Тема занятия: Решение комбинаторных задач простейшими способами.
Цель: начать формировать умения решать простейшие комбинаторные задачи.
Задачи: 1. Образовательные: выделять комбинаторные задачи из ряда предложенных задач; решать простейшие комбинаторные задачи.
2. Воспитательные: Способствовать: формированию познавательного интереса к предмету; воспитанию чувства патриотизма; ответственности за качество и результат, выполняемой работы.
3.Развивающие: Способствовать: развитию: речи; творческого мышления; совершенствованию операций умственной деятельности: анализ, синтез, классификация, способность наблюдать и делать выводы, выделять существенные признаки.
Ход занятия
I Актуализация опорных знаний.
Слово педагога: в старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. Ребята, с какой проблемой сталкивается добрый молодец на перепутье? Спроблемой выбора дальнейшего пути движения.
В
ерно! А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.
Оказывается, существует целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.
II. Изучение нового материала.
Задачи, которые мы сегодня будем решать, помогут вам творить, думать необычно, оригинально, смело, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая, любить неизвестное, новое; преодолевать трудности и идти через невозможное вперед.
Комбинаторная задача – задача, в которой идет речь о тех или иных комбинациях объектов.
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, - возникла в XII веке.
Еще в доисторическую эпоху люди сталкивались с комбинаторными задачами. Выбирать и расположить предметы в определенном порядке, отыскивать среди разных расположений наилучшее – вот задачи, решаемые в быту, на охоте или в сражениях. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Нидийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. По мере усложнения производственных и общественных отношений задачи усложнялись. Комбинаторные задачи встречались, как игры в досуге. Наряду с состязаниями в беге, метании диска, кулачными боями появлялись игры, требовавшие умение мыслить, рассчитывать, составлять планы, опровергать планы противника. Со временем игры усложнились: появились нарды, карты, шашки и шахматы. В таких играх приходилось рассчитывать различные ситуации, комбинации сочетания фигур.
При тайных переписках дипломаты стали применять шифры, которые были основаны на различных перестановках букв, чисел, заменах букв с использованием ключевых слов и т. д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей. Первые научные исследования по этой теме принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Чарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Пискамо (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л. Эйлер. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.
За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний; для составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики и т. д. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров и для решения других проблем теории информации.
Детям раздаются цветные полоски (белый, синий, красный) и предлагается из них составить флаг РФ. Затем задаются вопросы исторического характера.
Что означает каждый цвет? Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту, непорочность, совершенство; синий – цвет веры и верности, постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество. Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета.
Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?
Решение этой задачи можно записать тремя способами:
Таблица вариантов
| КБС | КСБ |
| БСК | БКС |
| СБК | СКБ |
Дерево вариантов
Правило умножения
1 полоса 3 способа
2 полоса 2 способа
3 полоса 1 способ
3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
Ответ: 6 способов
III Выполнение упражнений.
Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 5, 7, 4, если известно, что цифры не повторяются (повторяются)?
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 5, 7 и 0?
Работа в подгруппах.
Группа разбита на 5 групп. Каждая подгруппа получает задания, на решение которых отводится 10 мин. После выполнения заданий каждая подгруппа представляет свое решение.
1 подгруппа.
В субботу в 5 «А» классе 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, ИЗО, математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что математика – последний урок?
2 подгруппа.
П
утешественник хочет выехать на своей машине из города А, посетить города В, С и D, после чего вернуться в город А. Какими путями можно это сделать? На рисунке схема путей, связывающих города. Какой из вариантов самый оптимальный?
3 подгруппа.
Участники лыжных соревнований стартуют с интервалом в 30 секунд. Чтобы определить порядок старта, спортсмены тянут жребий, определяющий номер старта. Сколько существует различных последовательностей выхода лыжников на старт, если в соревнованиях принимает участие 6 лыжников. Через какой промежуток времени все спортсмены будут на лыжне?
4 подгруппа.
Проказница Мартышка,
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли сыграть в квартет.
Ударили в смычки, дерут, а толку нет.
