Произво́дная (-ый, -ое) — произведённая, образованная от другой, простейшей или основной величины, формы, категории

Ответы к олимпиаде по математике 1 класс

Решения к олимпиаде по математике 1 класс

1. Подбери варежке пару.

А) Б) В) Г)

Решение:

Ответ: Г

2. Сколько на ёлке игрушек не треугольной формы?

А) 6 Б) 5

В) 4 Г) 3

Решение:

Ответ: А

3. Кто из друзей неправильно показывает состав числа 9?

А) Б) В) Г)

Решение:

А) 2 + 7 = 9 Б) 2 + 8 = 10

В) 3 + 6 = 9 Г) 1 + 8 = 9

Ответ: Б

4. Две маленькие кошки сидели на окошке.

На всех лапках у кошек – мягкие сапожки.

Сколько сапожек у двух маленьких кошек?

А) 2 Б) 4

В) 6 Г) 8

Решение:

У каждой кошки по 4 лапки.

4 + 4 = 8 (л.)

Ответ: Г

5. Сколько снежинок должно быть на четвёртом окне?

А) 7 Б) 8

В) 9 Г) 10

Решение:

На каждом окошке количество снежинок увеличивается на 2.

2, 4, 6, 8

Ответ: Б

6. На окошке был написан пример. Какое число прикрыла снежинка?

А) 1 Б) 2

В) 3 Г) 4

Решение:

7 = 3 + 4

Ответ: Г

7. Три оленя везли сани с Дедом Морозом. Каждый олень бежал 1 час. Сколько времени везли олени сани с Дедом Морозом?

А) 1 ч Б) 2 ч

В) 3 ч Г) 4 ч

Решение:

Так как олени бежали одновременно, то и сани двигались тоже 1 ч.

Ответ: А

8. В какой паре картинок можно в пустую клеточку поставить знак « = »?

А)

Б)

В)

Г)

Решение:

Пары картинок А), Б), Г) отличаются одной игрушкой. На картинках В) все игрушки одинаковые, хотя и стоят в другом порядке.

Ответ: В

9. В первой таблице запиши ответы примеров. Перенеси буквы из неё во вторую таблицу. Что получилось?

А) отличник

Б) задание

В) Новый год

Г) годовой

Решение:

Ответ: В

10. Посмотри на расположение фруктов на трёх тарелочках. Как надо расположить фрукты на четвёртой тарелке?

Выбери один из предложенных вариантов.

А) Б) В) Г)

Решение:

На каждой из трёх тарелок груша и банан лежат между виноградом и яблоком. Такое расположение во второй группе есть только на тарелке Б.

Ответ: Б

6

Ответы к олимпиаде по математике 2 класс

Решения к олимпиаде по математике 2 класс

1. Аня идёт из школы домой 4 минуты. Сколько минут она потратит на дорогу, если пойдёт домой с такой же скоростью вместе с тремя подругами?

А) 16 мин Б) 4 мин

В) 3 мин Г) 1 мин

Решение:

Так как Аня будет идти с той же скоростью, количество подружек, которые идут с ней, не повлияют на время в пути. И с подружками она потратит на дорогу 4 минуты.

Ответ: Б

2. Из четырёх фигур выбери ту, которая не является квадратом и не тёмная.

А) Б) В) Г)

Решение:

Не тёмными, то есть белыми, являются квадрат и треугольник. Так как надо выбрать не квадрат, значит, это треугольник.

Ответ: В

3. К кому в гости пойдёт шарик?

А) Б) В) Г)

Решение:

Ответ: А

4. Какую дыню надо положить на правую чашу весов, чтобы весы были в равновесии?

А) Б) В) Г)

Решение:

1)15 + 7 + 5 = 27 (кг) – на левой чаше весов

2)16 + 5 = 21 (кг) – на правой чаше весов

3) 27 – 21 = 6 (кг) – масса дыни

Ответ: А

5. На столе лежит 1 ананас, 6 апельсинов и яблоки. Если сложить ананас и яблоки, то их вместе на 4 больше, чем апельсинов. Сколько всего фруктов лежит на столе?

А) 11 Б) 12

В) 15 Г) 16

Решение:

1) 6 + 4 = 10 (ф.) – ананас и яблоки вместе

2) 10 + 6 = 16 (ф.) – всего

Ответ: Г

6. Сколько чисел в круге не являются числами пятого десятка?

А) 10 Б) 9

В) 5 Г) 6

Решение:

Числа 1-го десятка – от 1 до 10; 2-й десяток – от 11 до 20;

3-й десяток – от 21 до 30; 4-й десяток – от 31 до 40;

5-й десяток – от 41 до 50.

К числам пятого десятка в круге не относятся 4, 7, 19, 51, 57. Их 5. Числа 9, 15, 58 также не относятся к пятому десятку, но они находятся вне круга, поэтому их мы о внимание не принимаем.

Ответ: В

7. Реши задачу, выбери правильный ответ.

У жеребёнка, ослика, кролика и козлёнка было 2 яблока и 2 морковки.

У каждого по одному плоду. У козлёнка и ослика плоды были одинаковые. У кролика была морковка. У кого что было?

А) Б)

В) Г)

Решение:

Так как у козлёнка и ослика плоды одинаковые, а у кролика была морковка, то у козлёнка и ослика – яблоки, а у жеребёнка – морковка.

Ответ: В

8. Три грибника собрали несколько белых грибов и решили сварить грибной суп. Один из грибников отдал 5 грибов, второй – 4 гриба, а третий – 3 гриба. После этого у каждого осталось ещё по 12 грибов. Сколько всего грибов собрали 3 грибника?

А) 12 Б) 24

В) 36 Г) 48

Решение:

1) 12 + 12 + 12 = 36 (г) – всего осталось

2) 5 + 4 + 3 = 12 (г) – всего сварили

3) 36 + 12 = 48 (г.) – всего собрали

Ответ: Г

9. В какой фигуре помещается меньше всего клеточек, если каждые две половинки считать за одну целую клеточку?

Решение:

А) Б) В) Г)

Фигура А) – 8 полных клеточек и 4 половинки, которые засчитываются за 2 полных клеточки. 8 + 2 = 10 (кл.)

Фигура Б) – 6 полных клеточек и 4 половинки, которые засчитываются за 2 полных клеточки. 6 + 2 = 8 (кл.)

Фигура В) – 8 полных клеточек и 2 половинки, которые засчитываются за 1 полную клеточку. 8 + 1 = 9 (кл.)

Фигура Г) – 8 полных клеточек и 4 половинки, которые засчитываются за 2 полных клеточки. 8 + 2 = 10 (кл.)

Ответ: Б

10. Сколько всего прямоугольников на рисунке?

А) 6 Б) 10

В) 18 Г) 25

Решение:

1) 1 + 1 + 1 + 3 = 6

2) 2 + 2 + 2 + 6 = 12

3) 12 + 6 = 18

Ответ: В

5

Ответы к олимпиаде по математике 3 класс

Решения к олимпиаде по математике 3 класс

1. Ребята к празднику сделали фриз из снежинок. На полосу бумаги наклеили 18 больших снежинок, а между ними – маленькие. Сколько всего снежинок на этом фризе?

А) 36 Б) 35

В) 34 Г) 33

Решение:

Между 18-ю большими снежинками расположены 17 маленьких.

18 + 17 = 35 (сн.) – всего

Ответ: Б

2. Трое дворников за 3 мин очистят 3 м дорожки от снега. Сколько надо дворников, чтобы очистить от снега 25 м этой дорожки за 25 мин, если они будут работать с прежней скоростью?

А) 25 Б) 15

В) 9 Г) 3

Решение:

Трое дворников за 3 мин очистят 3 м дорожки от снега, значит за одну минуту они очистят от снега 1м дорожки (3 : 3 = 1).

Если за каждую минуту трое дворников очищают 1 м дорожки, то, работая с постоянной скоростью, за 25 мин они очистят 25 м.

Ответ: Г

3. Периметр квадрата равен 12 см. Из пяти таких квадратов составили один прямоугольник. Чему равен периметр полученного прямоугольника?

