«Весенне-летний фестиваль знаний 2024»

Планиметрия вычисление длин и площадей.

В задании 15 проверяются навыки решения задач по планиметрии. Школьник должен знать основные формулы по планиметрии и уметь применять их на практике. Здесь вы можете узнать, как решать задание 15 ЕГЭ по математике базового уровня, а также изучить примеры и способы решения на основе подробно разобранных заданий.

Олимпиады: Математика 1 - 11 классы

Содержимое разработки

Задание ЕГЭ  ПЛАНИМЕТРИЯ: вычисление длин  и площадей Тренажёр

Задание ЕГЭ ПЛАНИМЕТРИЯ: вычисление длин и площадей

Тренажёр

Надо знать формулы: Надо уметь:

Надо знать формулы:

Надо уметь:

  • площади треугольника;
  • площади четырехугольников: прямоугольника, квадрата, ромба, параллелограмма, трапеции;
  • площади круга ;
  • площади сектора.
  • решать простые планиметрические задачи;
  • производить вычисления по известным формулам.
Площадь можно вычислить:  либо по клеточкам, либо по координатам,  либо по формулам. Количество баллов за правильное  решение: 1.

Площадь можно вычислить:

  • либо по клеточкам,
  • либо по координатам,
  • либо по формулам.

Количество баллов за правильное решение: 1.

S=а·в S= h(а+в):2 Вычисление площади фигуры по формуле S = π∙ R² S=0,5ah

S=а·в

S= h(а+в):2

Вычисление площади фигуры по формуле

S = π∙ R²

S=0,5ah

Задача 1 Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных клеток равными 1. 4 Ответ: 28 7

Задача 1

Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных

клеток равными 1.

4

Ответ: 28

7

Задача 2 Найдите площадь Δ ABC , считая стороны квадратных клеток равными 1. 6 3 Ответ: 9

Задача 2

Найдите площадь Δ ABC , считая стороны квадратных клеток равными 1.

6

3

Ответ: 9

Задача 3  Найдите площадь трапеции ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1. 2 3  Ответ: 9 4

Задача 3

Найдите площадь трапеции ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1.

2

3

Ответ: 9

4

Задача 4  Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 и 16, а угол между ними равен 30 . 30˚ 4 16 Ответ: 16

Задача 4

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 и 16, а угол между ними равен 30 .

30˚

4

16

Ответ: 16

Задача 5  Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 8. Найдите площадь этого треугольника. 5 3 5 4 4 Ответ: 12 8

Задача 5

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 8. Найдите площадь этого треугольника.

5

3

5

4

4

Ответ: 12

8

Задача 6 Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 6 и 10. 6 10 Ответ: 30

Задача 6

  • Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 6 и 10.

6

10

Ответ: 30

Задача 7  Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1.  В ответе укажите  S/π . √ 5 R 1 2 90˚ Ответ: 1,25

Задача 7

Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1.

В ответе укажите

S/π .

√ 5

R

1

2

90˚

Ответ: 1,25

R=1 Задача 8 Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого  равна 2. 2 Ответ: 1 2

R=1

Задача 8

  • Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого

равна 2.

2

Ответ: 1

2

Задача 9 (Решите сами) Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных клеток равными 1.  Ответ: 14

Задача 9 (Решите сами)

Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ: 14

Задача 10 (Решите сами) Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных клеток равными 1.  Ответ: 15

Задача 10 (Решите сами)

Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ: 15

Задача 11 (решите сами)  Периметр треугольника равен 10, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника . Ответ: 10

Задача 11 (решите сами)

Периметр треугольника равен 10, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника .

Ответ: 10

Задача 12 (решите сами)  Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 120. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника. В ответе запишите S/√3. Ответ:  100

Задача 12 (решите сами)

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 120. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника. В ответе запишите S/√3.

Ответ: 100

Задача 13(решите сами)  Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите  площадь большего  многоугольника. Ответ: 50

Задача 13(решите сами)

Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите

площадь большего

многоугольника.

