Комбинаторика
Занятие 1
Тема: Перестановки
Цели: создать представление о комбинаторике как разделе математики; формировать умение решать комбинаторные; развивать логическое мышление, устную математическую речь, внимание, память и воображение через интеллектуальные задания; развивать умение решать комбинаторные задачи; продолжить воспитание познавательного интереса к предмету.
Ход занятия:
Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Основная часть занятия.
На первом этапе учащихся можно ознакомить с перестановкой заданного количества элементов в определенном порядке и подсчетом количества таких перестановок. Рассмотрим следующую задачу:
Задача 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3? Цифры не должны повторяться.
Решение: Методом подбора получаем следующие числа: 123, 132, 213, 231, 321, 312.
Ответ: 6 чисел.
Усложним задачу.
Задача 2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 5,6,7,8? Цифры не должны повторяться.
Ученики проделывают те же операции, как и в предыдущей задаче, но уже замечают, что достаточно составить все числа, начинающиеся с «5» и умножить полученное количество чисел на 4.
Решение: Рассмотрим числа начинающиеся на 5: 5678; 5687; 5768; 5786; 5867; 5876.
6•4 = 24 чисел.
Рассмотрим еще более сложную задачу.
Задача 3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9 так, чтобы цифры не повторялись?
Чтобы решить третью задачу, рассмотри еще раз подробно решение второй задачи. Первой цифрой числа можно поставить любую из четырех цифр. Это можно сделать четырьмя способами. Тогда второй цифрой можно поставить любую из трех оставшихся цифр (так как цифры не должны повторяться). Это можно сделать тремя способами. Как же определить общее количество способов?
Каждой из четырех цифр первого ряда соответствует три цифры второго ряда. Третьей цифрой можно поставить любую из оставшихся двух цифр. Каждой цифре второго ряда соответствует по две цифры третьего ряда. И последней цифрой можно поставить одну оставшуюся цифру единственным способом.
Таким образом, из четырех цифр можно составить 4•3•2•1 =24 четырехзначных числа, цифры в которых не повторяются.
Задача 3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9 так, чтобы цифры не повторялись?
Решение: Рассуждая аналогично получаем, что первую цифру можно выбрать 5 способами, вторую – 4, третью – 3. Таким образом, из пяти цифр можно составить 5 •4•3 = 60 способами.
Правило умножения:
Если объект a можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k способами, то выбор пары (a, b) можно осуществить
m · k способами.
В есть раздел математики, посвященный решению задач на перебор различных вариантов, удовлетворяющих каким-либо условиям.
Ответ: Комбинаторика
Задачи для закрепления и повторения:
Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «правило»?
Ответ: 3 ∙ 4 = 12
На первой полке стоит 5 книг, а на второй 10. Сколькими способами можно выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй?
Ответ: 5 ∙ 10 = 50
Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
Ответ: 9 ∙ 10 ∙ 10 = 900
Найдите наибольшее число, в записи которого каждые две соседние цифры образуют число, делящееся па 17.
Решение:
Эта задача, как и задача 45, требует сконструировать объект с определенными свойствами.
Выпишем сначала все двузначные числа, кратные 17. Это числа 17, 34, 51, 68 и 85. Видим, что необходимое число может содержать только цифры 1, 7, 3, 4, 5, 6 и 8. Отметим на бумаге 7 точек, напишем около них цифры 1, 7, 3, 4, 5, 6, 8 и соединим некоторые точки стрелками так, чтобы при чтении по стрелке двузначное число получалось кратным 17. Получим рисунок 12. Видим, что наибольшее число будет иметь 5 знаков, это 68 517.
Какие три цифры нужно дописать к числу 19 981 999, чтобы полученное число делилось без остатка на 7, на 8 и на 9?
Решение:
Поскольку в соответствии с условием число должно делиться на 7, 8 и 9, то оно будет общим кратным этих чисел.
НОК(7, 8, 9) = 7 • 8 • 9 = 504. Поэтому полученное после дописывания трех цифр число должно делиться на 504. Попробуем к числу 19 981 999 дописать три нуля. Число 19 981 999 000, полученное после дописывания нулей, поделим на 504. Получим: 19 991 999 000 : 504 = 39 646 823 (ост. 208). Значит, если бы мы дописывали не 000, а 296, то полученное число поделилось бы без остатка на 504, поскольку 208 + 296 = 504.
Можно было бы вместо 296 дописать 800, поскольку 296 + 504 = 800.
Ответ: 800.
Подведение итогов занятия.
Рефлексия.
Домашнее задание:
Мастер должен обшить 12 стульев обшивкой красного, коричневого и зеленого цвета. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ: 12 ∙ 3 = 36
При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?
Ответ: 30
Имеется 12 красных гвоздик, 10 – белых, 7 – розовых. Сколько существует способов составления букета из пяти цветов?
Ответ: 118755
Запишите все трёхзначные числа, используя цифры 2, 8 и 5 так, чтобы в записи каждого числа цифры не повторялись
Ответ: 285, 258, 528, 582, 825, 852.
Сумма двух последовательных чисел равна 35. Найдите эти числа.
Ответ: 17, 18.
Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
Ответ: P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040
