Применение практических навыков по решению задач на теорию вероятностей

Название работы: Применение практических навыков по решению задач на теорию вероятностей

Авторы: Лавриеня Елена Анатольевна

Место выполнения работы: ГАПОУ КО «ККЭТ» г. Калуга

Разработка урока по математике

Теория вероятностей есть, в сущности, не что иное, как здравый смысл, сведенный к вычислению.

Пьер - Симон Лаплас

Пояснительная записка.

Данная методическая разработка предлагается как вариант проведения учебного занятия по формированию знаний, умений и навыков студентов по решению задач на классическую вероятность и теоремы.

Этот урок находится во втором блоке в середине модуля «Основы дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики». Весь модуль рассчитан на 16 часов, из них 8 часов – на изучение нового материала и 8 часов – на формирование практических умений и навыков.

Представленный урок является логическим продолжением предыдущего занятия, на котором студенты узнали новые понятия: события и их виды, вероятность наступления события; а также теоремы сложения и умножения для разных видов событий.

Целью этого урока является повторение и закрепление этих понятий, а также формирование умений и навыков по решению задач на классическую вероятность и на использование всех видов теорем.

Урок проводится в виде практического занятия. Формы работы: коллективная, самостоятельная и групповая. На уроке студенты не только приводят решения заданий, но и стараются все логически обосновать. Кроме того, на данном занятии применяется АМО «Автобусные остановки» и проблемный метод обучения. Это позволяет преподавателю создать благоприятные условия для развития познавательной активности студентов на занятии, формирования информационной и коммуникативной компетентностей, а также способствует формированию интереса к предмету.

Важность данной методической разработки вызвана тем, что данная тема достаточно сложна для восприятия студентами, а ее материал используется в статистике во 2-м семестре.

Поэтому качество знания данной темы необходимо для успешной работы студентов на последующих занятиях.

Задачи данной методической разработки - показать:

• использование проблемного метода обучения;

• возможность формирования логического мышления;

• использование АМО на уроке математике;

• применение РИТМа при проведении занятия;

• возможность использования дифференцированного подхода в обучении и возможность выбора студентами уровня сложности при выполнении самостоятельной работы;

• сочетание индивидуальной и коллективной работы студентов;

• использование компетентностного подхода в обучении.

Студенты разбиваются на четыре группы постоянного состава по четыре человека. Каждая подгруппа выбирает лидера и записывает свои фамилии в листы для учета баллов.

На каждом столе размещается папка, которая содержит следующий дидактический материал:

• памятка для работы студентов на занятии;

• лист учета баллов для каждого студента;

• карточки с занимательными задачками;

• карточки для задания «Автобусные остановки»;

• задание для самостоятельной работы студентов;

• критерии оценки самостоятельной работы.

Технологическая карта урока

Предмет: Математика

Курс: II

Тема урока: «Решение задач по теории вероятностей»

Тип урока: урок формирования знаний, умений, навыков и контроля

Вид проведения занятия: практическое занятие

Форма проведения занятия: сочетание групповой, индивидуальной и коллективной форм работы студентов на занятии.

Метод обучения: репродуктивно-развивающий, проблемный, активный.

Метод учения: частично-поисковый

Цели и задачи урока:

Образовательная цель:

Формирование умений и навыков при решении задач на классическую вероятность и на использование теорем сложения и умножения вероятностей, контроль и коррекция этих умений и навыков.

После изучения темы студент должен:

Знать:

• определение события;

• виды событий;

• классическое определение вероятности события;

• теоремы сложения вероятностей;

• теоремы умножения вероятностей.

Уметь:

• решать задачи на классическое определение вероятности;

• решать задачи на использование теорем.

Задачи занятия:

Задачи преподавателя:

• Формировать практические умения и навыки у студентов по теме «Решение задач на классическое определение вероятности и на использование теорем»;

• Оценить уровень сформированности умений и навыков студентов при решении задач на классическое определение вероятности и на использование теорем;

• Создать условия для формирования умений логически мыслить;

• Создать условия для формирования коммуникативной компетенций студентов.

Задачи студентов:

• Показать знания таких понятий как: определение события, виды событий, классическое определение вероятности события;

• Показать знания теорем сложения и умножения вероятностей;

• Показать умения и навыки при решении задач на классическое определение вероятности и на использование теорем;

• Показать умение логически рассуждать, высказывать и обосновывать свою точку зрения.

Воспитательная и развивающая цели урока:

• развивать продуктивное и логическое мышление;

• развивать монологическую и диалогическую речь;

• формировать умение правильно обозначать события и их вероятности, вычислять эти вероятности и пользоваться математическими записями;

• воспитывать ответственность и навыки самостоятельности;

• формировать личность студента через положительные эмоции, связанные с ощущением успеха, через самооценку, взаимооценку и оценку преподавателем.