А) 36 см Б) 48 см

В) 50 см Г) 60 см

Решение:

12 : 4 = 3 (см) – сторона квадрата

Строим прямоугольник из пяти квадратов.

1) 3 · 5 = 15 (см) – длина прямоугольника

2) 15 + 15 + 3 + 3 = 36 (см) – периметр прямоугольника

Ответ: А

4. На стоянке находятся 18 легковых автомобилей. Среди них 14 автомобилей марки «Лада» и 9 автомобилей красного цвета. Какое наименьшее количество автомобилей «Лада» может быть красного цвета?

A) 0 Б) 5

В) 4 Г) 9

Решение:

Ответ: Б

5. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если среди них не будет чисел, составленных из двух одинаковых цифр?

А) 20 Б) 30

В) 25 Г) 15

Решение:

Каждая из шести цифр, кроме нуля, может стоять в разряде десятков в двузначном числе. При этом в разряде единиц у неё может быть любое из шести чисел, кроме самой себя. То есть По 5 чисел можно составить с каждой из пяти цифр в разряде десятков.

5 · 5 = 25

10,12,13,14,15 20,21,23,24,25 30,31,32,34,35

40,41,42,43,45 50,51,52,53,54

Ответ: В

6. Вдоль аллеи высадили 6 лип, 7 клёнов и несколько каштанов. Клёнов и каштанов вместе в 8 раза больше, чем лип. Сколько каштанов посадили вдоль аллеи?

А) 48 Б) 42

В) 56 Г) 41

Решение:

1) 6 · 8 = 48 (д.) – клёнов и каштанов

2) 48 – 7 = 41 (д.) – каштанов

Ответ: Г

7. Мальчики наполняли бочку водой. Олег принёс 5 вёдер воды, Игорь - 3 ведра, а Петя – 2 ведра. Мама дала им 30 одинаковых монеток и сказала разделить их в соответствии с трудом каждого. Сколько монет получил каждый мальчик?

А) Олег – 15, Игорь – 9, Петя – 6 Б) Олег – 16, Игорь – 9, Петя – 5

В) Олег – 17, Игорь – 8, Петя – 5 Г) Олег – 17, Игорь – 9, Петя – 4

Решение:

1) 5 + 3 + 2 = 10 (в.) – всего

2) 30 : 10 = 3 (м.) – за 1 ведро

3) 3 · 5 = 15 (м.) – Олег

4) 3 · 3 = 9 (м.) – Игорь

3) 3 · 2 = 6 (м.) – Петя

Ответ: А

8. У фермера было 27 кур. Каждые 3 курицы он обменял на 2 утки, а затем каждые 3 утки на 2 гусей. Сколько гусей стало у фермера?

А) 9 Б) 10

В) 11 Г) 12

Решение:

1) 27 : 3 · 2 = 18 – уток

2) 18 : 3 · 2 = 12 – гусей

Ответ: Г

9.  В скачках принимали участие 5 скакунов – гнедой, вороной, рыжий, буланый и серый. Рыжий пришёл к финишу раньше серого. Буланый опередил гнедого, но отстал от серого. Вороной опередил рыжего. В каком порядке пришли кони к финишу?

А) 1 – гнедой, 2 – вороной, 3 – серый, 4 – рыжий, 5 – буланый

Б) 1 – буланый, 2 – гнедой, 3 – рыжий, 4 – вороной, 5 – серый

В) 1 – вороной, 2 – рыжий, 3 – серый, 4 – буланый, 5 – гнедой

Г) 1 – рыжий, 2 – серый, 3 – буланый, 4 – вороной, 5 – гнедой

Решение:

Проведем стрелки, которые указывают, кто за кем пришёл к финишу.

Ответ: В

10. В мастерской 3 гончара и 2 их ученика лепили кувшины. Вместе за день они изготовили 32 кувшина. Гончары работали с одинаковой скоростью, а их ученики – в 2 раза медленнее. На следующий день работали 2 гончара и 3 ученика. Сколько кувшинов они изготовили за 1 день, если и мастера, и ученики работали в прежнем темпе?

А) 32 Б) 28

В) 30 Г) 26

Решение:

Примем работу 1 ученика за 1 часть, тогда работа 1 мастера составляет 2 части.

1) 2 · 3 + 1 · 2 = 8 (ч.) – составляют 32 кувшина

2) 32 : 8 = 4 (к.) – делает за день ученик

3) 4 · 2 = 8 (к.) – делает за день мастер

4) 8 · 2 + 4 · 3 = 28 (к.) – сделали 2 гончара и 3 ученика за день

Ответ: Б

5

Ответы к олимпиаде по математике 4 класс

Решения к олимпиаде по математике 4 класс

1. Маме 34 года, а её дочери – 11 лет. Через сколько лет мама будет вдвое старше дочери?

А) 10 Б) 11

В) 12 Г) 13

Решение:

Сколько бы лет не прошло, разница в возрасте между мамой и дочерью будет неизменной.

1) 34 – 11 = 23 (г.) – разница в возрасте между мамой и дочерью

Нарисуем 2 отрезка, больший из которых – возраст мамы в тот момент, когда она будет вдвое старше своей дочери, а меньший – возраст её дочери. Первый отрезок в 2 раза длиннее второго и, одновременно, разница между отрезками – 23 г.

По рисунку понятно, что дочери в этот момент будет 23 года, а маме в 2 раза больше.

2) 23 · 2 = 46 (л.) – маме

3) 46 – 34 = 12 (л.) – через столько лет мама будет старше дочери в 2 раза.

Ответ: В

2. Сколькими способами можно расположить 4 разноцветных фонарика на одной линии так, чтобы красный был первым, а синий и зелёный находились рядом?

А) 5 Б) 4

В) 3 Г) 2

Решение:

Ответ: Б

3. От Великого Устюга до Вологды Дед Мороз проехал 450 км со скоростью

50 км/ч, и через каждые 3 ч делал остановку на полчаса для того, чтобы отдохнули его олени. Сколько времени заняла вся дорога от Великого Устюга до Вологды?

А) 9 ч Б) 9 ч 30 мин

В) 10 ч Г) 10 ч 30 мин

Решение:

1) 450 : 50 = 9 (ч) – время, которое Дед Мороз двигался

За 9 часов Дед Мороз сделал 2 остановки.

За 9 часов Дед Мороз сделал 2 остановки по полчаса, то есть, всего олени отдыхали 1 ч.

2) 9 + 1 = 10 (ч) – заняла вся дорога от Великого Устюга до Вологды

Ответ: В

4. Посмотри на треугольник. Из восьми таких треугольников составили прямоугольник. Чему равна его площадь?

А) 48 Б) 80

В) 60 Г) 96

Решение:

Данный треугольник является прямоугольным. Два прямоугольных треугольника вместе составляют один прямоугольник. Из восьми треугольников можно составить 4 прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см.

1) 8 : 2 = 4 – прямоугольника

2) 3 · 4 = 12 (см²) – площадь одного прямоугольника, составленного из двух треугольников

3) 12 · 4 = 48 (см²) – площадь всего прямоугольника

Ответ: А

5. Сколько всего различных способов расположения 4 разноцветных фонариков на одной линии?

A) 18 Б) 24

В) 28 Г) 32

Решение:

Составим все возможные варианты, при которых красный фонарик будет первым

Таких вариантов 6. Точно так же по 6 вариантов и в тех случаях, когда первыми будут стоять жёлтый, синий и зелёный фонарики.

6 · 4 = 24 – всего вариантов

Ответ: Б

6. Дети к празднику сделали ледяные разноцветные шары. Если посчитать вместе красные и зелёные шары, то их – 22. Красных и синих вместе – 30, а синих и зелёных вместе – 28. Сколько всего разноцветных ледяных шаров сделали дети?

А) 30 Б) 40

В) 45 Г) 50

Решение:

Обозначим ледяные шары разного цвета соответствующими цвету буквами:

К + З = 22 К + С = 30 С + З = 28

(К + З) + (К + С) + (С + З) = 22 + 30 + 28 = 80

Для того, чтобы получить число 80, мы шарики каждого цвета учитывали 2 раза. Значит, число 80 в 2 раза больше реального количества шариков.

