Площадь треугольника
Полезные теоремы , следствия и задачи.
Вспомним ответы на вопросы
- Сформулируй понятие площади геометрической фигуры
- Сформулируй основные свойства площадей геометрических фигур
- Как можно вычислить площадь прямоугольника и параллелограмма?
Площадь геометрической фигуры
- Площадью геометрической фигуры называется величина , характеризующая размер данной фигуры
Основные свойства площадей геометрических фигур
- Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь .
- Эта площадь – единственная .
- Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом .
- Площадь квадрата со стороной , равной единице , равна единице .
- Площадь фигуры равна сумме площадей частей , на которые она разбивается .
Площадь прямоугольника
- Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон
а
в
S = а · в
Площадь параллелограмма
- Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту , опущенную на эту сторону
h
S = а · h
а
Площадь параллелограмма
- Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними
С
В
а
А
Д
в
S = а · в · sin А
Площадь треугольника
- Теорема
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту , опущенную на эту сторону
В
S= ½ AC · ВД
А
С
Д
Доказательство теоремы
Д
В
С
А
К
S( АВС)= ½ S( АВДС)=1 / 2 АД · ВК
Следствия из теоремы
- Попробуй доказать самостоятельно следующие следствия из теоремы:
Следствие 1
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
В
А
С
S= ½ ВС · АС
Следствие 2
- Площадь тупоугольного треугольника равна произведению любой из его сторон на высоту , опущенную на эту сторону
В
А
С
Д
Следствие 3
- Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними
В
А
С
S= ½ АВ · АС · sin А
Следствие 4
- Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
где а – сторона треугольника
Сначала реши легкие задачки
1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см, а высота, опущенная на это основание, равна 20 см.
2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см.
3. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 9 см и 12 см.
Поясняющие чертежи к этим легким задачкам
9
6
20
12
16
2
3
1
Теперь реши задачки потруднее
1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника.
2. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь треугольника, составленного из средних линий данного треугольника
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов равен 8 см. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника
Теперь реши самые трудные задачи
- 1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен . Найдите площадь треугольника.
- 2. Высота равностороннего треугольника равна h. Вычислите его площадь.
- 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
Ответы к легким задачкам
1. 160 см 2
2. 9 см 2
3. 54 см 2
Ответы к более трудным задачкам
1 . 60 см 2
2 .
3. 24 см 2
Ответы к самым трудным задачкам
Ответы к задачам:
1 . ½ a 2 sin2
2 .
3 .
Это интересно!
Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач . Правильный подход к их решению был найден не сразу . Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием , называемый методом разбиения .
Например , мы уже знаем , как можно вычислить площадь квадрата , прямоугольника и параллелограмма , а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника . Применим следующий алгоритм:
- Отметим на одной из сторон треугольника точку , которая является серединой этой стороны .
- Проведем через эту точку прямую , параллельную одной из сторон этого треугольника .
- Прямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию .
- Переставим меньший треугольник к трапеции так , чтобы получился параллелограмм .
Поясняющий чертеж
Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами , а значит и равновеликими . Мы знаем , что равновеликие фигуры - это фигуры , имеющие равные площади . Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма .
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту , а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма . Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту!
И в заключение…
- Надеюсь , что эта информация поможет тебе хорошо разобраться в этой теме , а значит получить на контрольной работе только «5»!
- Благодарю за внимание !
