![Множества и операции над ними. Исследовательская работа](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_0.jpg)
Множества и операции над ними.
Исследовательская работа
![Введение. Знания – это всё то, без чего нельзя жить в нашем мире. Без знаний человек не может чувствовать себя полезным членом современного общества и принимать правильные решения в повседневной жизни. Именно математика, как никакой другой учебный предмет, развивает человеческие качества. Об этом говорили многие известные ученые прошлого. Математика – это оружие для размышления. Р. Фейнман У человека , знающего математику , на один орган чувств больше. Ч. Дарвин Математику уже затем стоит изучать , что она ум в порядок приводит. М.В. Ломоносов](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_1.jpg)
Введение.
Знания – это всё то, без чего нельзя жить в
нашем мире. Без знаний человек не может чувствовать себя полезным членом современного общества и принимать правильные решения в повседневной жизни. Именно математика, как никакой другой учебный предмет, развивает человеческие качества. Об этом говорили многие известные ученые прошлого.
Математика – это оружие для размышления.
Р. Фейнман
У человека , знающего математику , на один орган чувств больше. Ч. Дарвин
Математику уже затем стоит изучать , что она ум в порядок приводит. М.В. Ломоносов
![Моя работа представленная Вашему вниманию, рассматривает вопросы, связанные с самой интересной в мире теорией множества. Актуальность моей работы очевидна. Многие из нас даже не задумываются над тем, что множество имеет большое значение в нашей жизни. Любая область человеческой деятельности связана не только с одним предметом, объектом, а с целой совокупностью. Например: медицина изучает не одну отдельно взятую болезнь, а все болезни; зоология изучает не отдельно взятое животное, а совокупность всех животных. Математика, как и другая область человеческих знаний, изучает те или иные объекты не каждый в отдельности, а в их связи между собой.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_2.jpg)
Моя работа представленная Вашему вниманию, рассматривает вопросы, связанные с самой интересной в мире теорией множества.
Актуальность моей работы очевидна.
Многие из нас даже не задумываются над тем, что множество имеет большое значение в нашей жизни. Любая область человеческой деятельности связана не только с одним предметом, объектом, а с целой совокупностью.
Например: медицина изучает не одну отдельно взятую болезнь, а все болезни; зоология изучает не отдельно взятое животное, а совокупность всех животных. Математика, как и другая область человеческих знаний, изучает те или иные объекты не каждый в отдельности, а в их связи между собой.
![Цель моей работы: Применить принципы теории множеств для расширения собственного мировоззрения. Задачи: 1. Изучить понятие множества и способы операций над множествами. 2. Исследовать связи над операциями над множествами и обычными операциями с числами 3. Научится решать и составлять задачи на тему «Множества».](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_3.jpg)
Цель моей работы:
Применить принципы теории множеств для расширения собственного мировоззрения.
Задачи:
1. Изучить понятие множества и способы операций над множествами.
2. Исследовать связи над операциями над множествами и обычными операциями с числами
3. Научится решать и составлять задачи на тему «Множества».
![Объекты исследования: 1. Множества и круги Эйлера. 2. Задачи на тему «Множества». Методы исследования: 1. Изучение литературы и работа с Интернетом. 2. Сравнительный анализ. (связи над операциями над множествами и обычными операциями с числами). 3. Практическое исследование. (Решение задач).](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_4.jpg)
Объекты исследования:
1. Множества и круги Эйлера.
2. Задачи на тему «Множества».
Методы исследования:
1. Изучение литературы и работа с Интернетом.
2. Сравнительный анализ.
(связи над операциями над множествами и обычными операциями с числами).
3. Практическое исследование.
(Решение задач).
![Гипотеза: Теория множеств– это своего рода основа математического языка, без него невозможно заниматься математикой. Любая область человеческой деятельности связана не только с одним предметом, объектом, а с целой совокупностью объектов. Практическая значимость: Представленный в работе материал может использоваться на занятиях математического кружка в 5–6-х классах.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_5.jpg)
Гипотеза:
Теория множеств– это своего рода основа математического языка, без него невозможно заниматься математикой. Любая область человеческой деятельности связана не только с одним предметом, объектом, а с целой совокупностью объектов.
Практическая значимость:
Представленный в работе материал может использоваться на занятиях математического кружка в 5–6-х классах.