80 : 2 = 40 (ш.) – всего

Ответ: Б

7. Ребята слепили 5 снеговиков и поставили их в шеренгу по росту от большего к меньшему. Снеговик с ведром на голове выше снеговика с ковшиком. Снеговик с бусами выше снеговика с метлой, но ниже того, у которого на голове ковшик. Снеговик с шарфиком выше того, у которого ведро. Чем украшен снеговик, стоящий в середине шеренги?

А) Б) В) Г)

Решение:

Ответ: Г

8. На ёлке золотистых шариков втрое больше, чем красных. А красных на 12 меньше, чем золотистых. Сколько всего шариков на ёлке?

A) 24 Б) 18

В) 28 Г) 32

Решение:

Изобразим количество красных и золотистых шариков в виде отрезков. Так как золотистых шариков втрое больше, чем красных, то отрезок, обозначающий золотистые шарики будет в 3 раза длиннее. Так как красных шариков на 12 меньше, чем золотистых, то разница между отрезками составляет 12 шариков. И это разница составляет 2 равных части.

Находим количество шариков, составляющих 1 часть. А так как 1 часть – это количество красных шариков, значит, мы находим это количество.

1) 12 : 2 = 6 (ш.) – красных шариков

2) 6 · 3 = 18 (ш.) – золотистых шариков

3) 18 + 6 = 24 (ш.) – всего

Ответ: А

9. Пруд площадью 120 м² за 4 дня полностью покрылся льдом. Причём каждый день льдом покрывалась площадь, равная застывшей площади за все предыдущие дни вместе. Какая площадь пруда застыла в первый день?

A) 8 м² Б) 30 м²

В) 12 м² Г) 15 м²

Решение:

Так как в последний, 4-й день, льдом покрылась площадь, равная площади, застывшей за все предыдущие дни, то это – половина площади всего пруда.

1) 120 : 2 = 60 (м²) – за 4-й день

Столько же покрылось льдом за предыдущие 3 дня. При этом в 3-й день льдом покрылась площадь, равная площади, застывшей за все предыдущие дни, то есть половина от 60 м^2.

2) 60 : 2 = 30 (м²) – за 3-й день

Столько же покрылось льдом за предыдущие 2 дня. При этом за 2-й день льдом покрылась площадь, равная площади, застывшей за предыдущий день, то есть половина от 30 м^2.

3) 30 : 2 = 15 (м²) – за 2-й день

И столько же льдом покрылось за 1-й день, т.к. в задаче говорится, что каждый день льдом покрывалась площадь, равная застывшей площади за все предыдущие дни вместе. Но предыдущий день был один, значит, в 1-й и 2-й дни льдом покрылись равные участки пруда.

Ответ: Г

10. В сказочном городе надо было построить высокую башню. В первый день трудились 2 каменщика и за 2 ч возвели 2 м стены. Во второй день работали 3 каменщика и за 3 ч подняли стену ещё на 3 м. На третий день 4 каменщика за 4 ч построили 4 м стены, а на четвёртый день 5 каменщиков за 5 ч работы возвели последние 5 м стены. В какой из дней каменщики работали быстрее всего?

А) 1-й Б) 2-й

В) 3-й Г) 4-й

Решение:

1) 2 : 2 = 1 (м) – 2 каменщика за 1 ч работы в 1-й день

2) 3 : 3 = 1 (м) – 3 каменщика за 1 ч работы во 2-й день

3) 4 : 4 = 1 (м) – 4 каменщика за 1 ч работы в 3-й день

2) 5 : 5 = 1 (м) – 5 каменщиков за 1 ч работы в 4-й день

Так как количество каменщиков с каждым днём увеличивалось, но при этом за 1ч работы они по-прежнему поднимали стену только на 1 м, то в 1-й день каменщики работали быстрее всего.

Ответ: А

6

Ответы к олимпиаде по математике 10 класс

Решения к олимпиаде по математике 10 класс

1. В каком году родился человек, если в 2017 году ему исполнилось количество лет, равное сумме цифр года рождения?

А) 1990 В) 1994

Б) 1992 Г) 1996

Ответ: В

Решение: Очевидно, что год рождения является четырехзначным числом, а сумма цифр четырехзначного числа не может превысить 36. Поэтому год рождения человека может иметь вид: 19ху или 20ху. Исходя из вариантов ответов видим, что речь о человеке, рожденном в 20 веке. Можем составить уравнение:

, или

Из последнего уравнения следует, что 11х – нечетное число, значит х – нечетное число и, очевидно, . Так как , то , , . Значит, х = 9. Тогда у = 4. Получаем год 1994.

Решить можно было и обычной проверкой подходящих ответов.

2. Дан треугольник АВС. Точки M, N и K – середины сторон. Найдите площадь ромба АMNK, если площадь треугольника ABC равна 12.

А) 24 В) 6

Б) 12 Г) 4

Ответ: В

Решение: Меньший треугольник разбивает больший на 4 одинаковых части, ромб содержит 2 части, значит, его площадь в 2 раза меньше площади большого треугольника и равна 12:2=6.

3. Найдите зависимость между числами и вставьте пропущенное число: 1, 8, 22, 43, ?, 106.

А) 64 В) 71

Б) 70 Г) 78

Ответ: В

Решение: Заметим закономерность:

8=1+7, 22=8+14, 43=22+21, 43+28=71, 106=71+35.

4. Буквами М, А, Ш, И, Е, Д, В, Ь зашифрованы некоторые цифры, причем разные буквы обозначают разные цифры. Известно, что М+А+Ш+А+И+М+Е+Д+В+Е+Д+Ь= 34. Число МАША делится на 5, а число МЕДВЕДЬ – на 125. Какую цифру обозначает буква М?

А) 2 В) 4

Б) 3 Г) 6

Ответ: Б

Решение: Поскольку МАША и МЕДВЕДЬ делятся на 5, то либо А = 5 и Ь = 0, либо А = 0, Ь = 5. Далее, МЕДВЕДЬ делится на 125, поэтому ЕДЬ является числом, кратным 125, причем все цифры должным быть различны. Это могут быть числа 125, 250, 375, 625, 750, 875. Так как в ЕДЬ нет буквы А, то это число не должно содержать одновременно цифры 0 и 5. Остаются числа 125, 375, 625 и 875.

По условию М+А+Ш+А+И+М+Е+Д+В+Е+Д+Ь = 34,

т.е. 2(А+М+Е+Д)+Ш+И+В+Ь = 34. (*)

Оценим наименьшее возможное значение левой части последнего равенства. Левая часть будет минимальна, если среди цифр, обозначенных буквами А, М, Е, Д будут цифры 0, 1, 2, 3, среди цифр, обозначенных буквами Ш, И, В, Ь будут цифры 4, 5, 6, 7.

Тогда 2(А+М+Е+Д)+Ш+И+В+Ь = 2(0+1+2+3)+4+5+6+7=34.

Это означает что 34 – это наименьшее значение выражения, стоящего в левой части (*). Следовательно, А=0, Ь=5. Так как цифры Е и Д не могут превышать 3, то ЕДЬ = 125. Значит, Е=1, Д=2, тогда М=3

5. На отрезке АВ отмечены его концы – точки А и В, а также еще 3 точки, отличные от А и В (см. рисунок). Далее на отрезке АВ, как на диаметре, строится полуокружность. На полуокружности отмечаются еще 5 точек, отличных от А и В. (Всего отмечено 10 точек). Надя, Ваня и Вася играют в такую игру. Они по очереди рисуют треугольники с вершинами в отмеченных точках. При этом каждый новый треугольник не должен полностью совпадать ни с одним из уже нарисованных, хотя и может иметь с ними отдельные общие вершины и стороны. Первой ходит Надя, вторым – Ваня, третьим – Вася. Выигрывает тот, после чьего хода, следующий за ним игрок не сможет нарисовать треугольник. Кто выиграет при правильной игре?