Межпредметные и внутрипредметные связи:

межпредметные связи:

• Математика 1 курс (Комбинаторика)

• Статистика 2 курс (Случайна величина, выборка, вариационный ряд)

• Информатика, 1 курс (Разветвляющиеся алгоритмы)

• Логика, факультативный курс средней школы (решение задач на логику)

внутрипредметные связи (информатика, 1 курс, 2 модуль дисциплины):

• Основы дискретной математики, множества и отношения;

• Основы статистики;

• Комбинаторика: размещения, сочетания, перестановки.

Оборудование занятия:

Графические средства

• памятки для студентов

• карточки для самостоятельной работы студентов

• карточки для задания «Автобусные остановки»;

• задание для самостоятельной работы студентов;

• критерии оценки самостоятельной работы.

Литература:

1. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. – Математика. М.: Дрофа, 2010. –

400 с.

1. Богомолов Н.В. - Сборник задач по математике. Учебное пособие. М.: Дрофа, 2009. - 206 с.

2. Сборник дидактических заданий по математике: учеб. Пособие для ссузов/ Н.В. Богомолов, Л.Ю. Сергиенко. – М.: Дрофа, 2005. – 236с.

3. Зайцев И.А. Высшая математика. Учеб. Для с/х вузов. – 2-ое изд., испр. и доп. – М.: Высш. Шк., 1998. – 409 с.: ил.

4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 575с.

Ресурсы интернета:

