Тема «Повторение».
Урок: «Вычисление производных».
11 класс.
Цели:
Обучающая: повторение основных формул и правил дифференцирования, геометрический и физический смысл производной; применение производной к исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции; история открытия производной; основные направления применения производной в разных областях науки и техники. Закрепление универсальных учебных действий и метапредметных умений по теме «Производная» в системе тестов, дифференцированных по степени сложности.
Развивающая: развитие умений применять знания в конкретной ситуации; развитие логического мышления, монологической речи, навыка работы в группе, умения работать в проблемной ситуации; развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.
Воспитательная: формирование у учащихся ответственного отношения к учению; умения работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения; формирование качеств характера, как настойчивость в достижении цели; развитие устойчивого интереса к математике; создание положительной внутренней мотивации к изучению математики.
Задачи:
Закрепить умение применять производную для решения различных задач.
Научить защищать выполненную работу.
Научить работать в группе.
Оборудование: мультимедийный проектор, ПК, экран, раздаточный дифференцированный материал, карточки для рефлексии настроения и результативности.
Этапы урока:
Организационный момент (целеполагание и мотивация).
II. Актуализация опорных знаний.
III. Этап всесторонней проверки знаний. Защита выполненных работ.
IV. Подведение итогов урока (Рефлексия результативности, настроения).
Ход урока:
I. Организационный момент.
Приветствие.
Обсуждение темы урока. Ребята, отгадайте ключевое слово урока:
1) С её появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;
2) Ньютон назвал её «флюксией» и обозначал точкой;
3) Бывает первой, второй;
4) Обозначается штрихом.
Итак, сегодня на уроке мы поговорим о производной. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, биологии, географии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.
Сообщение цели урока.
Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? (Дети формулируют цель.)
Цель нашего урока: повторить основные формулы и правила дифференцирования, основные направления применения производной в разных областях науки и техники. Рассмотрим на примерах решения задач, как применяется производная в математике, химии, физике, биологии, географии, экономике.
Вводное слово учителя.
Краткий доклад ученика о жизнедеятельности Готфрида Вильгельма Лейбница(1646-1716 гг.).
Краткий доклад ученика о жизнедеятельности Исаака Ньютона (1643-1727).
II. Актуализация опорных знаний.
Работа с классом.
Прежде чем приступить к повторению основных направлений применения производной, проверим нашу готовность к вычислению производных.
Ответим на следующие вопросы:
- Сформулируйте понятие производной функции? Ответ: Производной функции y = f(x) в данной точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
- Обозначение производной.
- Как называется математическая операция нахождения производной функции? Ответ: Операция нахождения производной называется дифференцированием.
- В чем заключается геометрический смысл производной функции? Ответ: Открыл геометрический смысл производной в 17-м в. Г. Ф. Лейбниц.
- Какой знак имеет производная на интервале, если функция возрастает? Ответ: Если функция возрастает, то f ′(x)0 на этом интервале.
- Какой знак имеет производная на интервале, если функция убывает? Ответ: если функция убывает, то f ′(x) на этом интервале.
- В чем состоит физический (механический) смысл производной функции? Ответ: Если тело движется по прямой согласно закону s(t), то формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t: v (t)= s‘(t) и а(t) = v’(t). Открыл механический смысл производной И. Ньютон.
- Чтобы эффективно использовать производную при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу производных элементарных функций и правила дифференцирования. Убедимся в том, что вы эту таблицу знаете.
Учитель просит сформулировать правила нахождения производной. Учащиеся называют основные правила нахождения производных. Должны прозвучать ответы:
1. Производная суммы (u+v)'= u' + v';
2. О постоянном множителе (Cu)'=Cu';
3. Производная произведения (uv)'=u'v+uv';
4. Производная дроби (u/v)'=(u'v-uv')/v2;
5. Производная сложной функции
Учитель просит вспомнить таблицу производных элементарных функций. Должны быть записаны следующие формулы: c′ = 0, x′ = 1 и т.д.
- Переходим к следующему этапу урока, который покажет, как вы владеете этим эффективным и универсальным инструментом - производной. Решение заданий на вычисление производной.
Тест по теме «Производная функции». Найдите производную функции. Тест написан, лист с ответами сдан.
