Комбинаторика
Занятие 2
Тема: Перестановки
Цели: продолжить формировать представление о комбинаторике как разделе математики, умение решать комбинаторные; развивать логическое мышление, устную математическую речь, внимание, память и воображение через интеллектуальные задания; развивать умение решать комбинаторные задачи; продолжить воспитание познавательного интереса к предмету.
Ход занятия:
Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Задачи:
Мастер должен обшить 12 стульев обшивкой красного, коричневого и зеленого цвета. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ: 12 ∙ 3 = 36
При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?
Ответ: 30
Имеется 12 красных гвоздик, 10 – белых, 7 – розовых. Сколько существует способов составления букета из пяти цветов?
Ответ: 118755
Запишите все трёхзначные числа, используя цифры 2, 8 и 5 так, чтобы в записи каждого числа цифры не повторялись
Ответ: 285, 258, 528, 582, 825, 852.
Сумма двух последовательных чисел равна 35. Найдите эти числа.
Ответ: 17, 18.
Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
Ответ: P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040
Основная часть занятия.
Задача 1: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4?
Решение. Первой можно взять любую из четырех цифр. Это – 4 способа. Так как цифры могут повторяться, то второй можно взять также любую из четырех цифр. Это еще 4 способа. На третье и четвертое место можно использовать любую из данных цифр. Это еще по 4 способа. Значит, всего способов 4*4*4*4=256. Таким образом, из цифр 1,2,3,4 можно составить 256 четырехзначных чисел.
Задача 2: Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях?
Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся друг от друга только порядком расположения элементов.
Например, из 3 элементов (a,b,c) можно образовать следующие перестановки: abc, bac, cab, acb, bca, cba.
Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом Pn
Pn = n! , где n! = 1•2•3•4•…• n
3! = 1•2•3 = 6
6! = 1•2•3•4•5•6 = 720
Задача 2: Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях?
Решение: 6 гостей занимают все 6 стульев и могут только меняться местами. Число перестановок из 6 определяем по формуле:
P6 = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.
Задача 3: В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и история. Сколько различных способов составления расписания на понедельник существует?
Решение: Представьте себе, что расписание составляете вы. Чертите таблицу с пятью строками для пяти уроков и вписываете в каждую строку название одного из 5-ти предметов. Число перестановок из 5 определяем по формуле
P5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120.
Свободная минутка:
1) У трех трактористов есть брат Сергей, а у Сергея братьев нет. Может ли такое быть?
Ответ: Да, если трактористы - женщины, либо речь о разных Сергеях.
2) В комнате горело 50 свечей, 20 из них задули. Сколько останется?
Ответ: Останется 20: задутые свечи не сгорят полностью.
3) На яблоне росло 20 яблок, 10 сорвали. Сколько груш осталось на яблони.
Ответ: нисколько, груши не растут на яблони.
Задача 4: Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.
Число размещений в комбинаторике обозначается Anm и вычисляется по формуле:
Задача 4: Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:
Задача 5: В спортивной команде 9 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Есть два места для капитана и его заместителя, нужно разместить на них 2-ух человек, выбрав их из 9-ти. Число размещений определяем по формуле
А92 = 9!/(9 - 2)! = 9!/7! = 8·9 = 72.
Подведение итогов занятия.
Рефлексия.
Домашнее задание:
Задача 1: Решите предыдущую задачу (задача 5) вторым способом.
Решение: Казалось бы, мы снова выбираем 2-ух человек из 9-ти, но теперь между ними качественная разница. Они будут выполнять разные обязанности в команде. Мы выбираем капитана И заместителя независимо друг от друга. Поэтому применим правило умножения вариантов (И-правило). Из 9-ти человек капитана можно выбрать 9-тью способами. Его заместителя из оставшихся 8-ми человек - 8-мью способами. Общее число вариантов: 9·8 = 72.
Задача 2: Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?
Решение: На пьедестале почёта находятся 3 команды из 10, и для них очень существенно, кто какое место занял, т.е. порядок следования. Составление групп с учетом порядка следования - размещения. Число размещений определяем по формуле
А103 = 10!/(10 - 3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720.
Задача 3: На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?
Решение: Число способов встать в очередь равно числу перестановок 7-ми друзей в пределах этой очереди. P7 = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040.
Задача4: Сколько различных трёхзначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).
Решение: Трёхзначное число состоит из 3-ёх цифр, которые нам даны. Поскольку цифры не могут повторяться, то получать различные числа можно только путем их перестановки. Число перестановок из 3-ёх определяем по формуле
P3 = 3! = 1·2·3 = 6.
Задача5: Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?
Решение: Чем отличается салат от описанного ранее обеда? Обед едим последовательно, а салат перемешиваем. Выбранные овощи в салате равноправны, очередность их попадания в общее блюдо не важна. Значит наши выборки это сочетания из 6 по 3.
С63 = 6!/3!/(6 - 3)! = 6!/3!/3! = (4·5·6)/(1·2·3) = 20.