![Что такое множество? По словам Георга Кантора, «множество – есть многое, мыслимое нами как единое целое». Множеством может именоваться некоторая совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку. Слово «множество» указывает, что должно быть много элементов. Хотя это не так. Элементов может быть 2, например множество спутников Марса; 1, например естественных спутников Земли и даже нисколько, так называемое пустое множество.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_6.jpg)
Что такое множество?
По словам Георга Кантора, «множество – есть многое, мыслимое нами как единое целое».
Множеством может именоваться некоторая совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку. Слово «множество» указывает, что должно быть много элементов. Хотя это не так. Элементов может быть 2, например множество спутников Марса; 1, например
естественных спутников Земли
и даже нисколько, так называемое
пустое множество.
![Пустое множество. Пустое множество – это множество, которое не содержит элементов. Обозначается: Ø Например: множество квадратных колёс или прямых кривых. В пустом множестве количество элементов выражается числом 0, следовательно, оно конечное. При помощи пустого множества можно создать ещё очень много различных множеств, не смотря на то, что это множество «пустое».](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_7.jpg)
Пустое множество.
Пустое множество – это множество, которое не содержит элементов.
Обозначается: Ø
Например: множество квадратных колёс или прямых кривых. В пустом множестве количество элементов выражается числом 0, следовательно, оно конечное.
При помощи пустого множества можно создать ещё очень много различных множеств, не смотря на то, что это множество «пустое».
![Наглядное изображение множеств с помощью кругов Эйлера Элемент х принадлежит множеству А: х А А х Элемент х не принадлежит множеству А: а А А х](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_8.jpg)
Наглядное изображение множеств с помощью кругов Эйлера
Элемент х принадлежит множеству А: х А
А
х
Элемент х не принадлежит множеству А: а А
А
х
![Конечные и бесконечные множества: Множество, количество элементов которого, выражается некоторым числом, называется конечным . Примеры: множество страниц в книге, множество камней на морском берегу. Но если множество не является конечным, то есть, у него нет точного количества элементов, это множество называется бесконечным . Например: множество натуральных чисел N . В бесконечных множествах элементы соединяют в группы по характеристическим свойствам. { х │ 2 х 7 } Множество всех х таких, что 2 < х < 7](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_9.jpg)
Конечные и бесконечные множества:
Множество, количество элементов которого, выражается некоторым числом, называется конечным .
Примеры: множество страниц в книге, множество камней на морском берегу.
Но если множество не является конечным, то есть, у него нет точного количества элементов, это множество называется бесконечным .
Например: множество натуральных чисел N .
В бесконечных множествах элементы соединяют в группы по характеристическим свойствам.
{ х │ 2 х 7 }
Множество всех х таких, что 2
![Объединение множеств Объединением двух множеств называется множество, составленное из элементов этих двух множеств. Обозначается: U A U B ={х|х Є A или х Є B } А В](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_10.jpg)
Объединение множеств
Объединением двух множеств называется множество, составленное из элементов этих двух множеств.
Обозначается: U
A U B ={х|х Є A или х Є B }
А
В
![Моя задача. В фотоальбоме много фотографий. На 21 фотографии моя сестра. На 30 – я. На 14 – мы с сестрой фотографировались вместе. А на 6 фотографиях нет ни одного человека, там изображена природа. Сколько фотографий в фотоальбоме? Решение: Пусть A – множество фотографий с моей сестрой. По условию A = { 21 } . Пусть B – множество фотографий со мной. Количество элементов B = { 30 } . Пусть C – множество фотографий меня и сестры. По условию C = { 14 } . Пусть D – множество фотографий с природой. По условию D = { 6 } . Пусть K – множество всех фотографий. A + B-C+D= 21+30-14+6= K K = { 48 } . Ответ:48 фотографий в фотоальбоме.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_11.jpg)
Моя задача.
В фотоальбоме много фотографий. На 21 фотографии моя сестра. На 30 – я. На 14 – мы с сестрой фотографировались вместе. А на 6 фотографиях нет ни одного человека, там изображена природа. Сколько фотографий в фотоальбоме?
Решение:
Пусть A – множество фотографий с моей сестрой. По условию A = { 21 } .
Пусть B – множество фотографий со мной. Количество элементов B = { 30 } .
Пусть C – множество фотографий меня и сестры. По условию C = { 14 } .