А) Надя В) Вася

Б) Ваня Г) Ничья

Ответ: Б

Решение: Подсчитаем наибольшее возможное количество построенных треугольников. Первую вершину треугольника можно выбрать 10 способами, вторую – 9, третью – 8. Итого три вершины можно выбрать способами. Необходимо учесть, что выбранные три вершины (например, А, В, С) могут быть выбраны в разном порядке: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА (всего 6 вариантов). Поэтому количество различных троек точек будет равно . (Знакомые с формулами комбинаторики тот же результат могут просто получить по формуле ). Заметим, что если три точки лежат на одной прямой, то они не образуют треугольник. В нашем случае это будут три точки, лежащие на отрезке АВ. Несложно подсчитать, что из 5 точек 3 точки можно выбрать 10 способами (). Таким образом, всего может получиться 120 – 10 = 110 различных треугольников. Поскольку число 110 при делении на 3 дает остаток 2, то последний 110-й треугольник нарисует игрок, делающий ход вторым, т. е. Ваня.

6. Мама, папа, сын и малютка-дочка отправились навестить бабушку. Когда они подошли к ветхому мосту, уже стемнело. Мама переходит мост за 7 минут, Папа за 2 минуты, дочка – за 9, сын – за 1. Мост настолько плох, что идти без фонарика никак нельзя, причем мост выдерживает не больше двоих путешественников, и если идут двое, то идут со скоростью самого медленного в паре. За какое наименьшее количество времени семья сможет попасть на тот берег?

А) 16 В) 18

Б) 17 Г) 20

Ответ: А

Решение:

Если двое идут со скоростью самого медленного, то нужно двух самых медленных отправить вместе, и чтобы они не возвращались. Для этого на том берегу их должны ждать (фонарик забрать), поэтому первыми идут папа и сын – 2 минуты, возвращается папа с фонариком – 1 минута, мама и дочка идут 9 минут, возвращается сын 2 минуты, и он с папой идет через мост – 2 минуты. Итого 2+1+9+2+2=16 минут.

7. Осматривая старинный замок, путешественник заметил, что он треугольной формы, и при этом разбит на 49 маленьких комнат, такой же треугольной формы (как на рисунке). Во всех стенах между комнатами есть двери. Путешественник, гуляя по замку, планирует не посещать ни одной комнаты дважды. Найдите наибольшее число комнат, которое ему удастся посетить.

А) 42 В) 44

Б) 43 Г) 45

Ответ: Б

Решение: Раскрасим комнаты зала в два цвета, в «шахматном» порядке, чтобы 2 комнаты с общей дверью были разного цвета. Тогда проходя по комнатам, путешественник из белой идет в черную, из черной – в белую. Значит, количество пройденных комнат по цвету будет или одинаковым (например, начали с белой комнаты, закончили черной), или отличаться на 1 (если начать и закончить белой комнатой, или наоборот, черной).

Подсчитаем комнаты черного цвета: 1+2+3+4+5+6=21. Тогда белых пройдет путешественник не более 22, и 22+21=43 – наибольшее количество пройденных комнат.

8. В одной отборочной группе к чемпионату мира по футболу среди юношей играли команды России, Беларуси, Польши, Эстонии и Болгарии. Каждая команда сыграла со всеми остальными по два матча: на своем поле и в гостях. За победу команде начислялось 3 очка, за ничью начислялось 1 очко, за поражение – 0 очков. По окончании турнира команды набрали следующее количество очков:

Сколько матчей турнира закончилось вничью?

А) 7 В) 9

Б) 8 Г) 10

Ответ: В

Решение: Подсчитаем, сколько всего матчей было сыграно на турнире. Каждая команда сыграла по 8 матчей. Всего матчей было (делим на 2, поскольку каждый матч подсчитывается дважды: если играли команды А и Б, то эта игра идет в зачет каждой из этих команд). В каждом матче разыгрывалось 3 очка (если игра завершилась победой одной из команд) или 2 очка (если игра завершилась вничью). Если бы все игры закончились победой одной из команд, то общее количество очков, набранных командами, было бы равно . Каждая игра вничью вычитает из этого числа единицу. Все команды набрали вместе 16+13+10+9+3=51 очко. Тогда вничью закончились 60 – 51 = 9 матчей.

9. Дан треугольник. На одной из его сторон отмечено 5 различных точек, не совпадающих с вершинами, на второй стороне отмечено 8 различных точек, не совпадающих с вершинами, на третьей стороне – 12 различных точек, не совпадающих с вершинами треугольника. Сколько существует различных треугольников с вершинами в отмеченных точках?

А) 2014 В) 2016

Б) 2015 Г) 2017

Ответ: А

Решение: Всего на контуре исходного треугольника отмечены 5+8+12=25 точек. Первую вершину построенного треугольника можно выбрать 25 способами, вторую – 24, третью- 23. Итого три вершины можно выбрать способами. Необходимо учесть, что выбранные три вершины (например, А, В, С) могут быть выбраны в разном порядке: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА (всего 6 вариантов). Поэтому количество различных троек точек будет равно . (Знакомые с формулами комбинаторики тот же результат могут просто получить по формуле ). Заметим, что если три точки лежат на одной прямой, то они не образуют треугольник. Если три точки выбраны на стороне с 5-ю точками, то таких троек будет ().Если три точки выбраны на стороне с 8-ю точками, то таких троек будет (). Если три точки выбраны на стороне с 12-ю точками, то таких троек будет ().

Таким образом, получится 2300–10–56–220 = 2014 различных треугольников.

10. Маша и Саша – брат и сестра. Маше вдвое больше лет, чем было Саше тогда, когда Маше было столько, сколько Саше теперь. Когда Саше будет столько лет, сколько Маше сейчас, сумма их возрастов будет равна 63 годам. Сколько лет каждому?

А) Маше 33, Саше 30 В) Маше 28, Саше 21

Б) Маше 18, Саше 17 Г) Маше 25, Саше 10

Ответ: В

Решение:

Составим и заполним таблицу:

Пусть Маше было х лет, Саше у лет. Заполним таблицу по условию задачи. Разность возрастов брата и сестры равна х – у = 2у – х (на столько лет Маша старше Саши). Когда Саше будет 2у лет, разность возрастов останется той же, значит Маше будет 2у + х – у = х + у лет. Мы знаем, что сумма возрастов брата и сестры будет равна 63, получаем второе уравнение: х + у + 2у = 63.

Решим систему уравнений:

Решив систему, получаем, х = 21, у = 14. Значит Маше сейчас 28 лет, Саше 21 год.

7

Ответы к олимпиаде по математике 11 класс

Решения к олимпиаде по математике 11 класс

1. В каком году родился человек, если в 2017 году ему исполнилось количество лет, равное сумме цифр года рождения?

А) 2012 В) 2014

Б) 2013 Г)2015

Ответ: А

Решение: Очевидно, что год рождения является четырехзначным числом, а сумма цифр четырехзначного числа не может превысить 36. Поэтому год рождения человека может иметь вид: 19ху или 20ху. Исходя из вариантов ответов видим, что речь о человеке, рожденном в 21 веке. Можем составить уравнение:

, или

, х=1, у = 2. Получаем год 2012.

2. Дан четырехугольник с диагоналями 12 и 17. Найдите периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон данного.

А) 14,5 В) 29

Б) 10 Г) 20

Ответ: В

Решение: Так как вершины нового четырехугольника лежат на серединах сторон исходного, то его стороны совпадают со средними линиями треугольников, на которые диагональ разбивает четырехугольник. Так как средняя линия равна половине основания, то периметр равен 12+17=29.

3. Найдите зависимость между числами и вставьте пропущенное число: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ?, 21...

А) 10 В) 12

Б) 11 Г) 13

Ответ: Г

Решение: Заметим закономерность: любое число последовательности – сумма двух предыдущих чисел. Эту последовательность называют числами Фибоначчи. Названа она в честь средневекового математика Леонардо Пизанского, больше известного по прозвищу – Фибоначчи.

4. Часы Юры отстают на 8 минут, но он считает, что часы спешат на 2 минуты. Часы Коли спешат на 2 минуты, однако он думает, что они отстают на 8 минут. Друзья договорились, что встретиться в 17.00 часов. Кто раньше окажется у места встречи и на сколько минут?

