. Математический миниквест по теме «Применение производной»

Разработка учителя математики МОУ

«Лицей «Интеллект» г. Донецка»

Сулейман Е.Н.

«Экскурсия в страну математику».

. Математический миниквест

по теме

«Применение производной»

Разве ты не заметил, что способный

к математике изощрён во всех

науках в природе?

Платон

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБОРУДОВАНИЕ и ОБЕСПЕЧЕНИЕ.

1. ПРАВИЛА ПРОВЕДЕНИЯ.

1. ПРИЛОЖЕНИЯ.

1. «Река Производная»;

2. «Константы»;

3. «Озеро Знаменитостей»;

4. «Лес шутошный»;

5. «Ров геометрический»;

6. «Горы литературные»;

7. «Пляж загадка»;

8. «Соображалки»;

9. Задачи;

10. Великие математики;

11. Пифагорки;

12. Карта.

V. ПРЕЗЕНТАЦИЯ.

VI. ЛИТЕРАТУРА.

I. ВВЕДЕНИЕ.

1. Математический миниквест по теме «Применение производной»: «Экскурсия в страну математику».

2.  «Математический квест» - это командная игра-соревнование для обучающихся 11 классов, направленная на формирование у обучающихся личностных, метапредметных и предметных результатов повышенного уровня, повышение интереса к математике.

3. Краткое описание игры

3.1. Квест (с англ. Quest — «поиск, поиск приключений») – командная игра.

3.2. Игра включает в себя движение по маршруту, на котором расположены игровые точки.

3.3. На каждом этапе команде будут предложены логические, творческие или эмоционально-образные задания различного характера на основе математического содержания.

4. Цели и задачи математического квеста:

Цель: развитие логического и критического мышления обучающихся, способности к преодолению мыслительных стереотипов, развитие математических способностей и интереса к математическому творчеству.

Задачи:

1. Развивать математические способности обучающихся.

2. Стимулировать опыт математического моделирования.

5. Планируемые результаты.

5.1. Личностные результаты:

- креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении задач;

- способность к эмоциональному восприятию математических объектов, решений, рассуждений.

5.2. Метапредметные результаты:

- умение применять дедуктивные и индуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач; умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения проблем.

5.3. Предметные результаты:

- умение работать с текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию);

- умение проводить логические обоснования; умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера.

6. Принципы организации квеста.

6.1. Принцип честной игры, соблюдаемый всеми участниками и подразумевающий, что игроки умышленно не помогают и не мешают соперникам.

6.2. Принцип самостоятельного выполнения заданий каждой командой, который соблюдают все игроки.

II. ОБОРУДОВАНИЕ и ОБЕСПЕЧЕНИЕ.

1. Наличие 6-4 кабинетов с аппаратурой.

2. Презентация. Краткие сведения об ученых внесших свой вклад в изучение дифференциального исчисления..

3. Раздаточный материал: карта следования, деньги (Пифагорки), конверты с заданиями.

III. ПРАВИЛА ПРОВЕДЕНИЯ.

1). Разбить класс на группы экскурсантов: максимум 6 групп, минимум -4.

2). Разыграть среди групп очередность посещения Замков.

3). Каждая группа в Замке:

1. Переплывает реку «Производная» Приложение 1.

2. Получает Пифагорки по количеству правильно отвеченных вопросов и отметку с суммой на карте.

3. Выслушивает экскурсовода в Замке с информацией о великих математиках( Приложение №10), внесших вклад в развитие дифференциального исчисления.

4. Отвечает на вопросы, полагающиеся в данном замке.

5. Получает Пифагорки(Приложение №11) по количеству правильно отвеченных вопросов и отметку с суммой на карте(Приложение №12).

6. Переходит в следующий замок по часовой стрелке.

7. Выслушивает экскурсовода в замке с информацией о великих математиках.

8. Получает задачу №1(Приложение №9) Если ответ в задаче будет получен неверный, то получает штрафные вопросы на покрытие долга. Если ответ верный- эти же вопросы для возможности заработать Пифагорки.

9 . Получает Пифагорки по количеству правильно отвеченных вопросов и отметку с суммой на карте.

10. Переход в следующий замок.

11. Выслушивает экскурсовода в замке с информацией по великим математикам.

12. Получает задачу №2. Если ответ в задаче будет получен неверный, то получает штрафные вопросы на покрытие долга или платит долг из ранее заработанных. Если ответ верный- эти же вопросы для возможности заработать Пифагорки.

