Урок по теме: "Площадь треугольника".

Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь. Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом. Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице. Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается.

Олимпиады: ЗОЖ 1 - 4 классы

Содержимое разработки

Площадь треугольника Полезные теоремы , следствия и задачи.

Площадь треугольника

Полезные теоремы , следствия и задачи.

Вспомним ответы на вопросы

Вспомним ответы на вопросы

  • Сформулируй понятие площади геометрической фигуры
  • Сформулируй основные свойства площадей геометрических фигур
  • Как можно вычислить площадь прямоугольника и параллелограмма?
Площадь геометрической фигуры

Площадь геометрической фигуры

  • Площадью геометрической фигуры называется величина , характеризующая размер данной фигуры
Основные свойства площадей геометрических фигур

Основные свойства площадей геометрических фигур

  • Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь .
  • Эта площадь – единственная .
  • Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом .
  • Площадь квадрата со стороной , равной единице , равна единице .
  • Площадь фигуры равна сумме площадей частей , на которые она разбивается .
Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон а в S = а · в

Площадь прямоугольника

  • Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон

а

в

S = а · в

Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту , опущенную на эту сторону h S  = а ·  h а

Площадь параллелограмма

  • Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту , опущенную на эту сторону

    h

    S = а · h

    а

    Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними С В а А Д в S = а · в ·  sin А

    Площадь параллелограмма

    • Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними

    С

    В

    а

    А

    Д

    в

    S = а · в · sin А

    Площадь треугольника Теорема Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту , опущенную на эту сторону В S= ½ AC ·  ВД А С Д

    Площадь треугольника

    • Теорема

    Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту , опущенную на эту сторону

    В

    S= ½ AC · ВД

    А

    С

    Д

    Доказательство теоремы Д В С А К S( АВС)= ½ S( АВДС)=1 / 2 АД · ВК

    Доказательство теоремы

    Д

    В

    С

    А

    К

    S( АВС)= ½ S( АВДС)=1 / 2 АД · ВК

    Следствия из теоремы

    Следствия из теоремы

    • Попробуй доказать самостоятельно следующие следствия из теоремы:
    Следствие 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов В А С S= ½ ВС · АС

    Следствие 1

    • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

    В

    А

    С

    S= ½ ВС · АС

    Следствие 2 Площадь тупоугольного треугольника равна произведению любой из его сторон на высоту , опущенную на эту сторону В А С Д

    Следствие 2

    • Площадь тупоугольного треугольника равна произведению любой из его сторон на высоту , опущенную на эту сторону

    В

    А

    С

    Д

    Следствие 3 Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними В А С S= ½ АВ · АС ·  sin А

    Следствие 3

    • Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними

    В

    А

    С

    S= ½ АВ · АС · sin А

    Следствие 4 Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: где а – сторона треугольника

    Следствие 4

    • Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

    где а – сторона треугольника

    Сначала реши легкие задачки 1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см, а высота, опущенная на это основание, равна 20 см. 2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см. 3. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 9 см и 12 см.

    Сначала реши легкие задачки

    1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см, а высота, опущенная на это основание, равна 20 см.

    2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см.

    3. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 9 см и 12 см.

    Поясняющие чертежи к этим легким задачкам 9 6 20 12 16 2 3 1

    Поясняющие чертежи к этим легким задачкам

    9

    6

    20

    12

    16

    2

    3

    1

    Теперь реши задачки потруднее 1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника. 2. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь треугольника, составленного из средних линий данного треугольника 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов равен 8 см. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника

    Теперь реши задачки потруднее

    1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника.

    2. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь треугольника, составленного из средних линий данного треугольника

    3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов равен 8 см. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника

    Теперь реши самые трудные задачи

    Теперь реши самые трудные задачи

    • 1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен . Найдите площадь треугольника.
    • 2. Высота равностороннего треугольника равна h. Вычислите его площадь.
    • 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
    Ответы к легким задачкам 1. 160 см 2 2. 9 см 2 3. 54 см 2

    Ответы к легким задачкам

    1. 160 см 2

    2. 9 см 2

    3. 54 см 2

    Ответы к более трудным задачкам 1 . 60 см 2 2 . 3. 24 см 2

    Ответы к более трудным задачкам

    1 . 60 см 2

    2 .

    3. 24 см 2

    Ответы к самым трудным задачкам Ответы к задачам: 1 . ½ a 2 sin2  2 . 3 .

    Ответы к самым трудным задачкам

    Ответы к задачам:

    1 . ½ a 2 sin2 

    2 .

    3 .

    Это интересно! Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач . Правильный подход к их решению был найден не сразу . Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием , называемый методом разбиения .

    Это интересно!

    Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач . Правильный подход к их решению был найден не сразу . Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием , называемый методом разбиения .

    Например , мы уже знаем , как можно вычислить площадь квадрата , прямоугольника и параллелограмма , а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника . Применим следующий алгоритм:

    Например , мы уже знаем , как можно вычислить площадь квадрата , прямоугольника и параллелограмма , а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника . Применим следующий алгоритм:

    Отметим на одной из сторон треугольника точку , которая является серединой этой стороны . Проведем через эту точку прямую , параллельную одной из сторон этого треугольника . Прямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию . Переставим меньший треугольник к трапеции так , чтобы получился параллелограмм .
    • Отметим на одной из сторон треугольника точку , которая является серединой этой стороны .
    • Проведем через эту точку прямую , параллельную одной из сторон этого треугольника .
    • Прямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию .
    • Переставим меньший треугольник к трапеции так , чтобы получился параллелограмм .
    Поясняющий чертеж

    Поясняющий чертеж

    Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами , а значит и равновеликими . Мы знаем , что равновеликие фигуры - это фигуры , имеющие равные площади . Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма .

    Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами , а значит и равновеликими . Мы знаем , что равновеликие фигуры - это фигуры , имеющие равные площади . Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма .

    Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту , а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма . Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту!

    Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту , а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма . Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту!

    И в заключение…

    И в заключение…

    • Надеюсь , что эта информация поможет тебе хорошо разобраться в этой теме , а значит получить на контрольной работе только «5»!
    • Благодарю за внимание !

    Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы



    Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки


    Комплекты учителю



    Качественные видеоуроки, тесты и практикумы для вашей удобной работы


    Подробнее

    Вебинары для учителей



    Бесплатное участие и возможность получить свидетельство об участии в вебинаре.


    Подробнее