Урок по алгебре и началам анализа "Показательные уравнения"

МБОУ СОШ № 29

Открытый урок

по алгебре и началам анализа в 10 “А” классе

Тема: “Показательные уравнения”

Составила: учитель математики первой категории:

Галеева Марина Эрнестовна

р.п.Чунский

2018-2019 учебный год

Тема: Показательные уравнения

Цели урока:

1. Образовательные: Познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений;

2. Развивающие: Сформировать умения и навыки решения несложных простейших показательных уравнений. Продолжить развивать логическое мышление учащихся. Развивать навыки самостоятельной работы. Развивать навыки самоконтроля.

3. Воспитательные: Развивать познавательный интерес к предмету. Развивать творческие способности учащихся, осуществление определенной культуры общения.

Оборудование:  тесты, таблицы, доска.

Методы обучения:

- метод сотрудничества:

- практический;

- метод письменного контроля.

Тип урока: комбинированный.

Последовательность изложения:

1) Проверка усвоения учащимися пройденного материала через:

а) проверка домашнего задания . б) устные упражнения.

2) Изучение нового материала:

а) определение показательного уравнения; .

б) способы решения показательных уравнений (творческое домашнее задание.)

в) решение показательных уравнений.

3) Проверка знаний:

а) обучающий тест-контроль.

б) самопроверка .

4) Подведение итогов.

5) Домашнее задание.

На предыдущих уроках мы рассмотрели показательную функцию и ее свойства, а сегодня и на последующих уроках рассмотрим показательные уравнения и способы их решения. Форма работы на уроке – групповая. В оценочных листах отмечаем баллы за каждый этап урока .В конце урока подведем итог.

ХОД УРОКА

1. Проверка усвоения учащимися пройденного материала.

а) проверка домашнего задания.

б) устные упражнения. (работа по группам)

1) а) у = 2^х ; б) у = ( 0,2)^х ; в) у = ( х-2)³; г) у = х²; д.) у = П^х ; е) у = 3^-х .

Какие из функций являются показательными?

Дайте определение показательной функции.

Какие из них являются возрастающими? Убывающими? Почему?

Какой из графиков является графиком показательной функции у = П^х?

Какие свойства степеней использованы?

а) 3^х * 3² = 3^х+2; б) 2^х+3 = 2^х * 2³,

Как упростили выражения?

Какие свойства степеней применили?

А теперь применим их в обратном порядке (справа налево).

Как представить в виде степени?

9^х = (3²)^х = 3^2х = (3^х)².

Вынести общий множитель за скобки. (По готовой записи.)

а) 4^х + 4^х+2 = 4^х + 4^х * 4² = 4^х * (1 + 4²) = 4^х * 17;

б) 10^х-1 + 10^х = 10^х-1 * (1 + 10) = 10^х-1 * 11.

а) какой множитель выносят за скобки? (С наименьшим показателем степени.)

Что для этого сделали? (Представили в виде 4^х+2 = 4^х * 4².)

б) За скобки выносят общий множитель с наименьшим показателем степени. Чтобы найти многочлен, заключенный в скобки, надо каждый многочлен разделить на вынесенный множитель по правилу а^m: aⁿ = a^m-n.

 2. Изучение нового материала.

Мы повторили свойства степеней и показательной функции для лучшего усвоения и понимания новой темы “ Методы решения простейших показательных уравнений”.

а) определение показательного уравнения.

Определение: показательное уравнение- это уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

Простейшие показательные уравнения вида а^х = в, где  0, а  1.

1) при в 0 уравнение имеет единственный корень, т.к. прямая у = в, при в 0 имеет с графиком функции у = а^ходну единственную точку.

2) при в  0 уравнение корней не имеет т. к. при в  0 прямая у = в не пересекает график показательной функции.

3) для решения уравнение представляем в виде а^х = а^с.

б) методы решения показательных уравнений. (Каждая группа объясняет способ решения показательных уравнений).

1. Метод приведения степеней к одинаковому основанию.

2. Вынесение общего множителя за скобки.

3. Метод введения новой переменной.

“ Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть- и в последствии подтвердить это, - что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц

Сегодня мы рассмотрим три метода решения уравнений.