Ответ: 50

Вычисление площади фигуры через разность площадей S₂  S₁  S фигуры =S₁-S₂

Вычисление площади фигуры через разность площадей

S₂

S₁

S фигуры =S₁-S₂

Полезно знать S исх = S прямоуг − (S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 )

Полезно знать

S исх = S прямоуг − (S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 )

Задача 14  Найти площадь треугольника ABC, изображенного на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Задача 14

Найти площадь треугольника ABC, изображенного на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Задача 14  Решение.  Найдем площадь элементов   разбиения:  S 1 = ½ · 1 · 5 = 2,5;  S 2 = ½ · 3 · 4 = 6;  S 3 = ½ · 1 · 4 = 2.  S прямоугольника = 5 · 4 = 20. Найдем площадь исходного треугольника: S исх = S прямоугольника − (S 1 + S 2 + S 3 ). S исх = 20 − (2,5 + 6 + 2) = 9,5. 5 S₁= 2,5 4 S 2 = 6 S 3 =2 Ответ: 9,5

Задача 14

Решение.

Найдем площадь элементов

  разбиения:

S 1 = ½ · 1 · 5 = 2,5;

S 2 = ½ · 3 · 4 = 6;

S 3 = ½ · 1 · 4 = 2.

S прямоугольника = 5 · 4 = 20.

Найдем площадь исходного треугольника:

S исх = S прямоугольника − (S 1 + S 2 + S 3 ).

S исх = 20 − (2,5 + 6 + 2) = 9,5.

5

S₁= 2,5

4

S 2 = 6

S 3 =2

Ответ: 9,5

Задача 15  Найдите площадь Δ ABC , считая стороны квадратных клеток равными 1. 12,5 2 1 2 Ответ: 7,5

Задача 15

Найдите площадь Δ ABC , считая стороны квадратных клеток равными 1.

12,5

2

1

2

Ответ: 7,5

Задача 16  Найдите площадь ромба ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1. 1 1,5 1,5 1,5 1 1,5  Ответ: 8

Задача 16

Найдите площадь ромба ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1.

1

1,5

1,5

1,5

1

1,5

Ответ: 8

Задача 17 2:√π 4:√π  Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями,  радиусы которых  равны 2:√π и 4:√π . Ответ: 12

Задача 17

2:√π

4:√π

Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями,

радиусы которых

равны 2:√π и 4:√π .

Ответ: 12

Задача 18  Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1.  В ответе укажите S/π. R 2 √ 8 r= 2 2  Ответ: 4

Задача 18

Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1.

В ответе укажите S/π.

R

2

√ 8

r= 2

2

Ответ: 4

Задача 19 (Решите сами)  Найдите площадь трапеции ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1. Ответ:9.

Задача 19 (Решите сами)

Найдите площадь трапеции ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ:9.

Задача 20 (Решите сами)  Найдите площадь четырехугольника ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1. Ответ:6

Задача 20 (Решите сами)

Найдите площадь четырехугольника ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ:6

Нахождение площади фигуры через сумму площадей S ₁ S ₂ S фигуры =S₁+S₂

Нахождение площади фигуры через сумму площадей

S

S

S фигуры =S₁+S₂

Задача 21  Найдите площадь прямоугольника ABCD , считая  стороны квадратных  клеток равными 1. 5 5  Ответ: 10

Задача 21

Найдите площадь прямоугольника ABCD , считая

стороны квадратных

клеток равными 1.

5

5

Ответ: 10

Задача 22 Найдите площадь четырехугольника ABCD , считая стороны квадратных  клеток равными 1. 2 4 Ответ:8.

Задача 22

Найдите площадь четырехугольника ABCD , считая

стороны квадратных

клеток равными 1.

2

4

Ответ:8.

Задача 23 Найдите площадь пятиугольника, считая стороны квадратных  клеток равными 1. 2 3 Ответ:16. 4

Задача 23

Найдите площадь

пятиугольника, считая

стороны квадратных

клеток равными 1.

2

3

Ответ:16.

4

Задача 24 Найдите площадь фигуры, считая стороны квадратных  клеток равными 1. 1 1 3 4 1 Ответ:15

Задача 24

Найдите площадь

фигуры, считая

стороны квадратных

клеток равными 1.

1

1

3

4

1

Ответ:15

Задача 25 Найдите площадь фигуры, считая стороны квадратных  клеток равными 1. 2  2 1 1 3 2 Ответ:13. 4

Задача 25

Найдите площадь

фигуры, считая

стороны квадратных

клеток равными 1.