А) Коля, на 20 минут В) Юра, на 20 минут

Б) Юра, на 10 минут Г) Коля, на 10 минут

Ответ: А

Решение:

Отметим, что мальчики приходят в точку встречи по своему «внутреннему» таймеру (который рассчитывают), а не по реальному. Поэтому надо узнать, каково реальное время в момент прихода каждого. Найдем разницу между реальным временем и тем временем, которое представляет себе Юра. Пусть точное время x минут, тогда на часах Юры x-8 минут. Так как он думает, что они спешат, значит считает, что сейчас x-8-2 минут. Поэтому значение реального времени больше того, которое представляет себе Юра на 10 минут. Это означает, что к моменту прихода Юры в точку встречи реальное время составит 17 ч 10 мин. Аналогично рассуждая можно получить расклад по Коле. Пусть y (мин) — реальное время. Тогда часы Коли в этот момент показывают y+2 (мин). Так как он думает, что часы отстают на 8 минут, значит считает, что в этот момент y+2+8 минут. Поэтому значение реального времени меньше представляемого Колей на 10 минут. Это значит, что к моменту прихода Коли реально 16 ч 50 мин. Поэтому Коля пришел раньше Юры на 20 минут.

5. Из пяти отрезков длиной 2, 2,8, 3, 5 и 7 см составили 2 треугольника с общей стороной. Какая из предложенных сторон может быть общей?

А) 2 Б) 7

В) 2,8 Г) 5

Ответ: В

Решение: Четырехугольник диагональю разбивается на 2 треугольника, к которым можно применить неравенство треугольника. Если диагональ будет 7 см, то составить из оставшихся чисел 2 треугольника не получится, 5+37, 2+2.87 тогда 2+37, 5+72.8, 7+2,85), вторая пара сторон 2 и 3 (2+32,8, 2+2,83, 3+2,82) – в этом случае неравенство треугольника выполняется.

6. Осматривая старинный замок, путешественник заметил, что он треугольной формы, и при этом разбит на 64 маленьких комнаты, такой же треугольной формы (как на рисунке). Во всех стенах между комнатами есть двери. Путешественник, гуляя по замку, планирует не посещать ни одной комнаты дважды. Найдите наибольшее число комнат, которое ему удастся посетить.

А) 56 В) 58

Б) 57 Г) 59

Ответ: Б

Решение: Раскрасим комнаты зала в два цвета, в «шахматном» порядке, чтобы 2 комнаты с общей дверью были разного цвета. Тогда проходя по комнатам, путешественник из белой идет в черную, из черной – в белую. Значит, количество пройденных комнат по цвету будет или одинаковым (например, начали с белой комнаты, закончили черной), или отличаться на 1 (если начать и закончить белой комнатой, или наоборот, черной).

Подсчитаем комнаты черного цвета: 1+2+3+4+5+6+7=28. Тогда белых пройдет путешественник не более 29, и 29+28=57 – наибольшее количество пройденных комнат.

7. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ (М). Окружность, проходящая через точку В и касающаяся стороны АС в точке М, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и L соответственно. Отрезки ВМ и КL пересекаются в точке Р, при этом ВР:РМ=5:1. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника КВL равна 100 кв.ед.

А) 121 В) 169

Б) 144 Г) 196

Ответ: Б

Решение: СМL = МВL (угол между касательной и хордой), МВL=АВМ (ВМ – биссектриса), АВМ=КLМ (опираются на дугу КМ). Значит СМL = КLМ. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими, поэтому КL АС. Отсюда следует подобие треугольников АВС и КВL. Так как ВР:РМ=5:1, то ВР:ВМ=5:6.

Тогда , , SАВС= 144.

8. В одной отборочной группе к чемпионату мира по футболу играли команды России, Португалии, Израиля, Азербайджана, Северной Ирландии, Люксембурга. Каждая команда сыграла со всеми остальными по два матча: на своем поле и в гостях. За победу команде начислялось 3 очка, за ничью начислялось 1 очко, за поражение – 0 очков. По окончании турнира команды набрали следующее количество очков:

Сколько матчей турнира закончилось вничью?

А) 11 В) 12

Б) 13 Г) 14

Ответ: А

Решение: Подсчитаем, сколько всего матчей было сыграно на турнире. Каждая команда сыграла по 10 матчей. Всего матчей было (делим на 2, поскольку каждый матч подсчитывается дважды: если играли команды А и Б, то эта игра идет в зачет каждой из этих команд). В каждом матче разыгрывалось 3 очка (если игра завершилась победой одной из команд) или 2 очка (если игра завершилась вничью). Если бы все игры закончились победой одной из команд, то общее количество очков, набранных командами, было бы равно . Каждая игра вничью вычитает из этого числа единицу. Все команды набрали вместе 22+21+14+9+7+6=79 очков.

Тогда вничью закончились 90 – 79 = 11 матчей.

9. Во сколько раз мякоть вишни больше ее косточки, если радиус косточки в 2 раза меньше радиуса самой вишенки?

А) 2 В) 5

Б) 4 Г) 7

Ответ: Г

Решение:

Вишня имеет форму шара, используем формулу объема шара:

Пусть радиус косточки равен r, радиус вишни тогда 2r. Объем всей вишни , объем косточки , объем мякоти вишенки – это разность объема всей вишни и косточки. Тогда отношение объема мякоти к объему косточки равно

10. Купец нанял пароход для перевозки грузов на расстояние 1000 км. Он предлагает плату хозяину парохода в размере 1500 золотых монет, но требует вернуть 9 монет за каждый час пребывания парохода в пути. Пароход будет двигаться с постоянной скоростью. Если скорость будет равна V км/ч, то в конце пути хозяин должен выплатить команде премию в размере 10V монет. С какой скоростью хозяин должен вести пароход, чтобы заработать наибольшее число монет? Найти это число монет.

А) 500 монет, 60 км/ч В) 900 монет, 30 км/ч

Б) 800 монет, 40 км/ч Г) 1000 монет, 30 км/ч

Ответ: В

Решение:

Из условия следует, что количество монет N, которые заработает хозяин парохода, выражается формулой: . Минимально возможное значение величины можно определить при помощи производной, либо используя неравенство Коши: = (монет). Заработок хозяина в этом случае составит

1500 – 600 = 900 монет. Скорость, с которой хозяин должен вести пароход найдем из условия (если решали по неравенству Коши): , откуда V= 30 (км/ч).

3

Ответы к олимпиаде по математике 5 класс

Решения к олимпиаде по математике 5 класс

1. Посмотрите на рисунок и скажите, какой геометрической фигуры нет на нем?

А) четырехугольник Б) луч В) прямая Г) отрезок

Решение:

На рисунке нет отрезка.

Ответ: Г.

2. Разгадайте ребус. Укажите количество согласных букв в полученном слове.

А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 2

Решение:

ИЗ-МЕРЕ-НИ-Е.

Согласных букв в слове 4.

Ответ: Б.

3. Назовите отрезки в порядке уменьшения их длины.

А) a,n,b,m Б) m,b,n,a В) a,b,m,n Г) b,n,a,m

Решение:

а = (42 – 7) мм = 35 мм; b = (71 – 46) мм= 25 мм; n = (95 – 65) мм = 30 мм;

m = (111– 90) мм = 21 мм.

Ответ: A.

4. У прямоугольного параллелепипеда объемом 512 см³ уменьшили длину в 4 раза, а ширину в 2 раза. В результате получился куб, объем которого на 448 см³ меньше параллелепипеда. Найти площадь 1 грани куба.

А) 96 Б) 12 В) 16 Г) 64

Решение:

Пусть ребро куба равно a, тогда объем куба запишем: a·a·a=a³.

У параллелепипеда длина больше в 2 раза, а ширина больше в 4 раза, то есть объем запишем: a · 2a · 4a = 8a³.

По условию, разность объемов: 8a³ – a³ = 7a³ = 448 см³.Откуда a³ = 64; a = 4.

