Роль текстовых задач в школьном курсе математики.
В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни, С другой — пристальное внимание обучающих к текстовым задачам — почти исключительно российский феномен.
Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило».
В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни, С другой — пристальное внимание обучающих к текстовым задачам — почти исключительно российский феномен.
Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило».
В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). При этом учащие мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. Считалось, что понимать-то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал бывало наставник своего питомца и рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу . Так в 1923 г. В. Беллю- стин описывал старинную практику обучения решению текстовых задач.
Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определенным набором вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики — линия числа — еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.
Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифмо тических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.
К середине XX в. в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, разучивали с учащимися способы решения типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они считали также, что в процессе обучения решению текстовых задач школьников учат способам действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни.
Например, из программы 5-6-х классов исключили задачи на совместную работу ввиду их «нежизненности»! «Убийственный» аргумент критиков утрированно можно сформулировать в виде вопроса: «Где вы видели трактористов, которые не знают площади вспаханного ими поля и должны решать задачу, чтобы определить время окончания работы?».
Здесь очень уместен вопрос: так ли были глупы китайцы, решавшие во II в. следующую задачу?
Дикая утка от южного моря, до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Вдумаемся! Средства связи того времени не позволяли ни осуществить одновременный старт утки и гуся, ни проконтролировать момент их встречи! Так почему китайцы давали решать во II в. своим детям такие задачи? Может быть, их интересовало не непосредственное приложение к практике полученного результата, а нечто иное — результат, оставляемый процессом мышления в голове ребенка?
Во многих зарубежных школах до сих пор такие задачи называют «фальшивыми» и не считают нужным учиться их решать.
У одного человека в кошельке 20 монет, одни по 5 центов, другие по 10 центов, на общую сумму в доллар и 75 центов. Сколько у него монет по 5 центов? Сколько по 10 центов?
Аргумент американских математиков: “Поскольку монеты были сосчитаны, почему бы не сосчитать отдельно монеты в 5 центов и отдельно в 10 центов?”.
В России (и, думаю, в огромном большинстве стран) этот странный аргумент был бы оставлен без внимания как неудачная шутка, но в Америке к нему относятся с большим почтением».
" К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, методика их применения в учебном процессе разработана, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Одним из аргументов к предлагаемым изменениям была критика негодной практики обучения решению задач. Соавторы Н.Я. Виленкина (по первому варианту ныне действующих учебников) К.И. Пешков и А.Д. Семушин, критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались вопросом: «Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?». Ответ напрашивался сам собой: «Невозможно!». Но правда заключается в том, что правильная методика обучения и не требовала решать задачи по заученной схеме, то есть менять надо было не методику, а негодную практику ее применения. Вторым аргументом к изменениям был поиск резерва времени, необходимого для обновления содержания математического образования. Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени.
Можно только сожалеть, что С.Л. Соболева и А.Л. Минца никто не спросил, как отвечать на детский вопрос «откуда берутся дети?». Надо ли «обманывать» детей, рассказывая им про аиста и капусту, а по мере взросления и готовности осознать сообщаемые факты, неторопливо рассказывать про пестики и тычинки, рыбок, бабочек и пр.? Или, согласно «правилам оптимальной стратегии», надо «честно» выложить крохе все как есть? Это вовсе не риторический вопрос, так как он касается накопления жизненного опыта ребенка, развития его мышления и способности к правильному восприятию сообщаемого.
Если же вернуться к математике, то надо отметить, что из верной посылки «после овладения алгеброй...». С.Л. Соболев сделал неверный вывод, так как текстовые задачи и арифметические способы их решения как раз и готовят ребенка к овладению алгеброй. А когда это произойдет, то алгебра доставит ученику более простые, чем арифметические, способы решения некоторых (но не всех!) задач. Другие же арифметические способы решения так и останутся в активном багаже ученика. Например, если ученика учили делить число в данном отношении, то он и в старших классах не будет делить число 15 в отношении 2:3с помощью уравнения, он выполнит арифметические действия:
2)15-6 = 9-
Наш опыт показывает, что учащиеся, обученные находить арифметически два числа по их сумме и разности или два числа по их отношению и сумме (или разности), с большим трудом переходят к решению тех же задач с помощью уравнения. Они не видят никакого выигрыша, какой доставлял бы им новый способ решения. Только после убедительных примеров использования уравнений для решения задач они осваивают новый метод решения, но продолжают искать арифметическое решение даже в той ситуации, когда учитель дал указание: решите задачу с помощью уравнения.
И действительно, во многих задачах более рациональным и простым является именно арифметический метод решения.
Я считаю, что целесообразно как можно позднее переходить к решению задач с помощью уравнений, а учить решать задачи арифметическим методом, используя рисунки, схемы и логические рассуждения.
1. Имеются два раствора, содержащие - первый 40 % кислоты, а второй 10% кислоты. В каком отношении надо смешать эти растворы, чтобы получить раствор, содержащий 20% кислоты?
2. 8 кл. Брат и сестра собирали малину в двухлитровые бидоны. Брат собирал ягоды быстрее сестры. Через некоторое время он решил ей помочь и поменялся с ней бидонами. Момент для обмена бидонами был выбран удачно — ребята наполнили их ягодами одновременно. Сколько литров ягод они набрали вместе до того, как поменялись бидонами?
3. Задача на тройное правило.
Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
4. Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол-яйца, вторая-половину остатка и ещё пол-яйца, а третья - последние 10 яиц . Сколько яиц принесли крестьянка на рынок?
5. Отпили полчашки черного кофе и долили её молоком. Потом отпили 1/3 чашки и долили её молоком. Потом отпили 1/6 чашки и долили её молоком. Наконец допили содержимое чашки до конца. Чего выпили больше: кофе или молока?
6. Из ЕГЭ. Маша и Настя могут вымыть окно за 20 минут. Настя и Лена могут вымыть это же окно за 15 минут, а Маша и Лена - за 12 мин. За какое время девочки вымоют окно, работая втроем? Ответ дайте в минутах.
1. Имеются два раствора, содержащие - первый 40 % кислоты, а второй 10% кислоты. В каком отношении надо смешать эти растворы, чтобы получить раствор, содержащий 20% кислоты?
2. 8 кл. Брат и сестра собирали малину в двухлитровые бидоны. Брат собирал ягоды быстрее сестры. Через некоторое время он решил ей помочь и поменялся с ней бидонами. Момент для обмена бидонами был выбран удачно — ребята наполнили их ягодами одновременно. Сколько литров ягод они набрали вместе до того, как поменялись бидонами?
3. Задача на тройное правило.
Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
4. Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол-яйца, вторая - половину остатка и ещё пол-яйца, а третья - последние 10 яиц . Сколько яиц принесли крестьянка на рынок?
5. Отпили полчашки черного кофе и долили её молоком. Потом отпили 1/3 чашки и долили её молоком. Потом отпили 1/6 чашки и долили её молоком. Наконец допили содержимое чашки до конца. Чего выпили больше: кофе или молока?
6. Из ЕГЭ. Маша и Настя могут вымыть окно за 20 минут. Настя и Лена могут вымыть это же окно за 15 минут, а Маша и Лена - за 12 мин. За какое время девочки вымоют окно, работая втроем? Ответ дайте в минутах.
7. Из ЕГЭ. У Алены есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора или 210 часов ожидания. Когда Алена садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько минут она ехала на поезде, если известно, что Алена говорила по телефону ровно половину времени поездки?