Площадь сферы
Площадь сферы
- Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле
Площадь сферы
- Около сферы можно описать многогранник с достаточно большим числом граней, объем которого будет достаточно точно выражать объем шара (равного ), а площадь боковой поверхности многогранника — площадь сферы.
Площадь сферы
- На рис. показан куб, описанный около сферы. Рассмотрим одну грань описанного многоугольника.
Площадь сферы
- Пирамида, полученная соединением вершин этой грани многогранника с центром сферы, и часть шара, заключенного в этой пирамиде, являются элементами, участвующими в дальнейших рассуждениях и расчетах.
Площадь сферы
- С одной стороны, объем V этой пирамиды высотой R равен
- где S основ — площадь соответствующей грани многогранника. Объем всего многогранника равен сумме объемов таких пирамид с одинаковой высотой R.
Площадь сферы
- Сумма их объемов равна
- S бок — площадь боковой поверхности многогранника. С другой стороны, сумма объемов элементов шара равна объему всего шара, равного
Площадь сферы
- Площадь S бок приближенно равна площади сферы S, а объем многогранника приближенно равен объему шара. Таким образом,
- Эти равенства тем точнее, чем большее число граней многогранника.
Площадь сферы
- Из формулы на предыдущем слайде следует, что
- Так как в этой формуле не участвуют величины, связанные с многогранником, то формула точна, т. е.