………………..
«Стой, братцы, стой!» - кричит Мартышка.-
Погодите.
Как музыке идти? Ведь Вы не так сидите!
Сколькими различными способами могут сесть крыловские музыканты в один ряд?
5 подгруппа.
Х
оккейная комбинация. На поле 5 игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов передачи шайбы между игроками в данной комбинации. Изобразите в тетради все другие возможные варианты передачи шайбы.
Какие способы решения комбинаторных задач мы знаем?
Дерево вариантов, табличный, правило умножения.
Сравним эти способы.
| Способ решения | Плюсы | Минусы |
| Дерево вариантов | Наглядность, возможность увидеть все варианты | Очень громоздкий и длительный, если много различных вариантов |
| Табличный | Наглядность, компактность, возможность увидеть все варианты | Невозможность решать задачи, в которых более двух составляющих одного события |
| Правило умножения | Компактность, быстрота решения | «Не видно» самих вариантов, можно только просчитать их количество. |
3) Выполнение упражнений
1. Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?
2. Человек, пришедший в гости, забыл код, открывающий дверь подъезда, но помнил, что он составлен из нулей и единиц и содержит четыре цифры. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть дверь?
3. Витя, Толя и Игорь купили вместе интересную книгу и решили ее читать по очереди. Выпишите все варианты такой очереди. Сколько есть вариантов, в которых Игорь на первом месте? Витя не на последнем месте?
4. Имеется ткань двух цветов: голубая и зеленая – и требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?
3) Самостоятельная работа.
| 1 вариант. 1. Сколько можно составить четырехзначных чисел из цифр 1, 5, 8, 3, если: а) цифры в числе не повторяются; б) цифры могут повторяться. 2. В среду в 5 «Б» классе 5 уроков: русский, информатика, естествознание, ИЗО, иностранный. Cколько можно составить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что информатика –первый урок? | 2 вариант. 1. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 4, 9, 7, если: а) цифры в числе не повторяются; б) цифры могут повторяться. 2. В среду в 5 «А» классе 5 уроков: русский, литература, естествознание, математика, иностранный. Сколько можно составить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что математика – второй урок? |
а) Решить любые три задачи.
1. Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?
2. Андрей зашел в магазин, чтобы купить майки. В магазине оказались майки четырех цветов: белые, голубые, красные, черные.
а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки?
Подсказка: обозначьте цвета маек буквами Б, Г, К, Ч. Составьте дерево возможных вариантов
б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки разного цвета?
3. В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?
4. Наташа сшила кукле десять разных платьев, а Даша сшила своему мишке трое штанишек и четыре футболки. Как вы думаете, у кого больше разных нарядов – у куклы или у мишки?
5. Для начинки пирогов у Наташи есть капуста, яйца, зелень лук и клубничное варенье. Сколько различных начинок можно приготовить из этих продуктов? При этом не надо забывать, что пироги должны быть вкусными. Вряд ли кто из вас захочет съесть пирог с начинкой из капусты с клубничным вареньем.
6. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста?
7. В алфавите племени УАУА имеются всего две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?
8. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром.
Сколько различных вариантов завтрака может выбрать Вова?
б) Составить синквейн.
ПРАВИЛА НАПИСАНИЯ СИНКВЕЙНА
1 строчка – одно слово – название стихотворения, тема, обычно существительное.
2 строчка – два слова (прилагательные или причастия). Описание темы, слова можно соединять союзами и предлогами.
3 строчка – три слова (глаголы). Действия, относящиеся к теме.
4 строчка – четыре слова – предложение. Фраза, которая показывает отношение автора к теме в 1-ой строчке.
5 строчка – одно слово – ассоциация, синоним, который повторяет суть темы в 1-ой строчке, обычно существительное.
Комбинаторика
Интересная, непознанная.
Изучать, понимать, перебирать.
Присутствует во всех областях.
Математика повсюду –
Глазом только поведешь
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдешь…
Итог занятия.
Домашнее задание Составить комбинаторные задачи практического содержания