Таким образом площадь одной грани куба: 4·4 = 16 см².

Ответ: В.

5. На столе находятся 4 ленты длиной 3 дм, 3 ленты длиной 505 мм, 2 ленты – 1 м 15 см. Сколько кусков лент длиной 183 мм можно получить из этих лент (куски должны быть цельными)?

А) 9 Б) 22 В) 0 Г) 23

Решение:

Рассмотрим ленты разной длины в отдельности.

Из ленты длиной 3 дм= 300 мм можно получить 1 цельный кусок длиной 183 мм, значит, из 4 таких лент получится 4 куска.

Из ленты длиной 505 мм можно получить 2 цельных куска длиной 183 мм, значит, из 3 таких лент получится 6 кусков.

Из ленты длиной 1 м 15 см= 1150 мм можно получить 6 цельных кусков длиной 183 мм, значит, из 2 таких лент получится 12 кусков.

Таким образом, всего из лент можно получить 4+6+12= 22 куска.

Ответ: Б.

6. Сколько раз использовали цифру 8 при написании по одному всех натуральных чисел до 100?

А) 10 Б) 18 В) 20 Г) 19

Решение:

Самое малое натуральное число 1, самое большое, о котором идет речь в условии задачи, 99. Цифра 8 в качестве описания единиц используется 10 раз, в качестве описания десятков: 10 раз. Значит, всего цифру 8 используют 20 раз.

Ответ: В.

7. Федя задумал натуральное число, умножил его на 11, затем зачеркнул последнюю цифру и разделил на 8. Полученное число он умножил на 10 и, отняв 40, получил 50. Какое число задумал Федя? Укажите произведение цифр в этом числе.

А) 36 Б) 732 В) 66 Г) 27

Решение:

Решим задачу, начиная выполнять действия в обратном порядке.

К полученному числу 50 добавим 40 и разделим на 10 : (50 + 40) : 10 = 9. Так, получили число, которое получилось в результате деления на 8, т.е. 8 · 9 = 72.

Таким образом, число, полученное при умножении на 11 имеет вид: 72*.

Так как искомое число натуральное, по условию, то получаем, что им является число 66. Убедимся в этом: 65·11=715, 67·11=737.

; .

Искомое число 66, а произведение его цифр 6·6=36.

Ответ: A.

8. Половина бидона с молоком весит 10 кг, четверть бидона с молоком ― 7 кг. Сколько весят 2 целых бидона с молоком?

А) 24 Б) 40 В) 108 Г) 32

Решение:

Пусть вес четверти бидона молока составляет 1 часть, тогда вес молока в целом бидоне – 4 части. По условию, 2 части молока и бидон весят 10 кг, а часть молока и бидон – 7 кг. Значит, часть молока весит, 3 кг, откуда вес бидона составляет 4 кг.

Вес одного бидона с молоком: 4 ∙ 3 + 4 = 16 кг. Вес двух таких бидонов ―

16 ∙ 2 = 32 кг.

Ответ: Г.

9. В столовой имеется 3 вида первых блюд и 6 видов вторых блюд. Для питья предлагается компот, кисель, чай и сок. Сколько существует вариантов набора обедов, если можно заказать первое, второе и питье или второе и питье?

А) 23 Б) 72 В) 96 Г) 216

Решение:

Рассмотрим наборы из трех и двух блюд в отдельности. Так, если взять обед из трех блюд, то существует 3∙6∙4=72 варианта обедов. Если взять только второе и третье блюдо, то будет 6∙4=24 варианта блюд. Значит, всего существует 72+24=96 вариантов обеда.

Ответ: В.

10. На клумбе у Люси 1 мая начали распускаться тюльпаны. В первый день (утром) распустился 1 тюльпан, во второй – ещё 2, в третий - ещё 3 и т.д. Сколько цветущих тюльпанов будет вечером 25 мая, если известно, что они цветут 10 суток?

А) 205 Б) 260 В) 230 Г) 245

Решение:

Чтобы знать количество цветущих тюльпанов, нужно вычислить сколько цветков распустилось с 16 по 25 мая включительно. Все остальные цветы к этому времени отцветут. Значит, нужно вычислить сумму 16+17+18+…+ 25.

Вычислим попарно: (16+25)∙5=205.

Ответ: A.

5

Ответы к олимпиаде по математике 6 класс

Решения к олимпиаде по математике 6 класс

1. Укажите наименьшее общее кратное для чисел 132, 665,189.

А) 795013 Б) 986 В) 11 Г) 790020

Решение:

Разложим на простые множители числа:

132=2·2·3·11;

665=5·7·19;

189=3·3·3·7.

НОК (132,665,189) = 2·2·3·3·3·5·7·11·19=790020.

Ответ: Г.

2. Укажите выражение, значение которого отличается от остальных по чётности.

А) 123² – 15 Б) 17³ + 5 В) 425 ∙ 897 Г) 2017³ + 1

Решение:

А) Выражение 123² – 15 принимает четное значение;

Б) выражение 17³ + 5 принимает четное значение;

В) выражение 425 ∙ 897 принимает нечетное значение;

Г) выражение 2017³ + 1 принимает четное значение.

Ответ: В.

3. Укажите проекцию фигуры сверху.

А) Б) В) Г)

Решение:

Ответ: A.

4. В лагере дети по парам для разведения костра собирали по лесу сучки. Каждый мальчик принес в костер ровно в два раза больше сучков, чем девочка. Укажите, сколько сучков могли принести все дети?

А) 152 Б) 294 В) 143 Г) 95

Решение:

Рассмотрим произвольную пару. Пусть в этой паре у девочки a сучков, тогда у мальчика их 2a, значит, в каждой паре всего 3a сучков, или число сучков кратное трем. Таким образом, если посчитать все сучки, то их число тоже будет делиться на три, так как число всех сучков получается путем суммирования числа сучков в каждой паре.

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Из предложенных вариантов на три делится без остатка только 294.

Ответ: Б.

5. В магазине конфеты «Мишка» стоят на 24% дешевле, чем конфеты «Кузнечик». А конфеты «Малышок» на 24% дороже конфет «Мишка». Какие конфеты самые дорогие?

А) «Кузнечик» Б) «Малышок»
В) «Мишка» Г) «Кузнечик» и «Малышок» стоят одинаково

Решение: Пусть конфеты «Кузнечик» стоят m рублей, тогда конфеты «Мишка» будут стоить 0,76 m. А конфеты «Мишка» будут стоить . Таким образом, видно, что конфеты «Кузнечик» самые дорогие.

Ответ: A.

6. Дан прямоугольный кусок цветной ткани длиной 4 м 95 см и шириной 2640 мм. Какое максимальное количество кубиков с максимально возможным объемом можно сшить из такого куска?

А) 33 Б) 9 В) 120 Г) 20

Решение:

Укажем длину и ширину в сантиметрах: 495 см и 264 см. Площадь кубика будет максимальной, если длина его стороны будет максимально возможная.

Так как длина стороны квадрата, зависит и от длины, и от ширины листа, то найдем наибольший общий делитель и, тем самым, получим длину стороны кубика.

НОД (264, 495) = 3∙11=33.

264=3∙2∙2∙2∙11;

495=3∙3∙5∙11;

Таким образом, длина стороны искомого квадрата 33 см.

Определим количество квадратов, вмещающихся на лист:

264:33=8;

495:33=15;

15∙8=120 штук.

Куб состоит из шести граней, являющихся квадратами. Таким образом, 120:6=20 кубиков.

Ответ: Г.

7. На столе лежат две синие и две красные ручки. Сколько существует различных вариантов разложить ручки в ряд, считая, что ручки одного цвета одинаковы.

А) 12 Б) 6 В) 24 Г) 4

Решение:

Предположим, что все ручки различны. Тогда имеем, на первом месте может оказаться 4 варианта ручек, на втором – 3 варианты, на третьем – 2 варианта, на последнем только 1 вариант. Значит всего существует 4·3·2·1= 24 варианта.

Если учесть, что ручки синего цвета одинаковы, то вариантов станет ровно вдвое меньше, чем предполагалось, то есть 12. Если также учесть, что и ручки красного цвета одинаковы, то вариантов разложения будет 6.