Пусть D – множество фотографий с природой. По условию D = { 6 } .
Пусть K – множество всех фотографий.
A + B-C+D= 21+30-14+6= K K = { 48 } .
Ответ:48 фотографий в фотоальбоме.
![Пересечение множеств. Пересечение множеств – это пересечение нескольких одинаковых элементов двух множеств. Обозначается: A B ={х| x Є A и x Є B } А В](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_12.jpg)
Пересечение множеств.
Пересечение множеств – это пересечение нескольких одинаковых элементов двух множеств.
Обозначается:
A B ={х| x Є A и x Є B }
А
В
![Моя задача. На полках стояло 20 дисков, причём на каждом есть запись. Известно, что 14 дисков с мультиками, а 16 с фильмами. На каком диске записаны и мультики, и фильмы? Решение: Пусть А – это множество дисков с записью мультиков. Количество элементов в нём, по условию: A = { 14 } Пусть B – множество дисков с фильмами. Количество элементов в нём: B={ 16 } Пусть x – количество дисков с мультиками и фильмами. A + B -х=14+16-х=20 х= { 10 } Ответ: на 10-ти дисках записаны и мультики, и фильмы.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_13.jpg)
Моя задача.
На полках стояло 20 дисков, причём на каждом есть запись. Известно, что 14 дисков с мультиками, а 16 с фильмами. На каком диске записаны и мультики, и фильмы?
Решение:
Пусть А – это множество дисков с записью мультиков. Количество элементов в нём, по условию: A = { 14 }
Пусть B – множество дисков с фильмами.
Количество элементов в нём: B={ 16 }
Пусть x – количество дисков с мультиками
и фильмами.
A + B -х=14+16-х=20 х= { 10 }
Ответ: на 10-ти дисках записаны
и мультики, и фильмы.
![Разность множеств В Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. А Дополнение множеств Если В подмножество А, то разность А \ В называется дополнением множества В до множества А. В А](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_14.jpg)
Разность множеств
В
Разностью множеств А и В
называется множество,
состоящее из тех и только тех
элементов множества А,
которые не принадлежат
множеству В.
А
Дополнение множеств
Если В подмножество А,
то разность А \ В называется
дополнением множества В
до множества А.
В
А
![Моя задача. На поляне летало четыре вида бабочек. Синие с большим жёлтым кругом на крыльях. Красные с большим жёлтым кругом на крыльях. Красные и синие бабочки. Известно, что красных бабочек с жёлтым кругом было в два раза меньше, чем синих бабочек. Синих бабочек было 8, а синих с большим жёлтым кругом 5. Всего бабочек было 21. Сколько было красных бабочек?](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_15.jpg)
Моя задача.
На поляне летало четыре
вида бабочек. Синие с большим жёлтым кругом на крыльях. Красные с большим жёлтым кругом на крыльях. Красные и синие бабочки. Известно, что красных бабочек с жёлтым кругом было в два раза меньше, чем синих бабочек. Синих бабочек было 8, а синих с большим жёлтым кругом 5.
Всего бабочек было 21.
Сколько было красных бабочек?
![Решение: Сначала узнаем количество красных бабочек с жёлтыми кругами. Известно, что синих бабочек в 2 раза больше, количество элементов в множестве синих бабочек = { 8 } 1)8:2=4(б.) Теперь мы можем узнать количество красных бабочек. Известно, что элементов в множестве синих бабочек с жёлтыми кругами = { 5 } , множество синих бабочек = { 8 } , ну а множество красных бабочек с кругами = { 4 } . Множество всех бабочек = { 21 } 2) 21-(5+8+4)=4(б.) Ответ: множество красных бабочек равно { 4 } .](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_16.jpg)
Решение:
Сначала узнаем количество красных бабочек с жёлтыми кругами. Известно, что синих бабочек в 2 раза больше, количество элементов в множестве синих бабочек = { 8 }
1)8:2=4(б.)
Теперь мы можем узнать количество красных бабочек. Известно, что элементов в множестве синих бабочек с жёлтыми кругами = { 5 } , множество синих бабочек = { 8 } , ну а множество красных бабочек с кругами = { 4 } . Множество всех бабочек = { 21 }
2) 21-(5+8+4)=4(б.)
Ответ: множество красных бабочек равно { 4 } .