13. Получает Пифагорки по количеству правильно отвеченных вопросов и отметку с суммой на карте.

14. Переход в следующий Замок….. И так до последнего замка. Дополнитетельных вопросов на 2 группы больше, чем Замков, что позволяет дать возможность либо заработать (если команд 6), либо распределить по две группы вопросов в каждом Замке (если команд 4).

Финал. Подсчет заработанных денег и выдача сертификатов на заработанную оценку.

Заключительное слово преподавателя.

IV. ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение №1. «Река Производная»

1. Какие точки называются точками экстремума?

Точки минимума и максимума.

1. Геометрический смысл производной?

Производная функции равна угловому коэффициенту

касательной к графику функции в точке касания.

1. Как называется операция нахождения производной?

Дифференцирование

1. Точки, в которых производная функции равна нулю?

Стационарные

1. Точки, в которых производная функции равна нулю или не дифференцируема?

Критические

1. На какую асимптоту может указывать область опре-

деления функции?

Вертикальную

1. На какую асимптоту может указывать область значения

функции?

Горизонтальную

1. Если – точка экстремума дифференцируемой

функции f(x), то ( )=0. Чье имя носит теорема?

Пьер Ферма

1. Физический смысл производной?

Мнгновенная скорость или скорость в данный момент

времени.

1. Если производная непрерывной функции больше нуля в каждой точке графика функции, то...?

График функции возрастает на всей области определения.

Приложение №2. «Константа»

1. Единственная функция, которая игнорирует дифференцирование?

1. Как называется кривая

(экспонента)

1. Чему равно число е ? ( 2,7 )

2. Число π  3,1. Назовите три следующие цифры. ( 3,1415… )

3. Сколько градусов составляет 1 рад? ( 57   ).

4. Чему равно значение выражения   ? ( смысла не имеет). 

5. Чему равна производная от const? ( 0)

6. Найдите ускорение материальной точки, если материальная точка движется по закону S(х)= ( где S- расстояние пройденное точкой).(8).

Приложение №3. « Озеро знаменитостей»

1. Он считал, что «Всё есть число». Согласно его философскому мировоззрению числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса. Первые четыре числа – 1, 2, 3, 4 – означали: огонь, землю, воду и воздух. Сумма этих чисел – 10 – изображало весь мир. Он разделил числа на четные и нечетные, простые и сложные, впервые открыл математическую теорию музыки.(Подсказка:его теорема связана с предметом гардероба).

Ответ: Пифагор.

1. В девятилетнем возрасте в течение нескольких секунд

решал и давал ответы на задачи, требующие сложных

расчетов.( например сумма чисел от 1 до 100). автор строгого доказательства основной теорема алгебры: число корней многочлена

равно степени многочлена.

Ответ: Карл Гаусс.

1. С кем из этих знаменитых людей произошёл следующий случай-
   «… На его камзоле протерлись локти. Повстречавший его придворный щёголь ехидно заметил по этому поводу:

– Учёность выглядывает оттуда …
— Нисколько, сударь, – немедленно ответил он, – глупость заглядывает туда!»

подсказка- этот человек писал прекрасные Оды!

Ответ: Михаил Васильевич Ломоносов.

1. Кто из математиков древности погиб от меча римского

солдата, гордо воскликнув перед смертью: «Отоди, не трогай моих чертежей!».

Ответ: АРХИМЕД (около 287 до н. э., Сиракузы, Сицилия — 212 до н. э.), древнегреческий ученый, математик и механик,

основоположник теоретической механики и гидростатики.

Разработал, предвосхитившие интегральное исчисление, методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных

фигур и тел.

1. Назовите автора и картину, где изображена геометрическая фигура?

Ответ: Казимир Малевич. «Черный квадрат».

Приложение №4 Лес «Шутошный»

1. 5 ворохов сена и 7 ворохов сена связали вместе. Сколько получилось ворохов? (1)

2. Сколько концов у 5 с половиной палок? (12)

3. Летели три страуса. Охотник одного убил. Сколько страусов осталось? (страусы не летают)

4. Почему в поездах стоп-краны всегда красные, а в

самолетах голубые? (в самолетах их нет)

5. Что было самой первой счетной машиной? (пальцы рук)

6. Производная от чая? (заварка)

7. Сколько шейных позвонков у жирафа, если шея у него

3 метра?