в) решение простейших показательных уравнений. (Работа на доске и в тетрадях)

I. Приведение к одинаковому основанию левой и правой части уравнения.

а) с объяснением у доски;

б) комментировано;

в) самостоятельно в тетрадях, один – у доски.

а) 2^х+6 = 8;

2^х+6 = 2³,

Основания степеней равны,  значит, равны и показатели степеней.

Х + 6 = 3,

Х = -3.

Ответ: - 3.

б) ()^2х = 125;

5^-2х= 5³,

- 2х = 3,

х = - 1,5.

Ответ: - 1,5.

в) 10^х-2 = - 10;

т.к. -10

Ответ: корней нет.

II. Вынесение общего множителя за скобки.

а) 4^х+1 ₊ 4^х = 320, вынесем за скобки степень с наименьшим показателем.

4^х * 4 + 4^х = 320,

4^х (4 + 1) = 320,

4^х * 5 = 320,

4^х = 320: 5,

4^х = 64,

4^х = 4³,

х = 3.

Ответ: 3.

б) 6^х+1 + 35 * 6^х-1 = 71,

6^х-1 (6² + 35) = 71,

6^х-1 * 71 = 71,

6^х-1 = 71: 71,

6^х-1 = 1,

6^х-1 = 6 ⁰,

х – 1 = 0,

х = 1.

Ответ: 1.

За скобки выносят член с наименьшим показателем степени. Чтобы найти многочлен, заключенный в скобки, надо каждый член многочлена, стоящего в левой части уравнения, разделить на вынесенный множитель, Деление осуществлять по правилу: а^m : aⁿ = a^m-n.

III. Введение новой переменной.

Вводится переменная у = а^х и рассматривается квадратное уравнение относительно новой переменной.

а) 7 ^{2х _} 6 * 7^х - 7 = 0,

пусть у = 7^х, тогда

у² -6у – 7 = 0,

Д = 36 + 28 = 64,

У₁ == 7;

У₂ == -1:

1) 7^х = 7; 2) 7^х = -1;

Х = 1 решений нет.

Ответ: 1.

б) 4^х – 5 * 2^х + 4 = 0, т. к. 4^х = ( 2²)^х = (2^х )², то

( 2^х)² – 5* 2^х + 4 = 0,

пусть у = 2^х, тогда

у² – 5у + 4 = 0,

Д = 25 – 16 = 9,

у₁ = =4; у₂ = =1;

1) 2^х = 4, 2) 2^х = 1;

2^х = 2², 2^х = 2⁰,

Х = 2 х = 0.

Ответ: 2; 0.

в) 2 * 3^х+1 + 2 * 3^2-х = 56.

г) 6∙4^x-13∙6^x+6∙9^x=0

3. Проверка знаний.

а) Обучающий тест-контроль (8 мин.), ответы собрать, потом проверка решения по готовому решению.

ВАРИАНТ 1 1) 3х = 27 а) 3; б) 9; в) 4; 2) 5х-2 = 25 а) 2; б) 4; в) 5; 3) 6х-1 = -6 а) -1; б) 5; в) корней нет; 4) 3х+2 + 3х = 90 а) 2; б) 44; в) 1; 5) 100х – 11 * 10х + 10 = 0 а) 10;1; б) 0 ;1; в) 1;

ВАРИАНТ 2 1) 2х = 32 а) 16; б) 5; в) 6. 2) 6х-3 = 36 а) 5; б) 2; в) 4. 3) 9х-1 =-9 а) -1; б) корней нет; в) 2. 4) 3х+1+ 3х =108 а) 2; б) 3,5; в) 3. 5) 4х + 2 * 2х- 80 = 0 а) 3; б) 3;5; в) 8;-10.

Ответы к тесту:

1 вариант

№ задания	1	2	3	4	5
№ ответа	а	б	в	а	б

 2 вариант

№ задания	1	2	3	4	5
№ ответа	б	а	б	в	а

б) самопроверка по готовому решению.

4. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

5. Домашнее задание

1. 3^x+2-3^x=72

2. 2^3x+3=4

3. 4^x-2^x+1=48

4. 2^x=3

5. 7^2x-6∙7^x+5=0

6. 3∙16^x+2∙81^x=5∙36^x

6. Рефлексия.