Однако, формальное знание таблицы производных - это только инструмент, с помощью которого можно решать задачи, как по математике, так и по физике, химии, географии, биологии, экономике и другим наукам. Рассмотрим на примерах решения задач, как применяется производная в математике и физике. Давайте вспомним основные направления применения производной.
III. Этап всесторонней проверки знаний. Самостоятельная работа в группах.
- Сегодня на нашем уроке работают 4 творческие группы, у каждой из них есть своя тема: 1-я группа исследует геометрический смысл производной; 2-я группа - уравнение касательной к графику функции; 3-я группа - применение производной к исследованию функции; 4-я группа исследует физический смысл производной. Защита выполненных презентаций.
А теперь наши исследователи работают над решением новых задач по своим (проблемам, направлениям) темам. (Карточки-задания на столах).
Слово предоставляем исследователям. (Все группы выступают по своим темам).
Задание 1-й группе.
1) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = - x2+ 4x в точке х0=1.
Решение: f ′(х) = - 2х + 4; k = f ′(1) = - 2∙1 + 4 = 2. Ответ: 2.
2) Найдите tg α, угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2x2 + 8x – 3 в точке х0= -3
Решение: f ′(х) = 4х + 8; tg α = f ′(-3) = 4∙(-3) + 8 = - 4. Ответ: - 4.
Задание 2-й группе.
1) Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 2х в точке М (3;3). Ответ: у = 4х - 9.
2) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 - 4x + 7 в точке графика с абсциссой х0= 1. Ответ: y = - 2x + 6.
Задание 3-й группе.
Найдите точки экстремума функции f(x) = x3 - 6x2. Ответ: -2; 0; 2.
Докажите, что функция f(x) = 5x - 12 является возрастающей на всей области определения.
Решение: f ′(x) = 5; f ′(x) 0. Функция возрастает на всей числовой прямой.
Докажите, что функция f(x) = - 7x + 11 является убывающей на всей области определения.
Решение: f ′(x) = -7; f ′(x) Ответ: функция убывает.
Что вы можете сказать о производной функции, которую описывает поговорка «Чем дальше в лес, тем больше дров». Ответ: производная положительна, т.к. эта функция - монотонно возрастающая.
Задание 4-й группе.
1) Задача. Движение автомобиля во время торможения описывается формулой s(t) = 30t - 5t2 (s - тормозной путь в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начало торможения до полной остановки автомобиля). Найдите, сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его полной остановки. Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки? Ответ: время торможения 3с, тормозной путь 45м.
2) Задача. Координата тела меняется по закону х(t) = 5 - 3t2 + 2t3 (м). Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени t = 2с? Ответ: v= 12 м/с; а = 18м/с2.
Итог урока (рефлексия результативности, настроения)
Подведение итогов занятия. Объявление оценок. Задание на дом.
IV. Рефлексия.
- Каким вопросам был посвящен урок?
- Чему научились на уроке?
- Какие теоретические факты обобщались на уроке?
Сегодня на уроке получили следующие оценки: (называю учащихся и оценки). Задание на дом.
И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора. На экране представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер.
- Имеют ли они отношение к теме нашего урока?
- Можно ли по этим графикам судить о скорости приращения наших знаний в ходе урока? - Если - да, то как?
Перед вами карточки. Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, разобрались в методах применения производной к решению различных задач, то выбираете карточку № 1. Если осталось что-то неясно, однако, вы научились вычислять производную, то выбираете карточку № 3. Если вам урок не понравился и вы для себя ничего нового не узнали, то выбираете карточку № 2.
- Какой же график выбран вами? Если вы выбрали график 1 - это означает, что мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока. Я же довольна сегодняшним уроком, потому что организовала вашу работу так, что вы самостоятельно добыли знания, научились решать практические задания.
Рефлексия настроения.
- Ребята, поскольку мы достигли цели нашего урока, то настроение у меня вот такое: (показываю карточку № 1).
- А какое настроение у вас?
- Итак, вы повторили теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении практических задач. Мне приятно было с вами работать, и надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, вы сможете успешно применить не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшей своей жизни. Спасибо за урок!
Литература:
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И., 2007.
Дидактические материалы по алгебре, 10-11 класс, Зив Б.Г., Гольдич В.А., 2013.