(7, как у всех млекопитающих)

8. На столе лежали 4 яблока. Одно из них разрезали на 2 част. Сколько яблок на столе? (4)

9. Производная от ЕГЭ? (ГИА).

Приложение №5 «Ров геометрический».

На выбор : «Шар или куб» 

1) Какая бывает молния? (шаровая)

2) Как называется объем помещения? (кубатура)

3) Направление в живописи? (кубизм)

4) Тип авторучки? (шариковая)

5) Одна из кличек дворняжек ?(Шарик)

6) Переходящий спортивный приз ?(кубок)

7) Третья степень числа? (куб)

8) Форма некоторых конфет и витаминов? (шарообразная)

9) Воздухоплавательное средство? (воздушный шар)

«Квадрат или круг» 

1) Известная картина Малевича ? (Черный квадрат)

2 )Под глазами усталого человека ? (круги)

3) Кто такие нематоды? (круглые черви)

4) Форма публичного обсуждения ?(Круглый стол)

5) Секция в школе (кружок)

6) Предписывающие дорожные знаки? (квадрат)

7) Запрещающие дорожные знаки ?(круг)

8) Черно-белый участок шахматной доски ?(квадрат)

9) Юбилейная дата? (круглая дата)

Приложение №6 «Горы литературные».

Из предложенных букв составьте слова, которые

обозначают математические термины. За каждое

полученное слово 1 Пифагорка :К,Н,Е,Ы,Л,У,И,Т,А,С,О,В,Р,Г,Ч,Ц,Я,Ф.

(высота, круг, точка, угол, вектор, луч, функция, центр, фигура…).

Приложение №7. «Пляж Загадка»

1. Какие числа сначала, после их открытия, часто называли ломаными? (дробные)

2. В VII веке в Индии одни числа толковались как имущество, а другие как долг. Что это за числа? (положительные и

отрицательные)

1. Прием в литературе, рассчитанный не на буквальное понимание, а на сильное эмоциональное воздействие. А в

математике так называют некоторую кривую?

(Гипербола, от греч. hyperbole — преувеличение)

1. Народы пришли к этой системе постепенно. Она

зародилась в Индии в V веке, в IX веке ею владели арабы, в X веке

она дошла до Испании, а в XII веке появилась и в других

странах Европы. Широкое распространение получила лишь в XVI веке. Эту систему мы знаем как позиционную и …

(Десятичная система счисления)

1.  В I веке до нашей эры в древнекитайском трактате это

правило формулировалось так: «Если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получится долг, а не имущество». О чем говорилось в трактате?

(О сложении отрицательных чисел)

1. Что за предмет, о котором писатель Юрий Олеша, автор

«Трех толстяков», писал: «В бархате лежит, плотно сжав ноги, холодный и сверкающий. У него тяжелая голова. Я

намереваюсь поднять его, он неожиданно раскрывается и

производит укол в руку».

(Этот геометрический инструмент согласно римскому поэту

Овидию был изобретен в Древней Греции. (Циркуль))

1.  История их изобретения насчитывает тысячи лет. Вряд ли кто возьмет на себя смелость назвать имя изобретателя. В древности их называли клепсидрами.

С подсказкой : Почти у каждого из вас есть такая вещь. Эта

вещь не имеет единственного числа. (Часы)

Приложение №8 «Соображалки»( по 2 Пифагорки)

1. Назовите по крайней мере три функции у=f(х), производ-

ная которых равна 4х

( )

1. Хотят поджарить 3 ломтика булки. На сковороде помещается лишь 2 ломтика, причем на поджаривание одной стороны ломтика затрачивается 1 минута. За какое наименьшее время можно поджарить с обеих сторон 3 ломтика?

( за 3 мин : сначала кладется два ломтика-1 мин, затем один

переворачивают и оставляют на сковородке, второй меняют с

третьим-1 мин, снимают первый ,переворачивают третий и

возвращают второй-1 мин).

1. Почему крышки уличных люков делают круглыми, а не

квадратными?

(если квадратную крышку поставить на ребро, то она может

провалиться)

1. Где в рассуждениях допущена ошибка?

В равенстве а^{2 _} а²  =а^2_ а² 

каждую часть разложили на множители разными способами:

а( а – а ) = ( а – а )(а + а )| : (а-а) получили

а = а + а

а = 2а : а

1 = 2. Что не так в рассуждениях?

(делили на а-а=0)

Приложение № 9. Задачи

Задача №2.  При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?

Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени-

h(t) = Vо t -1/2gt2 .Откуда следует: h(t)= v(t)= vо–gt. Следовательно, 0= 120-9,8t и t≈13 сек. Тогда h=745м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.

Задача№3. Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией

f(x)=0,0017 -0,18х+10,2; х30. При какой скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход.

Решение: Исследуем расход горючего с помощью производной: f′(х)=0,0034х-0,18.Тогда f′(х)=0 при

х≈53. Выясним наиб. Или наим. Значение принимает функция в этой точке… расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.

Задача №1. Зависимость суточного удоя У в литрах от возраста коров Х в годах определяется уравнением У(х)= -9,3+6,86 0,49 , где х2. Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

( 7 лет)

Приложение №10 к презентации «Великие математики»

Пьер Ферма

Пьер Ферма (1601-1665) — французский математик, один из основоположников аналитической геометрии и теории чисел, много времени посвятивший исследованиям по теории вероятностей, исчислению бесконечно малых и оптике, в 1629 г. предложил способы нахождения наибольших и наименьших значений функций, проведение касательных к произвольным кривым, которые фактически опирались на применение производных.

При жизни П. Ферма о его математических работах стало известно главным образом через посредство обширной переписки, которую он вел с другими учеными.

В конце двадцатых годов Пьер Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной. В 1636 году законченное изложение метода было передано Мерсенну и с ним могли познакомиться все желающие.

В 1637—1638 годах по поводу «Метода отыскания максимумов и минимумов» у Ферма возникла бурная полемика с Декартом. Последний не понял метода и подверг его резкой и несправедливой критике.

Рене Декарт

Рене Декарт родился 31 марта 1596 года в Лаэ, Турень, Франция. Рене родился в дворянской семье и получил хорошее образование. В 1619 по свидетельству самого Рене (записано самим Декартом в дневнике) ему открылись основания новой «удивительнейшей науки» - математики.

В 1620-е годы Декарт знакомится с математиком М. Мерсенном, через которого он долгие годы «держал связь» со всем европейским научным сообществом.

В 1633, узнав об осуждении церковью Галилея, Декарт отказывается от публикации натурфилософской работы «Мир», в которой излагались идеи естественного возникновения вселенной по механическим законам материи.

Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z...), коэффициентов (a, b, c...), широко употребляемое обозначение степеней.

Декарт является одним из авторов теории уравнений: им сформулировано правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости, т. е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций этого рода. Он указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах (а также указал решение с помощью циркуля и линейки, если это уравнение приводимо).

Рене Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разрабатывал одновременно с Пьером Ферма), позволявшей алгебраизировать эту науку с помощью метода координат. Предложенная им система координат получила его имя.

В работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции.

В область изучения геометрии Декарт включил «геометрические» линии (позднее названные Лейбницем алгебраическими) — линии, описываемые при движении шарнирными механизмами. В связи с исследованиями линз в «Геометрии» излагаются способы построения нормалей и касательных к плоским кривым.

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Саксонский философ, логик, математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед. Основатель и первый президент Берлинской Академии наук, иностранный член Французской Академии наук.

По уровню подготовки Лейбниц опережал многих старше-курсников. Ему не исполнилось 18-ти, когда он уже был магистром словесности и философии. В 1663 г. Готфрид Вильгельм проучился семестр в Йенском университете. В этом же году им была получена степень бакалавра, в следующем - степень магистра философии. В ноябре 1666 г. в Нюрнберге, Альторфском университете, Лейбниц успешно защищает докторскую диссертацию и отказывается от предложения остаться работать при этом учебном заведении.

С 1672 по 1676 г. Лейбниц живет в Париже. Пребывание во французской столице внесло огромный вклад в его развитие как ученого, в частности, математика. Так, в 1676 г. им были выработаны первые основания т.н. дифференциального исчисления, выдающегося математического метода. Именно точным наукам он в это время отдавал предпочтение.

Леонард Эйлер

Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора, друга семьи Бернулли. Рано обнаружил математические способности. Начальное обучение получил дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли. Одновременно с обучением в гимназии мальчик увлечённо занимался математикой под руководством Якоба Бернулли, а в последние гимназические годы посещал университетские лекции младшего брата Якоба, Иоганна Бернулли.