Ответ: Б.

8. Вдоль аллеи высадили деревья. Через год между любыми двумя соседними посадили по одному кусту, а потом между любыми деревом и кустом поставили садовое украшение. Всего понадобилось 60 украшений. Сколько деревьев было высажено вдоль аллеи?

А) 61 Б) 30 В) 31 Г) 60

Решение:

Пусть вдоль аллеи посадили (k+1) деревьев, тогда кустов на следующий год посадили k. Значит, украшения понадобилось ставить между (2k+1) растениями, то есть ровно 2k штук. Отсюда находим: 2k=60; k=30.

Деревьев высадили 30+1= 31.

Ответ: В.

9. За четыре теплых месяца в году кустарник выпустил новых 19 побегов. Причем, число побегов, выросших в предыдущем месяце было больше и нацело делилось на число побегов, выросших в настоящем месяце. Сколько побегов выпустил кустарник в первый теплый месяц?

А) 12 Б) 5 В) 15 Г) 9

Решение:

Начнем решать задачу с последнего месяца. Пусть в четвертом месяце кустарник выпустил ровно x побегов, тогда в третьем месяце их должно быть хотя бы 2х. Значит, если в четвертом месяце побегов x, то всего их не менее х+2х+4х+8х=15х. Так как 15х≤19, то х=1.

Пусть в третий месяц побегов выпустил кустарник y, тогда всего оно выпустило не менее 1+y+2y+4y=1+7y. 7y+1≤19 и y1, значит y=2.

Во второй месяц побегов z, тогда всего оно выпустило не менее 1+2+z+2z=3+3z. 3z+3≤19 и z2.

Если во втором месяце новых побегов вырастет не менее 6, то в последнем не менее 12. Но при таком количестве имеем: 12+6+3=2119. Отсюда, во второй теплый месяц выросло 4 побега. А значит, в первый месяц выросло 19-1-2-4=12 побегов.

Ответ: A.

10. Алеся, Ира, Катя в чате обмениваются сообщениями, которые могут быть адресованы либо всем, либо лично. Первая пишет Ира. Затем, на каждое полученное лично сообщение Алеся отсылает 6 сообщений, Катя ― 5, а Ира ― 4. После закрытия чата, оказалось, что сообщений, предназначенных для всех, было 13. Сколько личных сообщений получила Катя?

А) 3 Б) 1 В) 2 Г) 4

Решение:

Пусть Алесе, Ире, Кате отправили лично x, y и z сообщений соответственно. Тогда всего было отправлено 13+x+y+z сообщений, так как 13 сообщений были предназначены для общего обозрения. С другой стороны, Алеся отправила 6x сообщений, Катя ― 5y, а Ира ― (4z+1) сообщений (вместе с первым).

Получим уравнение и методом перебора решим его.

6x + 5y + 4z + 1 = 13 + x + y + z, 5x+4y+3z = 12.

Так как x, y, z — целые неотрицательные числа, то x может быть равен 1 или 2, y — 1, 2 или 3, z — 1, 2, 3 или 4. Перебором находим единственное решение x=1, y=1, z=1.

Значит, для каждой из девочек предназначалось 1 личное сообщение.

Ответ: Б.

6

Ответы к олимпиаде по математике 7 класс

Решения к олимпиаде по математике 7 класс

1. Сколько разных острых углов изображено на рисунке?

А) 2 Б) 3 В) 6 Г) 4

Решение:

Острый угол имеет градусную меру от 0° до 90°. На рисунке изображено

только два острых угла C.

Ответ: A.

2. Разгадайте ребус и укажите число, вид которого зашифрован в ребусе.

А) Б) -12,014114111441111… В) Г) 13578

Решение:

В ребусе спрятано слово: Ир-рацио-наль-но-е.

Иррациональным является только число в пункте Б -12,014114111441111…

Ответ: Б.

3. Укажите многочлен, имеющий максимальную степень.

А) Б)
В) Г)

Решение:

Степенью ненулевого многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в этот многочлен, значит, все записанные многочлены приведем к стандартному виду:

а) — многочлен 7 степени;
б) — многочлен 8 степени;
в) — многочлен 5 степени;

г) — многочлен 10 степени.

Ответ: Г.

4. Раздел в книге занимает несколько страниц. Первая страница с номером 87, а последняя – с номером 116. Сколько цифр было использовано для нумерации указанных страниц?

А) 75 Б) 30 В) 77 Г) 60

Решение:

Чтобы вычислить количество цифр, необходимо узнать, сколько страниц с двузначными номерами и сколько с трехзначными номерами описывалось.

Вычислим количество страниц с двузначными номерами: 99 – 86 = 13, с трехзначными номерами ― 116 – 99 = 17.

Таким образом, всего цифр: 13 ∙ 2 + 17 ∙ 3 = 77.

Ответ: В.

5. Дана развертка куба. Расставьте недостающие числа таким образом, чтобы произведение на любых противоположных гранях было одинаковым.

Подставьте числовые значения в выражение и вычислите результат:

А) 24 Б) 6 В) 35 Г) 12

Решение:

Таким образом, выражение принимает значение: 24 : 8 + 3 = 6.

Ответ: Б.

6. В двух тарелках лежит определенное количество конфет. В первой тарелке на 25% больше, чем во второй. Сколько процентов конфет нужно положить из первой тарелки во вторую, чтобы конфет стало поровну?

А) 12,5 Б) 20 В) 25 Г) 10

Решение:

Из первой тарелки нужно положить 10 процентов конфет, тогда их станет поровну.

Пусть в первой тарелке 1,25 х конфет, тогда во второй их x. 2,25х:2= 1,125x

, значит исходное количество уменьшили на 10%.

Ответ: Г.

7. В две разные банки налиты апельсиновый и яблочный соки. Лена отлила из банки с апельсиновым соком стакан и влила его в банку с яблочным. Затем из банки с яблочным соком она также отлила стакан и влила его в банку с апельсиновым соком. Какого сока больше?

А) яблочного в апельсиновом Б) поровну
В) апельсинового в яблочном Г) не хватает данных

Решение:

Пусть объём банки в k раз больше, чем объём стакана (имеется в виду объём жидкости, который в них наливают). После первого переливания в банке с яблочным соком оказался стакан апельсинового сока. В полученной смеси яблочного сока в k раз больше, чем апельсинового. Когда отлили стакан этой смеси, чтобы перелить в первую банку, отношение соков останется таким же. И это всё перельётся в первую банку.

То есть, перельётся стакана апельсинового сока и стакана яблочного сока. Таким образом, в первой банке окажется апельсинового сока, а во второй банке останется стакана яблочного сока.

Ответ: Б.

8. По шоссе на расстоянии ехали 2 автомобиля со скоростью 110 км/ч. Когда началась гравийная дорога, скорость упала до 70 км/ч. Когда оба авто оказались на гравийной дороге, расстояние между ними оказалось на 400 метров меньше первоначального. На каком расстоянии друг от друга автомобили ехали в начале пути?

А) 1100 Б) 800 В) 1800 Г) 600

Решение:

Пусть P — точка, в которой начинается гравийная дорога. Рассмотрим момент времени, когда в точке P оказался первый автомобиль: пусть второй был в этот момент в точке S. А когда второй автомобиль достиг точки P, первый переместился в точку G.

Таким образом, за время между этими двумя моментами времени первый автомобиль шел по гравийной дороге и прошел расстояние PG, а второй — по чистому шоссе, и прошел расстояние PS.

Отношение этих расстояний PS:PG=110:70, а разность между ними PS-PG=400. Таким образом, если PG=70х, PS=110х, то PS-PG=40х=400.

Значит, PS= 110x= 1100 м.

Ответ: А.

9. На доске были написаны 6 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма пяти оставшихся оказалась равна 646. Укажите произведение самого большого и самого маленького чисел в записанной последовательности.

