Формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков

Формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков

Одной из основных задач преподавания курса математики является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.

Вычислительные навыки формируются у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но основа закладывается в первые 5 – 6 лет обучения. В этот период школьники обучаются умению осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень).

В последующие годы полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения математики, физики, химии и других предметов.

Вычислительные умения и навыки можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления.

В последнее время учителя, проводя в жизнь идею развивающего обучения, несколько ослабили внимание к развитию и закреплению у учащихся вычислительных навыков. Поэтому у школьников возникают затруднения даже при умножении и делении десятичных, обыкновенных дробей с разными знаменателями, при выполнении совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями и т.д. Отмечается также слабое практическое владение школьниками такими алгоритмами математических действий, как выделение целой части из неправильной дроби, представление числа, содержащего целую и дробные части, в виде неправильной дроби, обращение десятичной дроби в обыкновенную и наоборот, нахождение процентов от числа и числа по его процентам, а также выполнение математических действий с рациональными числами и др.

Эти недостатки оказывают отрицательное влияние на усвоение учащимися не только математики, но и отдельных разделов физики и химии.

Основные причины низкого уровня владения техникой счета заключается в следующем:

Результат вычислений зависит прежде всего от умений выполнять арифметические действия.

В начальных классах у учащихся формируется умение производить действия с многозначными числами. В дальнейшем обучении учитель должен следить за тем, чтобы у учащихся закреплялись навыки в действиях с натуральными числами и умения в рациональной организации работы, связанной с вычислениями. Однако ряд учителей мало обращают внимания на систематическое решение упражнений в течение всего учебного года на все примеры вычислений. Ссылаясь на отсутствие времени, значительная часть учителей математики сводит эту работу к эпизодическим заданиям на уроках и дома, при этом основная часть повторения ложится на домашнюю работу без последующей проверки на уроке, занижается роль устных вычислений.

Не всегда используются возможности учебного материала для дальнейшего совершенствования вычислительных навыков. На некоторых уроках в упражнениях комбинированного характера, выполнив алгебраические преобразования и столкнувшись с затруднениями учащихся при выполнении вычислений, учителя предлагают закончить вычисления дома. Из – за отсутствия должного внимания к полученному числовому значению при решении задачи часто упускается возможность интерпретации решения, сравнения ответа с полученными ранее результатами. Это оказывает вредное воздействие на отношение учащихся к анализу своего труда, связанному с техникой счета. Для выработки у учащихся вычислительных навыков и умений требуется систематическая организация разнообразных работ, связанных с вычислениями. Но, к сожалению, многие учителя не используют существующее многообразие методических приемов проведения таких работ на уроках и во внеклассной работе.
Учитель не должен забывать о том, что владение вычислительными умениями и навыками имеет огромное значение для усвоения изучаемого материала, что правильно организованная вычислительная работа учащихся позволяет воспитывать у них ценные трудовые качества: ответственное отношение к своей работе, умение обнаруживать и исправлять допущенные в работе ошибки, аккуратное исполнение задания, творческое отношение к труду и т. д. Практика работы школы показывает, что без прочных умений и навыков в области вычислений изучение математики усложняется , т.к. ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с расчетами.

О наличии у учащихся вычислительных навыков можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов.

В зависимости от сложности задания на практике используются три вида вычислений: письменное, устное и письменное с промежуточными устными вычислениями.

Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений.

Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформированного правила и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка. Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащимся понятен процесс вычислений и их особенности.

При обучении вычислениям и совершенствовании техники счета необходимо отчетливо представлять, какие умения и навыки у учащихся необходимо сформировать. Перечислим наиболее важные из них.

В письменных вычислениях данные числа, знаки арифметических действий, промежуточные и окончательные результаты записываются. Поскольку качество записей оказывает существенное влияние на успех вычисления, то учащимся необходимо владеть следующими навыками.
- отчетливо писать математические символы;
- цифры и знаки располагать строго в соответствии с правилами арифметических действий;
- безошибочно применять таблицы сложения и умножения натуральных чисел;
При устных вычислениях надо помнить данные числа и законы действий над ними. При этом формирование устных вычислений связано с выработкой навыка запоминания чисел, выявления особенностей отдельных чисел. Владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их.

Для того, чтобы овладеть умениями, предусмотренными программой, учащиеся должны достаточно уметь устно:

складывать и умножать двузначные числа;
прибавлять к двузначному числу однозначное;
вычитать из однозначного или двузначного числа однозначное;
складывать и вычитать двузначные числа;
делить однозначное или двузначное число на однозначное нацело или с остатком;
производить действия с дробными числами.

Успех в вычислениях во многом определяется степенью отработки учащихся навыков устного счета.

