Контрольная работа по дисциплине ЕН.01 Математика на тему "Матрицы и определители. Элементарные преобразования матрицы"

Практическая работа

Раздел 3. Уравнения и неравенства.

Тема. Линейные и квадратные уравнения и системы уравнений.

Учебная цель: восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса;

создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей обучающихся, помочь осознать степень своего интереса к предмету.

Учебные задачи:

Образовательные: сформировать понятия: квадратное уравнение, приведённое квадратное уравнение, полное квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение; научить различать виды неполных квадратных уравнений и решать эти уравнения.

Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление; вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Образовательные результаты, заявленные в ФГОС:

Студент должен

уметь:

• решать линейные и квадратные уравнения;

• распознавать квадратные уравнения, приводить примеры;

• распознавать неполные квадратные уравнения, приводить примеры, решать данные уравнения;

• находить дискриминант;

• определять число корней квадратного уравнения в зависимости от дискриминанта;

• находить корни квадратного уравнения по формуле;

• составлять квадратное уравнение по известным корням;

• распознавать приведенные квадратные уравнения, приводить примеры;

• определять способы решения систем линейных уравнений, решать системы способом подстановки;

• решать системы линейных уравнений способом сложения, подстановки.

знать:

• определение квадратного уравнения;

• какое уравнение называется неполным квадратным уравнением; способы решения неполных квадратных уравнений;

• что называется дискриминантом квадратного уравнения, формулу дискриминанта;

• как зависит число корней от дискриминанта;

• формулу корней квадратного уравнения;

• теорему Виета и обратную теореме Виета;

• какие уравнения называются приведенными квадратными уравнениями;

• алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки;

• алгоритм решения систем уравнений способом сложения;

• способы решения уравнений высших степеней.

Обеспеченность занятия:

1. Учебно-методическая литература:

• Ш.А. Алимов и др., Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

• Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа. 10 кл. – М.: Мнемозина, 2011

• А.Н. Колмогоров и др., Алгебра и начала анализа. 10–11 кл. – М.: Просвещение, 2011

1. Рабочая тетрадь: в клетку

2. Раздаточные материалы (карточки-задания, по количеству обучающихся).

3. Калькулятор: простой.

4. Ручка.

5. Карандаш простой.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Определение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c - действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным . 
Числа a, b, c носят следующие названия: a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.

Корни уравнения ax2 + bx + c = 0 находят по формуле

Выражение D = b²- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

• если D 

• если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;

• если D  0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Пример

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

1. c = 0, то уравнение примет вид
   ax² + bx = 0.
   x(ax + b) = 0 ,
   x = 0 или ax + b = 0, x = -b : a.

2. b = 0, то уравнение примет вид
   ax² + c = 0,
   x² = -c / a,
   x_{1, 2} = ±√(-c / a).

3. b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид
   ax² = 0,
   x = 0

Пример.

Теорема Виета

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения выражает теорема Виета.

Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0, тогда х₁ + х₂ = – b/a, х₁х₂ = c/a. Для приведённого квадратного уравнения х² + рх + q = 0, если х₁ и х₂ – корни этого уравнения, то х₁ + х₂ = – p, х₁х₂ = q.
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х² + рх + q = 0.

Существуют различные приёмы решения систем уравнений.

Метод подстановки заключается в следующем:

• Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y);

• Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной;

• Находят корни этого уравнения;

• Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y).

Метод сложения основан на следующих теоремах:

• Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;

• Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

1. Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;

2. Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Задания для практического занятия:

Задание 1.

Краткий опрос:

1) Решить уравнения:

а) х² = 11;

б) х² = – 8;

в) 7 х 2 = 0;

г) х² – 5х = 0.

2) Рассмотреть квадратные уравнения:

a) 2 x² + 5x – 7 = 0 
б) 3x² – 8x = 0 
в) 3x² – 48 = 0 
г) 2х² = 0

Чем эти уравнения отличаются друг от друга? (В уравнениях б, в, г отсутствует один из членов). Как называются эти уравнения? (Неполными квадратными уравнениями)

3) Составить квадратное уравнение имеющее корни

• 3 и –3

• 0 и 6

Задание 2.

§20, Стр. 131, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа. 10 кл. (Учебники выдает преподаватель)

Работа по учебнику.

а) Прочитать материал стр. 131-134. Записать задачи 1,3 и 4 себе в тетрадь.

Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.

б) Задачу 6 разобрать у доски. Обсуждение. Записать решение в тетрадь.

Задание 3.

Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек)

№№ 460(1); 462(1);463(1);465(1); 470(1)

Задание 4.

Сделать самостоятельно

№№ 460(2); 462(2);463(2);465(2);

Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: №470(2)

Обсудить и проверить решения друг с другом.

Задание 5.

§21, Стр. 136, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа. 10 кл. (Учебники выдает преподаватель)

Работа по учебнику.

а) Прочитать материал стр. 137-140. Записать задачи 1, 2 и 3 себе в тетрадь.

Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.

б) Задачу 6 разобрать у доски. Обсуждение. Записать решение в тетрадь.

Задание 6

Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек)

№№ 471-474(1); 477(1); 478(1).

Задание 7

Сделать самостоятельно

№№ 471-474(2); 477(2);

Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: №478(2).

Обсудить и проверить решения друг с другом.

Задание 8.

§22, Стр. 141, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа. 10 кл. (Учебники выдает преподаватель)

Работа по учебнику.

а) Прочитать материал стр. 141-150. Записать задачи 1 и 2

Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.

б) Задачи 6 и 7 разобрать у доски. Обсуждение. Записать решение в тетрадь.

Задание 9.

Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек)

№№ 480(1); 481(1); 483(1); 492(1).

Задание 10.

Сделать самостоятельно

№№ 480(2); 481(2); 483(2)

Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: №492(2).

Обсудить и проверить решения друг с другом.

Задание 11.

Самостоятельно выполнить задания (по вариантам)

Решить приведенное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Задание 12

Подвести итог работы на занятии.

Записать домашнее задание.