http://ru.wikipedia.org/wiki

http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6347/ВЕРОЯТНОСТЕЙ

http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node4.html

http://slovari.yandex.ru/~книги/БСЭ/Вероятностей%20теория/

Содержание и ход занятия

	Элементы структуры урока, время	Действия студентов						Формируемые УУД
			Действия преподавателя		Методы и формы обучения
	1	2	3		4 5
	1.	Ориентировочно-мотивационный этап
	1.1 Организация группы 2 мин.	Занимают рабочие места	Организует посадку студентов для работы на уроке (четыре группы по 5 человек); проверяет присутствующих		Метод - Объясните-льно- Побуждающий Форма – индивидуа-льная и групповая			Личностные УУД: проявлять интерес к новому содержанию, осознавая неполноту своих знаний Познавательные УУД: формулировать информационный запрос Регулятивные УУД: самостоятельно ставить новые учебные цели и задачи, планирование
	1.2 Мотивация учебной деятельности студентов через решение задачи на одну из теорем теории вероятности, тогда как учащиеся умеют использовать классическую формулу вероятности 2 мин.	Усваивают значимость данного занятия, настраиваются на активную работу	Мотивирует студентов на активную индивидуальную и групповую работу
	1.3 Постановка цели и задач занятия, порядка проведения занятия: Научиться узнавать задачи на использование теорем и решать их. 2-3 мин.	Высказыва-ют предположения, слушают других студентов и преподавате-ля, обобщают и формулиру-ют окончательный результат, уясняют свои задачи	Помогает учащимся сформулировать цель и задачи занятия, акцентирует внимание на задачах, стоящих перед студентами
	1.4 Актуализация знаний. 10-15 мин. Приложение №1	Устно дают определения понятий и формулировки теорем и по теме, выполняют задания на карточках, задают вопросы	Задает вопросы, комментирует и поправляет ответы. Раздает студентам листы с заданиями и вопросами, контролирует работу студентов. организует работу студентов в соответствии с памяткой, ставит баллы		Форма – фронтальная, индивидуаль-ная			Личностные УУД: Выслушивать других людей Познавательные УУД: структурировать знания; давать определение понятиям Регулятивные УУД: следовать к цели учебной деятельности Коммуникативные УУД: адекватно отображать свои чувства, мысли в речевом высказывании
	2. Операционно-исполнительский этап
	2.1 Показ решения задачи на классическую вероятность преподавателем с обращением за «помощью» к студентам. Задача: Ошибка Даламбера Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону? Решение, предложенное Даламбером. Опыт имеет три равновозможных исхода: 1.Обе монеты упали на «орла». 2.Обе монеты упали на «решку». 3.Одна из монет упала на «орла», другая на «решку». m = 2; n= 3; P(A) = 2/3. - В чем заключается ошибка Даламбера? Каким будет верный ответ? 2-3 мин.	Слушают, отвечают на вопросы преподавателя, высказывают предположения по решению задачи, записывают решение себе в тетрадь		Показывает у доски ход решения задачи, обращается с наводящими вопросами к группе		Форма – коллективная Метод - Репродук-тивно-развиваю-щий	Личностные УУД: Развивать логическое и критическое мышление Познавательные УУД: устанавливать причинно-следственные связи; Регулятивные УУД: прогнозировать или предвосхищать результат Предметные УУД: Применять формулу классической вероятности
	2.2 Групповая работа в виде метода АМО «Автобусные остановки» с последующей проверкой Приложение №2 30-35 мин.	Выполняют задания на каждой «остановке», выполнив его, переходят к следующей, выполнив все задания, рассказывают ход своего решения, получившиеся результаты, коллективно формулиру-ют алгоритм решения типовых задач		Организует работу «остановок», следит за очередностью переходов к следующему столу, отвечает на вопросы, задает наводящие, выслушивает получившиеся результаты, оценивает работы, помогает сформулировать алгоритм решения типовых задач		Форма - Коллективно - групповая Метод - Проблем-ный	Личностные УУД: Работать в группе, прислушиваться к чужой точке зрения, отстаивать свое Познавательные УУД: анализировать и сравнивать объекты, подводить под понятие; Регулятивные УУД: прогнозировать и предвосхищать результат, адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действия и вносить необходимые коррек-тивы в исполнение как в конце действия, так и по ходу его реализации
	2.3 Самостоятельная работа дифференцированного характера Приложение №3 10-15 мин.	Получают по три карточки с заданием разного уровня, выбирают карточку своего предполагаемого уровня знаний, работают с этой карточкой		Организовывает работу студентов (раздает карточки, ходит по рядам, при необходимости отвечает на вопросы студентов)		Форма - Индивидуальная Метод - репродуктивно- развиваю-щий	Личностные УУД: Самоконтроль Познавательные УУД: осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; Регулятивные УУД: адекватно оценивать объективную трудность как меру фактического или предполагаемого расхода ресурсов на решение задачи; адекватно оценивать свои возможности достижения цели определённой сложности в различных сферах самостоятельной деятельности;
	3. Рефлексивно-оценочный этап
	3.1 Подведение итогов занятия самооценка, взаимооценка, оценка работы преподавателем. Рефлексия. 4-5 мин.	Оценивают свои достижения, успехи, оценивают ход занятия. Высказывают свое мнение. Анализиру-ют урок, свою работу.		Сопоставляет цели и задачи, поставленные в начале урока, с достигнутыми результатами на занятии. Проговаривает ещё раз учебные цели урока, объявляет балл каждого студента, выводит отметки. Дает при необходимости задание для повышения отметки.		Индивидуальная и групповая	Личностные УУД: Правильно критиковать и выслушивать критику Познавательные УУД: строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей Регулятивные УУД: Соотносить цели и результаты, искать причины неудачи, выдвигать гипотезы по коррекции Коммуникативные УУД: адекватно отображать свои чувства, мысли в речевом высказывании
	3.2 Постановка домашнего задания 1-3 мин.	Слушают, усваивают и записывают задание в тетради		Дает задание для внеаудиторной самостоятельной работы

Приложение № 1 (Актуализация знаний)

Какие из следующих событий - случайные, достоверные, невозможные:

1. черепаха научится говорить;

2. вода в чайнике, стоящем на включенной плите, закипит;

3. день рождение вашего друга - 30 февраля;

4. вы выиграете, участвуя в лотерее;

5. вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;

6. вы проиграете партию в шахматы;

7. после четверга будет пятница;

8. после пятницы будет воскресенье.

9. летом у школьников будут каникулы;

10. 1 июля в Москве будет солнечно.

Из предложенных ниже событий составить все возможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий:

а) «на улице пасмурно, идёт дождь»;

б) «на небе нет ни облака»;

в) «наступило лето».

Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события.
а) Мою новую соседку по парте зовут не Аня;
б) Из пяти выстрелов в цель попали больше двух;
в) На контрольной работе я не решил как минимум три задачи из пяти.
г) выбирая между поездкой в Египет и поездкой в Турцию, я выберу поездку в Египет;
д) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели.

Приложение № 2 (Автобусные остановки, групповая с\р на применение теорем)

1. В партии из 30 бутылок с минеральной водой находятся 5 с браком. С конвейера наугад берут одну за другой 2 бутылки. Найти вероятность того, что обе бутылки окажутся бракованными.

2. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 5, либо 9, либо тому и другому одновременно.

3. В магазин завезли 20 пирожков с повидлом, 30 пирожков с картошкой, 15 пирожков с мясом и 35 пирожков с капустой. Покупатель очень торопится и готов купить любой пирожок. Найти вероятность того, что этот пирожок окажется с повидлом или с капустой.