![Мои исследования. Сохраняют ли силу законы для чисел и для множеств? Я использовала специальные диаграммы, иллюстрирующие действия над множествами. Условилась обозначать множество всего класса квадратом, в этом квадрате можно расставить ряд точек, по числу учеников(Рис.1) . Рис.1 18](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_17.jpg)
Мои исследования.
Сохраняют ли силу законы для чисел и для множеств? Я использовала специальные диаграммы, иллюстрирующие действия над множествами. Условилась обозначать множество всего класса квадратом, в этом квадрате можно расставить ряд точек, по числу учеников(Рис.1) .
Рис.1
18
![Фигура (рис.2,а) графически иллюстрирует множество A двоечников, а изображённое на рис.2, б – множество B учеников сидящих в первом ряду. Под суммой двух множеств A и B понимается фигура, получаемая соединением фигур, изображающих множества A и B (Рис.3). И т.д. Рис.2,а Рис.2,б Рис.3 19](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_18.jpg)
Фигура (рис.2,а) графически иллюстрирует множество A двоечников, а изображённое на
рис.2, б – множество B учеников сидящих в первом ряду. Под суммой двух множеств A и B понимается фигура, получаемая соединением фигур, изображающих множества A и B (Рис.3). И т.д.
Рис.2,а Рис.2,б Рис.3
19
![Коммутативность объединения AUB=BUA Коммутативность пересечения а +b=b + a A B=B A Ассоциативность объединения Коммутативность сложения a×b=b×a AU (В U С)=( AU В) U С Ассоциативность пересечения Дистрибутивность пересечения относительно объединения Коммутативность умножения а+( b + c ) = ( a + b ) +c А (В С)=(А В) С А (В U С)=(А В) U ( A C ) Ассоциативность сложения a× ( b×c ) = ( a×b ) ×c Ассоциативность умножения a× ( b + c ) =a×b + a×c Дистрибутивность умножения относительно сложения](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_19.jpg)
Коммутативность объединения
AUB=BUA
Коммутативность пересечения
а +b=b + a
A B=B A
Ассоциативность объединения
Коммутативность сложения
a×b=b×a
AU (В U С)=( AU В) U С
Ассоциативность пересечения
Дистрибутивность пересечения относительно объединения
Коммутативность умножения
а+( b + c ) = ( a + b ) +c
А (В С)=(А В) С
А (В U С)=(А В) U ( A C )
Ассоциативность сложения
a× ( b×c ) = ( a×b ) ×c
Ассоциативность умножения
a× ( b + c ) =a×b + a×c
Дистрибутивность умножения относительно сложения
![Выводы: Я изучила основное понятие множества и операции над множествами, выявила значимость теории множеств в различных сферах жизни. Исследовала удивительную связь над операциями над множествами и обычными операциями с числами. Применила принципы теории множеств для расширения собственного мировоззрения в практической деятельности: при решении и составлении задач. В дальнейшем, я ставлю своей целью изучить раздел теории множеств: элементы математической логики, для расширения своего мировоззрения и применения в своей учебной деятельности, так как планирую в будущем поступить в институт экономики и финансов.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_20.jpg)
Выводы:
- Я изучила основное понятие множества и операции над множествами, выявила значимость теории множеств в различных сферах жизни.
- Исследовала удивительную связь над операциями над множествами и обычными операциями с числами.
- Применила принципы теории множеств для расширения собственного мировоззрения в практической деятельности: при решении и составлении задач.
- В дальнейшем, я ставлю своей целью изучить раздел теории множеств: элементы математической логики, для расширения своего мировоззрения и применения в своей учебной деятельности, так как планирую в будущем поступить в институт экономики и финансов.
![Выводы: Теория множеств– это своего рода основа математического языка, без него невозможно заниматься математикой. Любая область человеческой деятельности связана не только с одним предметом, объектом, а с целой совокупностью объектов.](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_21.jpg)
Выводы:
Теория множеств– это своего рода основа математического языка, без него невозможно заниматься математикой. Любая область человеческой деятельности связана не только с одним предметом, объектом, а с целой совокупностью объектов.
![](http://fsd.compedu.ru/html/2018/05/29/i_5b0cfa14afec6/img_phpelhtWf_mnozhestva_i_operacii_nad_nimi_es_filina_sosh_14_22.jpg)