2

2

1

1

3

2

Ответ:13.

4

Вставка рисунка у n с к Вычисление площади фигуры по координатам m х в а d

Вставка рисунка

у

n

с

к

Вычисление площади фигуры по координатам

m

х

в

а

d

Задача 26  Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты  (1; 1), (4; 4), (5;1).  3 4  Ответ: 6

Задача 26

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты

(1; 1), (4; 4), (5;1).

3

4

Ответ: 6

Задача 27  Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют  координаты (1; 0),  (0; 2), (4; 4), (5; 2) . 2 5  Ответ: 10

Задача 27

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют

координаты (1; 0),

(0; 2), (4; 4), (5; 2) .

2

5

Ответ: 10

Задача 28  Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости. Ответ: 24

Задача 28

Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

Ответ: 24

Вычисление элементов фигуры Вставка рисунка

Вычисление элементов фигуры

Вставка рисунка

  • Сторон
  • Диагоналей
  • Высот
  • Углов
Задача 29 Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами  4 и 16. 16 4 S=64 Ответ: 8

Задача 29

  • Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами

4 и 16.

16

4

S=64

Ответ: 8

Задача 30 Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 8. 4 √ 8 Ответ: 4 √ 8

Задача 30

  • Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 8.

4

√ 8

Ответ: 4

√ 8

Задача 31  Площадь прямоугольного треугольника равна 21. Один из его катетов равен 6. Найдите другой катет. S=21 Ответ:7. 6

Задача 31

Площадь прямоугольного треугольника равна 21. Один из его катетов равен 6. Найдите другой катет.

S=21

Ответ:7.

6

Задача 32  Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее площадь равна 160. Найдите периметр трапеции.   14 S=160 10 8 10 8 Ответ:60 6 6 26

Задача 32

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее площадь равна 160. Найдите периметр трапеции.

 

14

S=160

10

8

10

8

Ответ:60

6

6

26

Задача 33 Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность? Ответ: 2

Задача 33

  • Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Ответ: 2

Метод координат у=kx+b Вставка рисунка А (х₁; у₁) С (х; у) α В (х₂; у₂) О Длина отрезка: АВ=√(х₁-х₂)²+(у₁-у₂)² Координаты середины отрезка: х= (х₁+х₂):2 у= (у₁+у₂):2 Угловой коэффициент k=tg α прямой у=kx+b .

Метод координат

у=kx+b

Вставка рисунка

А

(х₁; у₁)

С

(х; у)

α

В

(х₂; у₂)

О

Длина отрезка:

АВ=√(х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²

Координаты середины отрезка:

х= (х₁+х₂):2 у= (у₁+у₂):2

Угловой коэффициент k=tg α прямой у=kx+b .

Задача 29  1.Найдите длину отрезка, соединяющего точки:  В(-2;2)и A(6, 8);          2. Найдите расстояние от точки A с координатами  (6, 8) до оси абсцисс;  3. Найдите расстояние от точки В до оси ординат.  4. Найдите ординату середины отрезка АВ.  5.Найти ординату точки, симметричной точке А относительно оси ОУ;  6. Найти абсциссу точки, симметричной точке А относительно начала координат. Ответ:10 Ответ:8 Ответ:2 Ответ:5 Ответ:8 Ответ:-6

Задача 29

1.Найдите длину отрезка, соединяющего точки: В(-2;2)и A(6, 8);

2. Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до оси абсцисс; 3. Найдите расстояние от точки В до оси ординат. 4. Найдите ординату середины отрезка АВ. 5.Найти ординату точки, симметричной точке А относительно оси ОУ; 6. Найти абсциссу точки, симметричной точке А относительно начала координат.

Ответ:10

Ответ:8

Ответ:2

Ответ:5

Ответ:8

Ответ:-6

Задача 34 Окружность с центром в начале координат проходит через точку  P(8, 6). Найдите ее радиус. R 6 Ответ:10. 8

Задача 34

  • Окружность с центром в начале координат проходит через точку

P(8, 6). Найдите ее радиус.

R

6

Ответ:10.