20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Но любовь к математике направила Леонарда по иному пути. Вскоре способный мальчик обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли. Он передал одарённому студенту математические статьи для изучения, а по субботам пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли — Даниилом и Николаем, также увлечённо занимавшимися математикой.

Надо отметить, что число научных вакансий в Швейцарии было совсем невелико. Поэтому братья Даниил и Николай Бернулли уехали в далёкую Россию, где как раз шла организация Академии наук; они обещали похлопотать там и о месте для Эйлера.

Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для него жить означало заниматься математикой. А работы у молодого профессора было много: картография, всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д..

За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ. Эйлер оправдал надежды своего учителя. Одна за другой выходят его работы огромной важности для науки: «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), «Морская наука» (1749), «Теория движения Луны» (1753), «Наставление по дифференциальному исчислению» ( 1755).

Всемирная слава не вскружила голову Эйлеру. По отзывам современников, он всю жизнь оставался скромным, жизнерадостным, чрезвычайно отзывчивым человеком, всегда готовым помочь другому.

Иоганн Бернулли

Иоганн Бернулли— швейцарский математик, механик, врач и филолог-классицист, самый знаменитый представитель семейства Бернулли, младший брат Якоба Бернулли, отец Даниила Бернулли. Один из первых разработчиков математического анализа, после смерти Ньютона — лидер европейских математиков. Учитель Эйлера. Иностранный член Парижской (1699), Берлинской (1701), Петербургской (1725) академий наук и Лондонского Королевского общества (1712).

В 1691 году он уже вёл пропаганду нового исчисления, находясь на тот момент на французской земле. Там же, в столице, основал первую школу анализа.

1692-й сделал Бернулли по-настоящему знаменитым благодаря открытию классического уравнения для радиуса кривизны (кривой линии). Год спустя Иоганн присоединяется к сотрудничеству своего старшего родственника с Лейбницем.

1695 год запомнился тем, что Иоганн занял должность профессора математики в университете Гронинген. Спустя 12 месяцев он издаёт замечательный учебник по математическому анализу.До этого научный мир не видел ничего подобного. Это учебное пособие сыграло огромную роль в развитие математического анализа и всей математики в целом, так как в нём Иоганн разложил всё буквально «по полочкам», используя при этом прекрасный слог и множество красочных примеров.

Лежен Дирихле

Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле - немецкий математик, внёсший существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел. Член Берлинской и многих других академий наук, в том числе Петербургской (1837).

До двенадцати лет Лежён Дирихле учился в обычной общеобразователь-ной школе, после чего он поступил в гимназию в Бонне, где проучился два года. Далее Дирихле обучается в Кёльнской гимназии. Здесь одним из его учителей был сам Георг Ом.

Он сотрудничал с другими учёными-математиками. Так, например, совместная работа с Андриеном Лежандром привела к потрясающему результату – в 1825 году ими была доказана теорема Ферма для частного случая n=5.

К важнейшим достижениям Лежёна Дирихле в науке относятся следующие: он ввёл такое понятие, как «условная сходимость» и определил её признак, доказал теорему о прогрессии, значительно развил теорию потенциала, высказал принцип Дирихле (нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов).

Последователями Дирихле стал целый ряд учёных. Среди них такие известные немецкие математики, как Фердинанд Эйзенштейн, Леопольд Кронекер, Рудольф Липшиц и многие другие.

Приложение №11. «Пифагорки»

Приложение № 12. Карта

V. ПРЕЗЕНТАЦИЯ.

VI. ЛИТЕРАТУРА.

1. С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. — 3-еизд., расширенное. М.: МЦНМО, 2001. — 448 с.

2. 2. Прикладные задачи математического анализа для школьников. Е. Н. Эрентраут., Изд. ЧГПУ454080 г. Челябинск, пр. Ленина, 69  

3. 3. Ю.В. Щербакова. Занимательная математика на уроках и внеклассных мероприятиях, М. Глобус, 2008.

1. Я. И. Перельман. Занимательная алгебра, М. Государственное издательство физико-математической литературы, 1987.

1. obrazovaka.ru

2. http://ourschool6.ucoz.ru

3. http://math4school.ru/citation.html

4. Применение производной к решению математических задач практического содержания (Останькович Т.Э.)

5. http://www.allmath.ru

6. monographies.ru

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ Абрамов А. В., Абрамова Н. В., Зайнуллин М. Н. Издательство: Академия Естествознания .Год издания: 2015.

11. http://zanimatika.narod.ru/Book8_1.htm