Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч П О Т Е О Р И И В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й (задание №5 ЕГЭ)
Основные понятия теории вероятностей
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Испытанием называют такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов.
Вероятность события А
если n - число всех исходов некоторого испытания,
а m - число благоприятствующих событию A исходов,
то вероятность события A равна
P ( A ) =
№ 1.
Игральный кубик бросают один раз, какова вероятность того, что выпадет число 4.
Решение
У кубика 6 сторон, выпасть может любая из них, значит число всех исходов равно n = 6 . Число 4 может выпасть только в одном случае, т.е. число благоприятствующих исходов равно m = 1 .
Тогда при n = 6, m = 1,
вероятность равна P ( A ) = .
Ответ:
Пример №2.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 - из Дании, 9 - из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
Решение:
всего спортсменов 4+7+9+5 = 25 значит n = 25 ,
вероятность события A – «последний спортсмен из Швеции», а их всего 9, т.е. m = 9
Ответ: 0,36.
Пример №3. Бросили две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Решение: число всех исходов равно n = 36, число благоприятных исходов равно m = 4 , вероятность события А – «в сумме выпадет 5 очков» равна Р(А)= . Ответ :
Числа на выпавших сторонах
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
9
10
10
10
11
11
12
Вероятность события Р(А) события А и вероятность Р( ) противоположного ему события связаны соотношением: Р(А) + Р( ) = 1
Пример №4. Вероятность того, что шариковая ручка пишет плохо (или не пишет) равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо. Решение: событие А – «ручка пишет хорошо», событие противоположное ему Р( ) = 0,1 Р(А) + Р( ) = 1 Р(А) = 1 – Р( ) Р(А) = 1 – 0,1 = 0,9. Ответ: 0,9.
Пример №5. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев оказалось 2512 мальчиков. Найдите, чему равна вероятность рождения девочек. Результат округлите до тысячных. Решение: 5000 – 2512 = 2488 (ч.) – девочки. Вероятность появления на свет девочки равна Ответ: 0,498.
Сложение вероятностей
Суммой несовместных событий A и B называют событие A + B, состоящее в появлении
либо только события A,
либо только события B:
P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )
Пример №6. В ящике лежат 10 шаров: 4 красных, 1 синий и 5 черных. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что шар красный или синий. Решение : событие A – «вынут красный шар» P ( A ) = = 0,4 событие B – «вынут синий шар» P ( B ) = = 0,1 Тогда вероятность того, что «вынутый шар красный или синий» равна P ( A + B ) = 0,4 + 0,1 = 0,5. Ответ: 0,5.
Произведение вероятностей Произведением событий A и B называется событие A B , состоящее в появлении и события A и события B P ( AB ) = P ( A ) P ( B )
Пример №7. Дважды бросается игральный кубик. Какова вероятность того что оба раза выпадет число 5. Решение: пусть событие A – «1-й раз выпадет 5» и событие B – «2-й раз выпадет 5». Вероятности этих событий P ( A ) = P ( B ) = Тогда вероятность Р(АВ) того, что «оба раза выпадет число 5» : P ( AB ) = . Ответ: .
Пример №8. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Каждый из них может быть не исправен с вероятностью 0,12 независимо друг от друга. Найти вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение: событие А – «1-й автомат не исправен» и событие В – «2-й автомат на исправен» имеют вероятности Р(А) = Р(В) = 0,12. Тогда Р(АВ) – «оба автомата не исправны» Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 0,12 0,12 = 0,0144. Вероятность события - «хотя бы один автомат исправен», т.е. Р( ) = 1 – 0,0144 = 0,9856. Ответ: 0,9856.
Вероятность суммы двух независимых событий равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В)
Пример №9. В магазине два платежных автомата. Вероятность того, что в автомате к концу дня закончатся деньги, равна 0,02 независимо от другого автомата. Вероятность того, что деньги закончатся в обеих автоматах, равна 0,015. Найти вероятность того, что к концу дня деньги останутся в обеих автоматах. Решение: А – «деньги закончились в 1- м автомате», В – «деньги закончились во 2- м автомате» Р (А) = Р(В) = 0,02. «Деньги закончились в обеих автоматах» Р(А∙В) = 0,015. «Деньги закончатся хотя бы в одном автомате»: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(А∙В) Р(А+В) = 0,02 + 0,02 – 0,015 = 0,025. Вероятность «Деньги останутся в обеих автоматах» равна Р( ) = 1 – 0,025 = 0,975. Ответ: 0,975.
Выполните задания самостоятельно!!!
