Внеурочная деятельность "Праздник параметра"

Задачи с параметром в заданиях Единого Государственного Экзамена

• Найдите все значения параметра p , при которых уравнение

(2 p +3) x ² + ( p +3) x + 1 = 0 имеет хотя бы один корень и число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения

——— = ——— —

2 x + 1 1

21- p √ x -3 + 3

I. Рассмотрим первое уравнение.

• 1. Если 2 p + 3 = 0 ↔ p = -—
• 2.

если D = p ² + 6 p + 9 – 8 p – 12 ≡ p ²- 2 p – - 3 ≥ 0 ( p + 1)( p -3)≥ 0

Неотрицателен при p є (-∞;-1,5) U

U (-1,5;-1] U [3;+∞).

3

2

3

2

При 2 p + 3 ≠ 0 ↔ p ≠-—

II. Теперь рассмотрим второе уравнение.

——— = ——— —

2 x + 1 1

21- p √ x -3 + 3

y

y = ——— —

1

√ x – 3 + 3

1

3

—

1

2

-—

0

3

х

Рис. 1

• Первый способ.

Построим эскизы функций

y 1 =

y 2 =

———

2 x + 1

21 - p

21 – p 0 ↔ p

——— —

1

√ x – 3 + 3

существует при

x ≥ 3

Решение существует, и притом единственное

y 1 (3) ≤ y 2 (3) ↔ ≤ — ↔ p ≤ 0

Следовательно, одинаковое число решений-

при p = -1; p = -—

——— —

2 ∙ 3 + 1 1

21 – p 3

одно

3

2

При этих значениях параметра p

оба уравнения имеют по

одному решению.

• Второй способ.

Пусть √х – 3 = t ↔ x = t 2 + 3 ,

t ≥ 0. Тогда второе уравнение

примет вид

• Построим эскизы графиков левой и правой частей

——— = ——

2 t 2 + 7 1

21 – p t + 3

y

———

——— + ——

y 1 =

2 t 2 7

21 – p 21 – p

2 t 2 + 7

21 - p

——

y =

——

1

3

—

1

t + 3

y =

1

t + 3

y 2 =

0

3

-3

t

Рис. 2

0, то ветви параболы направлены вверх и вершина расположена выше оси Ox . Пересечение при t ≥ 0 существует, и оно единственно, тогда и только тогда, когда y 1 (0) y 2 (0) ↔" width="640"

• Так как 21 – p 0, то ветви параболы направлены вверх и вершина расположена выше оси Ox . Пересечение при t ≥ 0 существует, и оно единственно, тогда и только тогда, когда y 1 (0) y 2 (0) ↔

↔ ≤ ↔ p ≤ 0

—— —

7 1

21 – p 3

0, t ≥ 0, то = = ↔ 2 t 3 + 7 t + 6 t 2 + 21 = 21 – p ↔ ↔ t (2 t 2 + 6 t + 7) = - p . Построим эскиз кубической параболы y = t (2 t 2 + 6 t + 7). Проверим функцию на монотонность : y ′ = 6 t 2 + 12 t + 7 0 при все х t . 2 t 2 + 7 21 – p ——— 1 t + 3" width="640"

———

• Третий способ.

Так как 21 – p 0, t ≥ 0, то =

= ↔ 2 t 3 + 7 t + 6 t 2 + 21 = 21 – p ↔

↔ t (2 t 2 + 6 t + 7) = - p .

• Построим эскиз кубической параболы y = t (2 t 2 + 6 t + 7).
• Проверим функцию на монотонность

: y ′ = 6 t 2 + 12 t + 7 0 при все х t .

2 t 2 + 7

21 – p

———

1

t + 3

• Видно, что пересечение кубической параболы с прямой y = - p при t ≥ 0 существует, и оно единственно, при любом – p ≥ 0 ↔ p ≤ 0.

y = t ( t 2 + 6t + 7)

y = - p

0

t

Рис. 3

«Различных решений второе уравнение не имеет, число корней первого и второго уравнения совпадает и равно 1 при p = -1,5 и p = -1»

• Советы по установлению добрых

отношений с параметрами.

• Не бойся “ незнакомца в маске ” .
• Всегда анализируй условие поставленной задачи.
• Различай параметр и неизвестную величину.
• Если установил, что в задаче играет роль параметра, постарайся через него выразить неизвестную величину.
• Обращайся с параметром деликатно, проверяй возможность совершения тех или иных действий.
• Старайся привлекать графики для получения решения.
• Привыкай к использованию координатной плоскости, в которой по оси абсцисс откладывается параметр, а по оси ординат- неизвестная переменная.
• Особое внимание уделяй представлению ответа, он может быть объемнее решения.
• Не избегай встреч с параметром, не пасуй перед трудностями!

Самое интересное может скрываться за трудно открываемыми дверями…