Организация устных вычислений в методическом отношении представляет собой большую ценность. Устные упражнения используются как подготовительная ступень при объяснении нового материала, как иллюстрация изученных правил, законов, а также для закрепления и повторения изученного.

В устном счете развивается память учащихся, быстрота реакции, воспитывается умение сосредоточиться, наблюдать, проявляется инициатива учащихся, потребность к самоконтролю, повышается культура вычислений.

Обращение к устному счету, предусмотренному на уроке, позволяет организовать локальное повторение. Система работы по совершенствованию вычислительных навыков состоит из следующих этапов.

Этап вводного контроля

На этом этапе в начале работы с классом (независимо от того, пятый это класс или девятый), проводится проверка знаний таблиц сложения, умножения, вычитания и деления. Форма проверки - устный счет по карточкам и таблицам (см. таблицы «Действия с натуральными числами»). Задания из таблицы могут быть представлены на карточках (в двух вариантах) или на экране монитора.
Далее на этом этапе проводится проверка знаний по всем темам арифметики в форме устного счета, небольших письменных работ; отдельных заданий при выполнении текущих самостоятельных работ (см. таблицы для 5-го класса). При этом особое внимание обращается на решение простейших уравнений, нахождение компонентов действий и на порядок действий с натуральными числами.
При этом индивидуальная работа с неуспевающими учениками ведется как на уроках, так и вне уроков, учащимся выдаются на дом таблицы для отработки навыков.

Этап текущей работы по формированию вычислительных навыков

К этому этапу готовятся серии таблиц следующих видов.

Таблицы для отработки отдельного навыка в определенном классе (например, действия с десятичными дробями - в 5-м классе, формулы сокращенного умножения - в 7-м классе, значения тригонометрических функций некоторых углов - в 9-м классе, нахождение производных функций — в 10-м классе и т. д.).
Сводные таблицы по отработке нескольких навыков при обобщающем повторении (например, действия с натуральными числами, целыми, дробными числами - в 9-м классе, решение различных простейших тригонометричес
ких, логарифмических, показательных уравнений - в 11-м классе и т. д.).
Наиболее сильные учащиеся привлекаются к составлению примеров и заданий по использованию рациональных приемов счета.

На этом этапе используются следующие формы работы:

1.Устный фронтальный опрос по карточкам (на два варианта), проводимый как учителем, так и учащимися.

1.Письменный опрос (с записью ответа) по подготовленным таблицам.

2.Письменная самостоятельная работа с последующим анализом и работой над ошибками.

3.Решение у доски во время опроса.

4. Решение за первой партой.

5.Разбор образцов решений заданий и их оформления.

6.Отработка алгоритмов (правил) вычислений.

7. Рассмотрение примеров на использование рациональных способов решения.

При этом учитывается, что:

на каждом уроке надо работать не с классом вообще, а конкретно с каждым учеником. Для этого учитель должен выбрать формы работы и материал так, чтобы каждый ученик был занят делом, и его работу всегда можно проконтролировать. Например, каждому ученику, работающему за первой партой, выдается карточка с таким заданием, чтобы он мог ликвидировать свои пробелы в знаниях. А при подготовке к уроку в планах указывается, кого и по какому вопросу нужно спросить.
При изучении нового материала желательно обращать внимание учащихся на тот материал, где наиболее часто допускаются ошибки;
полезно новый материал изучать в сравнении с ранее изученным, уже знакомым материалом;
при объяснении нового материала необходимо, чтобы ученики сами составляли алгоритмы выполнения того или иного действия, затем сверяли с учебником и выбирали оптимальный для себя вариант. Такая работа приучает учащихся к четкости, конкретности. В дальнейшем они могут без суеты и волнений выполнить любое задание;
необходимо воспитывать осознанное отношение к выполнению любого задания, чтобы ученик вдумался в смысл задания, установил закономерности, связывающие величины, наметил пути решения проблемы и только после
этого приступал к выполнению задания. Необходимо учить школьников при выполнении работы пользоваться методом «пристального взгляда» (вначале визуально оценивать все задание, методы, способы решения, и лишь после этого приступать к его решению);
очень важно научить школьников самоконтролю, т. е. умению контролировать решение, действия, а в результате и свои поступки, применяя при этом следующие критерии самооценки:

а) соотношение результата с действительностью;

б) соотношение результата с данными по условиям задания;

в) проведение выкладок в обратном порядке;

г) решение различными способами;

д) исследование результата в предельных ситуациях; Итак, приемы устных вычислений помогают глубже усвоить теорию курса математики. Они основаны на законах и свойствах сложения, умножения, свойствах дробей, формулах сокращенного умножения, т.е. на теоретическом материале школьной программы. только при выполнении самостоятельной работы наиболее прочно усваивается изучаемый материал. Поэтому учащиеся привлекаются не только к выполнению готовых заданий, но и к составлению заданий (особенно заданий на рациональный счет). Задания, составленные учащимися, систематизируются (см. карточки с примерами на рациональный счет);

для более глубокого понимания материала удобна, порой, не запись самого примера, а его схема. Например:

(...-...) = (...)-2 (...)(...) + (...);

- для формирования устойчивого внимания желательно подбирать соответствующие упражнения психологический тренинг) или задания следующего характера:

а) найдите в решении ошибку;

б) выбери правильный ответ;

в) оцените правильность данной формулировки и т. д.