4. В первом банке кредитным отделом установлено, что по статистике из 30 взятых кредитов 5 являются невозвратными. Во втором банке – из 40 невозвратными являются 8 кредитов. В каждом банке взяли на проверку по одной кредитной истории. Найти вероятность того, что обе истории окажутся положительными.

Выполните по пунктам:

1. Прочитайте формировку задачи.

2. Проанализируйте данные задачи – выделите условие и что требуется найти.

3. Подумайте, какая из известных вам теорем подойдет к решению этой задачи.

4. Напишите формулировку теоремы и ее формулу.

5. Решите задачу по этой формуле.

6. Проанализируйте полученный результат.

7. Запишите критерий выбора способа решения задачи.

Приложение № 3 (Индивидуальная дифференцированная с\р, теоремы)

В классе из 28-и человек 4 ученика учатся на «5», 8 учеников учатся на «4», 14 учеников учатся на «3» и 2 ученика имеют неуспеваемость по предметам.

При аккредитации школы из этого класса последовательно выбрали трех учеников. Найти вероятность того, что:

1 вариант.

1 уровень (1 балл): первый выбранный ученик окажется «отличником» или «хорошистом»;

2 уровень(1,5 балла): первый выбранный ученик окажется «отличником», а второй - «хорошистом»;

3 уровень(2 балла): первый выбранный ученик окажется «отличником», второй - «хорошистом», третий - «троечником».

2 вариант.

1 уровень(1 балл): первый выбранный ученик окажется «троечником» или «двоечником»;

2 уровень(1,5 балла): первый выбранный ученик окажется «хорошистом»; а второй - «отличником»,

3 уровень(2 балла): первый выбранный ученик окажется «двоечником», второй -«троечником», а третий - «хорошистом».

Домашняя работа

1. Составить любые две задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей и решить их. 

2. Решить задачу: «В партии из 18 деталей находятся 3 бракованных. Рабочий наугад берет одну за другой 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся бракованными»

Памятка для работы на уроке

• Уяснить цель и задачи данного занятия (3 мин)

R_max занятия 10 баллов + резервные баллы

• Актуализация знаний (фронтальный опрос и решение занимательных задач) (10-15 мин.)

Цель:

- вспомнить, закрепить знания по теме;

• набрать баллы (от 0,5 за неполный ответ до 1 балла за полный ответ);

• каждой группе выполнить задание на карточке и сдать на проверку соседней группе;

• проверить и оценить работу соседней группы

• набрать баллы (от 0 до 3 балла за полный ответ, за каждое задание на карточке можно получить 1 балл).

• Решение задач на классическую вероятность (3-5 мин)

Цель:

- коллективно в ходе беседы решить задачу на классическую вероятность;

- набрать баллы за правильно выполненную работу (0– 1 балл)

• «Решение задач на использование теорем сложения и умножения вероятностей и составление критерия выбора теоремы» (Метод автобусных остановок). Проверка. (30-35 мин)

Цель:

- коллективно в своей группе решить задачу, предварительно определив, какую из теорем нужно применить; составить критерий выбора теоремы; поменяться местами с каждой соседней группой и выполнить тот же алгоритм действий.

- представить и защитить свое решение по первой задаче;

- совместно со всеми группами обобщить и сформулировать окончательный вариант общего для всех задач алгоритма решения;

- набрать баллы (0-3 баллов за каждую задачу, полученные балы суммируются и делятся на всех участников)

Критерий оценивания работы:

1. Верно выбранная теорема и ее верно сформулированная формулировка, верно записанная формула для вычисления – 1 балл.

2. Верно решенная задача -1 балл.

3. Сформулированный критерий выбора теоремы для решения данной задачи - 1 балл.

• Самостоятельная работа дифференцированного порядка по решению задач по теории вероятности (8-10 мин)

Цель:

- показать свои знания и умения по самостоятельному решению задач на теорию вероятностей (по карточкам, каждый свой вариант и уровень сложности);

- набрать баллы за правильный ответ (от 0 до 2 баллов)

Критерий оценивания работы:

1. Верно выбрана теорема и верно записана формула для вычисления – 0,5 балла для 1 уровня, 1 балл для 2 и 3 уровней

2. Получен верный ответ - 0,5 балла для 1 и 2 уровня и 1 балл для 3 уровня.

• Проверка сам. работы (7-10 мин)

Цель:

- проверить свои знания по теме;

- исправить ошибки;

-выставить полученные баллы.

• Подведение итогов работы (3-5 мин.)

• Постановка Д/З (1-2 мин.)

Отметка каждому студенту ставится в соответствии с заработанными баллами:

9 - 10 баллов – «5»

7 - 8 баллов – «4»

6 - 5 баллов – «3»

Меньше 5 баллов – «2».