8

Задача 35 Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты  (8, 0), (0, 6), (8, 6).   R M Ответ:5.

Задача 35

  • Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты (8, 0), (0, 6), (8, 6).

R

M

Ответ:5.

Задача 36 Найдите : 1)угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами(2, 0) и (0, 2); 2) угол между  прямой и осью ОХ. Ответ:-1. 2 α Ответ:135. 2

Задача 36

Найдите :

  • 1)угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами(2, 0) и (0, 2);
  • 2) угол между

прямой и осью ОХ.

Ответ:-1.

2

α

Ответ:135.

2

Задача 37 Точки O(0, 0), A(6, 8), B(6, 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки C.   Ответ:6.

Задача 37

  • Точки O(0, 0), A(6, 8), B(6, 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки C.

Ответ:6.

Задача 38 Точки O(0, 0), A(10, 8), B(8, 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки C. Ответ:2. 2 10 8

Задача 38

  • Точки O(0, 0), A(10, 8), B(8, 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки C.

Ответ:2.

2

10

8

b(х ₂ ; у ₂ ) Вставка рисунка а(х ₁ ; у ₁ ) А(х₂; у₂) kа(kх ₁ ; kу ₁ ) Векторы В(х₁; у₁) Координаты вектора АВ(х = х ₁ - х ₂ ; у = у ₁ - у ₂ ) Длина вектора АВ = √х² + у²= √(х₁-х₂)²+(у₁-у₂)² Координаты суммы векторов а + b ( х₁ + х₂ ; у₁ + у₂ ) Координаты разности векторов а - b ( х₁ - х₂ ; у₁ - у₂ )  Координаты вектора умноженного на число: kа(kх ₁ ; kу ₁ )

b(х ; у )

Вставка рисунка

а(х ; у )

А(х₂; у₂)

kа(kх ; kу )

Векторы

В(х₁; у₁)

Координаты вектора АВ(х = х - х ; у = у - у )

Длина вектора АВ = √х² + у²= √(х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²

Координаты суммы векторов а + b ( х₁ + х₂ ; у₁ + у₂ )

Координаты разности векторов а - b ( х₁ - х₂ ; у₁ - у₂ )

Координаты вектора умноженного на число:

kа(kх ; kу )

Задача 39  Найдите :  1) ординату вектора а;  2)квадрат длины вектора а;  3) квадрат длины вектора а-b ;  4) длину вектора  а+b.    Ответ:6 Ответ:40 Ответ:40 Ответ: 10√2

Задача 39

Найдите : 1) ординату вектора а; 2)квадрат длины вектора а; 3) квадрат длины вектора а-b ; 4) длину вектора

а+b.

Ответ:6

Ответ:40

Ответ:40

Ответ: 10√2

Задача 40 Вектор с началом в точке A(2, 4) имеет координаты (6, 2). Найдите абсциссу точки B. Ответ:8 8

Задача 40

  • Вектор с началом в точке A(2, 4) имеет координаты (6, 2). Найдите абсциссу точки B.

Ответ:8

8

Задача 41 Две стороны прямоугольника ABCD равны 8 и 6 . Найдите длину суммы векторов АВ и АД.   6 Ответ:10 8

Задача 41

  • Две стороны прямоугольника ABCD равны 8 и 6 . Найдите длину суммы векторов АВ и АД.

6

Ответ:10

8

Задача 42 Диагонали ромба ABCD равны 8 и 12. Найдите длину разности векторов: 1)АВ-АД; 2)АД-АВ; 3)АД+АВ. . Ответ:8 Ответ:8 Ответ:12 8 12

Задача 42

  • Диагонали ромба ABCD равны 8 и 12. Найдите длину разности векторов:

1)АВ-АД;

2)АД-АВ;

3)АД+АВ. .

Ответ:8

Ответ:8

Ответ:12

8

12

Удачи и успехов !
  • Удачи и успехов !

Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы



Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки


Олимпиады «Весенне-летний фестиваль знаний 2024»

Комплекты учителю



Качественные видеоуроки, тесты и практикумы для вашей удобной работы

Подробнее

Вебинары для учителей



Бесплатное участие и возможность получить свидетельство об участии в вебинаре.


Подробнее