Текущий контроль, проводимый на этом этапе учителем, может заключаться в фиксировании:

а) количества верно выполненных примеров за 1 минуту, 2 минуты и т. д. каждым учеником (результаты вносятся в сводную ведомость класса);

б) времени, необходимого для безошибочного решения определенного количества примеров;

в) ошибок, допускаемых каждым учеником.

Важной частью работы на данном этапе является коррекционная работа над ошибками. Мы ее проводим в следующих формах:

после проведения контрольного мероприятия учитель указывает на технические ошибки в работах учащихся, а каждый ученик ищет их в своей тетради. Затем учитель вместе с учениками анализирует методы решения и приводит образцы решения , рассматривает вариантность решения в зависимости от изменения условия, отвечает на вопросы учащихся. Через определенное время учащиеся вновь выполняют примеры, в которых были допущены ошибки;
после раздачи тетрадей с проверенной работой учащимся дается время (оно зависит от сложности материала и количества допущенных ошибок) на то, чтобы они разобрали ошибки друг с другом или в своей группе, или
проконсультировались с учителем. Эта работа проводится при необходимости на уроке, иногда - дома самостоятельно. После этого вновь проводится самостоятельная работа.

При такой форме работы ни один ученик не остается вне поля зрения учителя.

Этап итогового контроля

Итоговый контроль проводится или в форме контрольной работы, или в форме устно-письменного зачета. К уроку-зачету учитель готовит систему карточек-заданий по теме. На зачете учащиеся отвечают теорию, решают задания, содержащиеся в карточке, иногда еще показывают тетради с выполненными примерами на вычисления и составленными примерами. Итоговые оценки выставляются в журнал.

Рассмотренные выше формы и методы работы по совершенствованию вычислительной культуры учащихся применимы не только при выработке вычислительных навыков, но и при изучении и контроле за формированием многих общеучебных навыков по разным предметам.

Готовясь к уроку, учитель должен отобрать материал, расположить его в систему, продумывая переход от одного упражнения к другому в соответствии с целью обучения.

При обдумывании системы заданий и форм организации устного счета не исключается учет индивидуальной подготовки учащихся, склонностей и способностей к устным вычислениям.

Особенно большое значение имеют устные упражнения для формирования сознательного усвоения законов и свойств арифметических действий.

На простых, но разнообразных примерах учащиеся должны отработать навыки в использовании свойств и законов арифметических действий.

Быстрое и безошибочное выполнение действий с натуральными числами является необходимым условием для формирования умений и навыков вычислений с десятичными дробями.

Поэтому в рассматриваемой теме следует использовать возможности учебника, где в каждом пункте учебника предусмотрены разнообразные виды вычислительных упражнений. Кроме того, в книге для учителя к каждому уроку предлагается набор устных упражнений, содержащих материал для тренировки в устном счете и закрепления приемов устного счета, а также упражнения, используемые для дополнительных занятий с учащимися, у которых обнаруживаются пробелы в знаниях или умениях. В 5 – 6 классах на устные упражнения должно быть отведено на каждом уроке 5 – 7 минут. На уроке эти упражнения можно проводить для отработки навыков использования таблицы умножения, повторения ранее изученного материала, увеличения скорости вычисления, закрепления нового материала или для подготовки учащихся к его восприятию. Чтобы заинтересовать учащихся, устное решение упражнения желательно проводить с помощью таблиц или карточек с учетом индивидуальных особенностей школьников. Повышает уровень вычислительных навыков проведение диктантов.

Литература.

Я. Ф. Чекмарев Методика устных вычислений».
В. М. Агафонов «Устные контрольные работы по математике».
П. Б. Ройтман «Повышение вычислительной культуры учащихся».
Журнал «Математика в школе» «О формировании навыков вычисления в уме».
Журнал «Математика в школе» «Устные вычисления в 4 классе».
Журнал «Математика в школе» «Некоторые формы организации устного счета».
Журнал «Математика в школе» « Некоторые способы быстрых вычислений»
Я. И. Груденов «Совершенствование методики работы учителя математики».

Практическая часть.