А) 16899 Б) 16383 В) 16764 Г) 17028

Решение:

Пусть это были числа a − 2, a − 1, a, a + 1, a + 2, a+3. Тогда их сумма равна 6a+3. Пусть стерли число a + t, тогда 6a + 3 − (a + t) = 646. 5a = 643+ t. Значит, t дает остаток 2 при делении на 5, значит, t = 2. Но тогда 5a = 645, т.е. a = 129, и a + t = 129 + 2 = 131.

Таким образом, самое маленькое число последовательности 129-2=127, а самое большое 129+3=132.

Значит, произведение 127∙132= 16764.

Ответ: В.

10. В магазине имеется по 50 пирожных розового и зеленого цветов. Продавцу нужно расфасовать их в коробки по 4 штуки. Сколько существует различных вариантов фасовки (очередность расположения пирожных важна!)?

А) 16 Б) 25 В) 12 Г) 9

Решение:

Рассмотрим все возможные варианты. Так как пирожных много, то варианты по составу могут быть: 1 розовое и 3 зеленых, 2 розовых и 2 зеленых, 1 зеленое и 3 розовых, 4 розовых или 4зеленых.

Рассмотрим каждый состав в отдельности.

Так, если в состав входят по 4 пирожных одинакового цвета, то вариантов оказывается ровно 2.

Если в составе 1 розовое и 3 зеленых, то составы могут быть: рззз, зрзз, ззрз, зззр – 4 варианта. Если 3 розовых и 1 зеленое, то тоже получится 4 варианта.

Если в составе 2 розовых и 2 зеленых пирожных, то составы будут: ррзз, рзрз, рззр, зрзр, ззрр, зррз – 6 вариантов.

Таким образом, существует 16 вариантов распаковки пирожных по коробкам.

Ответ: A.

5

Ответы к олимпиаде по математике 8 класс

Решения к олимпиаде по математике 8 класс

1. Валентина Ивановна живет на 9-м этаже. Идя домой, она поднимается на 3 этаж за 3 минуты. Сколько минут потребуется ей, чтобы дойти до своего этажа?

А) 9 В) 11

Б) 10 Г) 12

Ответ: Г

Решение: Поднимаясь на 3 этаж, Валентина Ивановна проходит 2 пролета лестниц – между 1 и 2 и между 2 и 3 этажами. С 1 по 9 этаж 8 пролетов лестниц, 8:2*3=12 минут.

2. В произведении первый множитель увеличили на 100%, а второй уменьшили на 50%. Как изменится произведение?

А) Уменьшится на 50% В) Увеличится на 75%

Б) Увеличится на 50% Г) Не изменится

Ответ: Г

Решение: Пусть изначальное произведение ab, тогда увеличив первый множитель на 100%, а второй уменьшив на 50%, получим (a+a)*(b-0,5b)=2a*0,5b=ab, то есть произведение не изменится.

3. Длины двух сторон треугольника равны 4,22 и 0,5. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является целым числом.

А) 1 В) 3

Б) 2 Г) 4

Ответ: Г

Решение: Пусть длина третьей стороны равна n. По неравенству треугольника 4,22 – 0, 5 n n – целое число, то n = 4.

4. Если от числа отнять 2, то оно разделится на 3, если отнять 3, то разделится на 4, а если отнять 4, то оно разделится на 5. Найдите наименьшее натуральное такое число.

А) 58 В) 60

Б) 59 Г) 61

Ответ: Б

Решение: Если к искомому числу прибавить 1, то оно будет делиться на 3, 4 и 5, следовательно, оно будет делиться на 3*4*5=60. Так как число наименьшее, то имеется единственная возможность – оно равно 3*4*5–1=59.

5. Осматривая старинный замок, путешественник заметил, что он треугольной формы, и при этом разбит на 25 маленьких комнат, такой же треугольной формы (как на рисунке). Во всех стенах между комнатами есть двери. Путешественник, гуляя по замку, планирует не посещать ни одной комнаты дважды. Найдите наибольшее число комнат, которое ему удастся посетить.

А) 18 В) 20

Б) 19 Г) 21

Ответ: Г

Решение: Раскрасим комнаты зала в два цвета, в «шахматном» порядке, чтобы 2 комнаты с общей дверью были разного цвета. Тогда проходя по комнатам, путешественник из белой идет в черную, из черной – в белую. Значит количество пройденных комнат по цвету будет или одинаковым (например, начали с белой комнаты, закончили черной), или отличаться на 1 (если начать и закончить белой комнатой, или наоборот, черной).

Подсчитаем комнаты черного цвета: 1+2+3+4=10. Тогда белых пройдет путешественник не более 11, и 10+11=21 – наибольшее количество пройденных комнат.

6. Сколько существует двузначных чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5?

А) 15 В) 45

Б) 48 Г) 54

Ответ: Б

Решение: Двузначных чисел всего 90: 99-9, из них одно из трех подряд идущих делится на 3, их 90:3=30. Одно из пяти – обязательно делится на 5, таких чисел 90:5=18. Одно из 15 обязательно делится и на 3, и на 5, таких чисел 90:15=6. Тогда чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5, будет 90-30-18+6=48.

7. Саша получил тест по математике из 20 вопросов. За правильно отвеченный вопрос он получает 8 баллов, за неправильно отвеченный – минус 5 баллов. Если ответ не давался – 0. За тест Саша набрал 13 баллов. На сколько вопросов он дал ответы (и правильные, и неправильные)?

А) 13 В) 15

Б) 14 Г) 16

Ответ: А

Решение: Так как за неправильные ответы отняли количество баллов с 5 или 0 на конце, то за правильные ответы дали количество, кратное 8 и при этом оканчивающееся на 8 или на 3 (что невозможно, так как делящееся на 8 число нечетным быть не может).

Количество баллов за решенные задачи не более 8*20=160.

Числа меньше 160, кратные 8 и оканчивающееся на 8, это 48, 88 и 128.

Если 48 баллов получено за верные ответы, то правильных 6, неправильных (48 – 13) / 5 = 7, всего 7 + 6 = 13.

Если 88 баллов дали за верные ответы, то правильных 88 : 8 = 11, неправильных (88 – 13) : 5 = 15. Всего Саша взялся за 15+11 = 26 вопросов, чего быть не может, так как в тесте их 20.

Если 128, то правильных 128 : 8 = 16, неправильных (128 – 13) : 5 = 23 20 – снова не может быть.

Значит возможен только один вариант, и ответ – 13 вопросов.

8. На какую цифру оканчивается число 2²⁰¹⁶?

А) 2 В) 6

Б) 4 Г) 8

Ответ: В

Решение: Рассмотрим последние цифры степени двойки:

2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128 …

Как видим, последние цифры повторяются: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, …

В периоде 4 цифры, 2016:4=504, то есть среди степеней двойки до 2016-й повторяется 504 полных периода, значит 2²⁰¹⁶ будет оканчиваться на последнюю цифру периода, то есть на 6.

9. На какое количество нулей оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 2017 (1*2*3*…*2017=2017! – «две тысячи семнадцать факториал»)?

А) 403 Б) 483 В) 499 Г) 502

Ответ: Г

Решение: Количество нулей зависит от количества 2 и 5 в произведении. Так как двоек явно больше, то количество нулей зависит от степени пятерки в разложении 2016! на простые множители.

2017! Содержит [2017/5]=403 числа, кратных 5, [2017/25]=80 чисел, делящихся на 5², [2017/125]=16 чисел, кратных 5³, и [2017/625]=3 числа, кратных 5⁴. Тогда степень пятерки, входящая в разложение 2017!, равна 403+80+16+3=502.

10. На библиотечной полке стоит собрание сочинений о Гарри Поттере, 7 томов по порядку, по 400 страниц в каждом томе. Книжный червь, живущий в этом собрании прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четвертого тома. Сколько страниц прогрыз червячок?

А) 400 В) 800

Б) 1200 Г) 1600

Ответ: В

Решение:

Обратите внимание, когда тома стоят на полке по порядку, то первая страница 1-го тома прикасается к последней странице 2-го тома, а последняя страница 4-го тома прикасается к первой странице 3-го тома. Таким образом, червячок прогрыз только тома со 2-го по 3-й, т.е. 2*400=800 страниц.

6