Задание ЕГЭ ПЛАНИМЕТРИЯ: вычисление длин и площадей
Тренажёр
Надо знать формулы:
Надо уметь:
- площади треугольника;
- площади четырехугольников: прямоугольника, квадрата, ромба, параллелограмма, трапеции;
- площади круга ;
- площади сектора.
- решать простые планиметрические задачи;
- производить вычисления по известным формулам.
Площадь можно вычислить:
- либо по клеточкам,
- либо по координатам,
- либо по формулам.
Количество баллов за правильное решение: 1.
S=а·в
S= h(а+в):2
Вычисление площади фигуры по формуле
S = π∙ R²
S=0,5ah
Задача 1
Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных
клеток равными 1.
4
Ответ: 28
7
Задача 2
Найдите площадь Δ ABC , считая стороны квадратных клеток равными 1.
6
3
Ответ: 9
Задача 3
Найдите площадь трапеции ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1.
2
3
Ответ: 9
4
Задача 4
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 и 16, а угол между ними равен 30 .
30˚
4
16
Ответ: 16
Задача 5
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 8. Найдите площадь этого треугольника.
5
3
5
4
4
Ответ: 12
8
Задача 6
- Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 6 и 10.
6
10
Ответ: 30
Задача 7
Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1.
В ответе укажите
S/π .
√ 5
R
1
2
90˚
Ответ: 1,25
R=1
Задача 8
- Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого
равна 2.
2
Ответ: 1
2
Задача 9 (Решите сами)
Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Ответ: 14
Задача 10 (Решите сами)
Найдите площадь заштрихованной фигуры, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Ответ: 15
Задача 11 (решите сами)
Периметр треугольника равен 10, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника .
Ответ: 10
Задача 12 (решите сами)
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 120. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника. В ответе запишите S/√3.
Ответ: 100
Задача 13(решите сами)
Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите
площадь большего
многоугольника.
Ответ: 50
Вычисление площади фигуры через разность площадей
S₂
S₁
S фигуры =S₁-S₂
Полезно знать
S исх = S прямоуг − (S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 )
Задача 14
Найти площадь треугольника ABC, изображенного на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Задача 14
Решение.
Найдем площадь элементов
разбиения:
S 1 = ½ · 1 · 5 = 2,5;
S 2 = ½ · 3 · 4 = 6;
S 3 = ½ · 1 · 4 = 2.
S прямоугольника = 5 · 4 = 20.
Найдем площадь исходного треугольника:
S исх = S прямоугольника − (S 1 + S 2 + S 3 ).
S исх = 20 − (2,5 + 6 + 2) = 9,5.
5
S₁= 2,5
4
S 2 = 6
S 3 =2
Ответ: 9,5
Задача 15
Найдите площадь Δ ABC , считая стороны квадратных клеток равными 1.
12,5
2
1
2
Ответ: 7,5
Задача 16
Найдите площадь ромба ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1.
1
1,5
1,5
1,5
1
1,5
Ответ: 8
Задача 17
2:√π
4:√π
Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями,
радиусы которых
равны 2:√π и 4:√π .
Ответ: 12
Задача 18
Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1.
В ответе укажите S/π.
R
2
√ 8
r= 2
2
Ответ: 4
Задача 19 (Решите сами)
Найдите площадь трапеции ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1.
Ответ:9.
Задача 20 (Решите сами)
Найдите площадь четырехугольника ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1.
Ответ:6
Нахождение площади фигуры через сумму площадей
S ₁
S ₂
S фигуры =S₁+S₂
Задача 21
Найдите площадь прямоугольника ABCD , считая
стороны квадратных
клеток равными 1.
5
5
Ответ: 10
Задача 22
Найдите площадь четырехугольника ABCD , считая
стороны квадратных
клеток равными 1.
2
4
Ответ:8.
Задача 23
Найдите площадь
пятиугольника, считая
стороны квадратных
клеток равными 1.
2
3
Ответ:16.
4
Задача 24
Найдите площадь
фигуры, считая
стороны квадратных
клеток равными 1.
1
1
3
4
1
Ответ:15
Задача 25
Найдите площадь
фигуры, считая
стороны квадратных
клеток равными 1.