Хорошо развитые у учащихся навыки устного счета – одно из условий их успешного обучения в старших классах. Учителю математики надо обращать внимание на устный счет с того самого момента, когда учащиеся переходят к нему из начальной школы. Именно в 5 – 6 классах закладываются основы обучения математики наших воспитанников. Если не научатся считать в этот период – будут испытывать трудности в работе и учителя и воспитанники.

Устный счет рекомендуется проводить с легкого, а затем постепенно брать вычисления все более трудные.

Следует разделять два вида устного счета:

это такой счет, когда учитель не только называет числа, но и демонстрирует их каким – либо образом. Подкрепляя слуховые восприятия учащихся, зрительный ряд фактически делает ненужным удерживание данных чисел в уме, чем существенно облегчает процесс вычислений.
Это запоминание чисел над которыми производят действия, - важный момент устного счета. Тот, кто не может удержать числа в памяти, в практической работе оказывается плохим вычислителем. При выполнении этого вида устного счета учащиеся ничего не записывают и никакими наглядными пособиями не пользуются. Этот вид счета сложнее первого, но он эффективнее в методическом смысле.

Я стараюсь сделать так, чтобы устный счет воспринимался учащимися как игра, тогда они сами внимательно следят за ответами друг друга, и результат получается выше.

Приведу некоторые формы устного счета, применяемые в 5 – 6 классах, которые делают его интересным и занимательным.

Беглый счет.

Учитель показывает карточку с заданием и тут же громко прочитывает его. Учащиеся устно выполняют действия и сообщают свои ответы. Карточки быстро сменяют друг друга, но последние задания предлагаются уже без карточек.

Например:

Две карточки могут демонстрироваться одновременно.

Выполнив действия, ребята должны сообщить, на какой карточке ответ больше. Такие упражнения выполняются быстро с помощью прикидки.

Равный счет.

Учитель записывает на доске упражнения с ответом. Ученики должны придумать свои примеры с тем же ответом. Ребята должны на слух воспринимать названия числа и определять, верно ли составлен пример.

Счет – дополнение.

Учитель записывает на доске какое – то число, допустим 1,5. Затем медленно называет число, которое меньше, чем 1,5.Ученики в ответ должны назвать другое число, дополняющее данное до 1,5. Те числа, которые называет учитель, и те, которые дают ученики, не записываются. Этим обеспечивается большая тренировка в запоминании чисел.

Торопись, да не ошибись.

Это игра – фактический математический диктант. Учитель медленно прочитывает задания, а учащиеся пишут на листочках ответы.

Эстафета.

На доске заранее записаны примеры в два столбика. Ученики делятся на две команды. Первые участники игры от каждой команды одновременно подходят к доске, решают первое задание из своего столбика, затем возвращаются на место, отдав мел второму члену команды. Выигрывает та команда, которая быстрее и без ошибок выполнит задания.

Не зевай.

Ученики каждого ряда получают по карточке. У первого ученика в ряду задание записано полностью, а у всех остальных вместо первого числа стоит многоточие. Что скрывается за многоточием, ученик узнает только тогда, когда его товарищ, сидящий впереди, сообщит ему ответ в своем задании. Этот ответ и будет недостающим числом. В такой игре все должны быть предельно внимательны.

Кто первым скажет 100.

Двое поочередно говорят произвольные числа меньшие десяти, складывая их и называя сумму. Выигрывает тот, кто первым скажет 100. Например, первый говорит "7", второй скажет "9", при сложении их получится "16", затем первый говорит, например, "5", получится "21", второй говорит "29" и т.д. Победителем станет тот, кто первым скажет 100.

Лесенка.

На каждой ступеньке записано задание в одно действие. Команда учащихся из 5 человек (столько ступенек у лесенки) поднимается по ней. Каждый член команды выполняет действие на своей ступеньке.

Если ошибка – упал с лесенки. Вместе с неудачами может выбыть вся команда. Можно играть и по-другому: неудачник заменяется другим игроком. В это время другая команда продолжает подъем. Выигрывают те ребята, которые быстрее доберутся до верхней ступеньки. По лесенке можно подниматься с двух сторон, играя вдвоем. Побеждает тот, кто правильные ответы.

Ребята с увлечением выполняют устный счет, когда наградой служит право определенным способом дополнить рисунок. Например зажечь печку, т.е. нарисовать дым из трубы.

Когда я провожу устный счет, диктуя пример или задачу, у учащихся развивается только слуховая память.

Чтобы разнообразить формы занятий по устному счету и развить зрительную память.

Я время от времени записываю задания на доске. Но на это нужно время. Помощь оказывают плакаты, таблицы , экран. Немым жестом или кратким словесным указанием я указываю что делать, ученики выполняют команду, такая работа имеет важное значение для воспитания у учащихся внимания.

Кроме этого я часто даю карточки для устного счета.

Помощь в устном счете пособие "Угадай – ка"