. Всего "клеток” будет 11: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10. Тогда, по принципу Дирихле, найдется "клетка”, в которой будут сидеть не менее чем 2 "зайца”, то есть найдутся 2 целых числа с одним остатком. А разность двух чисел с одинаковым остатком от деления на 11, будет делиться на 11.
Применение принципа Дирихле
В шкафу лежат вперемежку 5 пар светлых и 5 пар темных ботинок одинакового размера и фасона. Какое наименьшее количество ботинок надо взять наугад из шкафа, чтобы среди них была хоть одна пара (левый и правый) одного цвета?
В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?
Имеется 5 чемоданов и 5 ключей к ним, но неизвестно какой ключ от какого. Сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ?
В коробке лежат 7 красных и 5 синих карандашей. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не меньше 2 красных и не меньше 3 синих.
В классе 30 человек. В диктанте Витя сделал 12 ошибок, а каждый остальной не больше. Докажите, что по крайней мере трое сделали одинаковое количество (может быть ноль) ошибок.
При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадает?
В квадрате со стороной 5 см размещено 126 точек. Докажите, что среди них существуют 6 точек, которые лежат в круге радиуса 1 м.
В классе 25 человек. 20 занимаются английским, 17 плаванием, 14 посещают математический кружок. Докажите, что найдется хотя бы один человек, посещающий все сразу.
В квадрат со стороной 1 м бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно покрыть квадратом со стороной 20 см.
На дискотеку в студенческое общежитие, в котором 42 комнаты. Пришло 36 гостей. Докажите, что найдется комната, в которую не пришел ни один гость.
Вывод.
Таким образом, применяя данный метод, надо:
определить, что удобно в задаче принять за "клетки”, а что за "зайцев”;
получить "клетки”; чаще всего "клеток” меньше (больше), чем "зайцев” на одну (или более);
выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле;
принцип Дирихле важен, интересен, полезен. Его можно применять в повседневной жизни, что развивает логическое мышление;
многие олимпиадные задачи решаются, используя это специальный метод. Он дает возможность обобщать.
