Размещение
Цели: ввести понятие размещения из п элементов по k, где k ≤ n; вывести формулу нахождения числа размещений с помощью комбинаторного правила умножения; формировать умение решать комбинаторные задачи с применением данной формулы.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
2. Составить всевозможные двухбуквенные слова, используя буквы:
а) ы, т, в (ты; вы); б) н, о, а (но, на, он, ан).
3. Анна (А), Белла (Б) и Вера (В) купили билеты в кинотеатр на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять эти три места.
(Р3 = 3! = 6: АБВ, АВБ; БАВ, БВА; ВАБ, ВБА.)
III. Проверка домашнего задания.
С обязательным вынесением на доску решения.
№ 750 (б).
Р е ш е н и е
(п + 1)! · п = п! (п + 1) · п п! (п + 1) в п раз.
IV. Объяснение нового материала.
1. Для актуализации знаний предложить для решения № 839 (а, б).
Р е ш е н и е
а) 
= n + 1;
б) 
.
2. З а д а ч а. Из четырех конфет – ириска (и), леденец (л), карамель (к), шоколадная (ш) – Марина решила последовательно съесть три. Перечислите все варианты, которыми это можно сделать.
Это задача о выборе трех элементов из четырех с учетом порядка выбора.
Начинаем перечисление с анализа условия: первую конфету можно выбрать одним из четырех способов; для каждой первой конфеты вторую можно выбрать тремя способами из трех оставшихся; для каждой второй третью конфету можно выбрать двумя способами из двух оставшихся. Мы сразу видим количество вариантов – по правилу умножения их 4 · 3 · 2 = 24 – и алгоритм записи в таблицу (в первой строке комбинации, начинающиеся с «и», во второй – с «л» и т. д.).
илк | илш | икл | икш | ишл | ишк |
лик | лиш | лки | лкш | лши | лшк |
кил | киш | кли | клш | кши | кшл |
шил | шик | шли | шлк | шки | шкл |
Каждую такую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением из четырех элементов по три.
3. Определение. Размещением из п элементов по k (k n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.
О б о з н а ч е н и е. 
(читается «А из п по k»).
Подчеркиваем, что в этом определении важен не только выбор, но и порядок элементов в выборе.
4. Формулу можно вывести по правилу умножения, причем, для частного случая, мы уже знаем алгоритм. Можно сильному классу попробовать вывести самостоятельно:
– формула вычисления числа размещений из п по k.
Очень важный момент при изучении этой формулы – рассмотреть случай, когда п = k. Тогда получается размещения из п элементов по п отличаются друг от друга только порядком элементов, то есть представляют собой перестановки из п элементов.
Будем считать по определению 0! = 1, в этом случае
, то есть 
.
5. Рассмотрим примеры 1 и 2 со с. 181–182 учебника.
V. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
№ 754.
Р е ш е н и е
Пронумеруем места в купе (с 1 по 4) и будем «выдавать» каждому из трех членов семьи номер места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться выборки по 3 элемента, при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в ней элементов. Число способов равно числу размещений из 4 по 3:
= 2 · 3 · 4 = 24.
О т в е т: 24 способа.
№ 756, № 757. Самостоятельное решение с последующей проверкой.
При решении этих заданий следует уделять внимание обоснованию выбора формулы для подсчета числа размещений, не допуская формализма.
Ученики могут решить эти задания не только по формуле, но и применяя комбинаторное правило умножения. Следует поощрять и этот способ решения, так как он позволяет осознать структуру самой формулы и лучше ее запомнить.
№ 760.
Р е ш е н и е
а) Выбираем 2 места для фотографий из 6 свободных мест в альбоме:
.
б) Выбираем 4 места для фотографий из 6:
.
в) Выбираем 6 мест из 6 (делаем всевозможные перестановки из 6 фотографий):
= Р6 = 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.
О т в е т: а) 30 способов; б) 360 способов; в) 720 способов.
№ 762.
Р е ш е н и е
а) Выбираем 4 цифры из 5 данных, порядок выбора имеет значение:
= 2 · 3 · 4 · 5 = 120.
б) Выбираем 4 цифры из 5, но на первое место нельзя выбирать ноль. Используем метод исключения лишних элементов: если на первое место выбран ноль, то после этого выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем 
= 2 · 3 · 4 = 24 «нулевых» комбинаций, которые недопустимы.
Количество всех четырехзначных чисел, которые можно составить из данных 5 чисел, равно: 
= 2 · 3 · 4 · 5 = 120.
Значит, допустимых – = 120 – 24 = 96.
О т в е т: а) 120 чисел; б) 96 чисел.
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется размещением из п элементов по k?
– Запишите формулу для вычисления числа размещений из п элементов по k.
– Чему равно 0!? 1!?
Домашнее задание: № 755, № 758, № 759, № 767.