2
2
1
1
3
2
Ответ:13.
4
Вставка рисунка
у
n
с
к
Вычисление площади фигуры по координатам
m
х
в
а
d
Задача 26
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты
(1; 1), (4; 4), (5;1).
3
4
Ответ: 6
Задача 27
Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют
координаты (1; 0),
(0; 2), (4; 4), (5; 2) .
2
5
Ответ: 10
Задача 28
Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.
Ответ: 24
Вычисление элементов фигуры
Вставка рисунка
- Сторон
- Диагоналей
- Высот
- Углов
Задача 29
- Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами
4 и 16.
16
4
S=64
Ответ: 8
Задача 30
- Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 8.
4
√ 8
Ответ: 4
√ 8
Задача 31
Площадь прямоугольного треугольника равна 21. Один из его катетов равен 6. Найдите другой катет.
S=21
Ответ:7.
6
Задача 32
Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее площадь равна 160. Найдите периметр трапеции.
14
S=160
10
8
10
8
Ответ:60
6
6
26
Задача 33
- Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?
Ответ: 2
Метод координат
у=kx+b
Вставка рисунка
А
(х₁; у₁)
С
(х; у)
α
В
(х₂; у₂)
О
Длина отрезка:
АВ=√(х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²
Координаты середины отрезка:
х= (х₁+х₂):2 у= (у₁+у₂):2
Угловой коэффициент k=tg α прямой у=kx+b .
Задача 29
1.Найдите длину отрезка, соединяющего точки: В(-2;2)и A(6, 8);
2. Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до оси абсцисс; 3. Найдите расстояние от точки В до оси ординат. 4. Найдите ординату середины отрезка АВ. 5.Найти ординату точки, симметричной точке А относительно оси ОУ; 6. Найти абсциссу точки, симметричной точке А относительно начала координат.
Ответ:10
Ответ:8
Ответ:2
Ответ:5
Ответ:8
Ответ:-6
Задача 34
- Окружность с центром в начале координат проходит через точку
P(8, 6). Найдите ее радиус.
R
6
Ответ:10.
8
Задача 35
- Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты (8, 0), (0, 6), (8, 6).
R
M
Ответ:5.
Задача 36
Найдите :
- 1)угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами(2, 0) и (0, 2);
- 2) угол между
прямой и осью ОХ.
Ответ:-1.
2
α
Ответ:135.
2
Задача 37
- Точки O(0, 0), A(6, 8), B(6, 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки C.
Ответ:6.
Задача 38
- Точки O(0, 0), A(10, 8), B(8, 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки C.
Ответ:2.
2
10
8
b(х ₂ ; у ₂ )
Вставка рисунка
а(х ₁ ; у ₁ )
А(х₂; у₂)
kа(kх ₁ ; kу ₁ )
Векторы
В(х₁; у₁)
Координаты вектора АВ(х = х ₁ - х ₂ ; у = у ₁ - у ₂ )
Длина вектора АВ = √х² + у²= √(х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²
Координаты суммы векторов а + b ( х₁ + х₂ ; у₁ + у₂ )
Координаты разности векторов а - b ( х₁ - х₂ ; у₁ - у₂ )
Координаты вектора умноженного на число:
kа(kх ₁ ; kу ₁ )
Задача 39
Найдите : 1) ординату вектора а; 2)квадрат длины вектора а; 3) квадрат длины вектора а-b ; 4) длину вектора
а+b.
Ответ:6
Ответ:40
Ответ:40
Ответ: 10√2
Задача 40
- Вектор с началом в точке A(2, 4) имеет координаты (6, 2). Найдите абсциссу точки B.
Ответ:8
8
Задача 41
- Две стороны прямоугольника ABCD равны 8 и 6 . Найдите длину суммы векторов АВ и АД.
6
Ответ:10
8
Задача 42
- Диагонали ромба ABCD равны 8 и 12. Найдите длину разности векторов:
1)АВ-АД;
2)АД-АВ;
3)АД+АВ. .
Ответ:8
Ответ:8
Ответ:12
8
12
- Удачи и успехов !
