Задачи на футбольную тематику
| 1. Свяжите числа с футболом: 11, 3, 2018, 45, 25, 1891 / 11, 10.12, 1904. 2. Какую геометрическую фигуру имеет футбольный мяч? 3. Сколько очков получает команда за победу, а сколько за ничью в групповых этапах футбольных чемпионатов? 4. Какие 3 вида геометрических форм имеет стадион? 5. Как называется верхний угол футбольных ворот? 6. Какую дробь можно встретить среди игроков футбольной команды? 7. Существует ли памятник футбольному мячу? Если да, то в каком городе он находится. 8. Что относится к геометрически сложным элементам игры в футбол? 9. Укажите верное соответствие: А) Штрафная площадь Б). Площадь ворот В) Площадь футбольного поля
Задача 1. Чтобы изготовить футбольный мяч, нужно 32 лоскутка кожи: шестиугольников белого цвета и пятиугольников черного цвета. Каждый черный лоскуток граничит
только с белыми, а каждый белый - с тремя черными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета необходимо для изготовления футбольного мяча?
Задача 2. Длина футбольного поля в Лужниках (г. Москва) 105 метров, а ширина - 68 м. Сколько времени потребуется футболисту, чтобы обежать по кромке все поле, если два его шага приходятся на 1 секунду, а ширина шага - 60 см.
Задача 3. Команда провела 3 матча. Один матч она выиграла, другой свела в ничью, в третий - проиграла сопернику. За все матчи команда забила 3 гола и пропустила 1. С каким счетом закончился каждый матч?
Задача 4. В футбольной команде 11 игроков. Их средний возраст равен 22 годам. Во время матча один из игроков выбыл. При этом средний возраст команды стал равен 21 году. Сколько лет выбывшему игроку?
Задача 5. Среди 55000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 85% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?
Задача 6. Футбольные команды из пяти школ участвуют в городском чемпионате. В финал вышли две команды. Еще до турнира 5 болельщиков сказали, что финалистами стали: 1) Б и Г; 2) В и Д; 3) Б и В; 4) А и Г; 5) Г и Д. Один из прогнозов полностью не верный, в других только одна команда указана верно. Какие команды действительно стали финалистами?
Задача 7. 97 команд участвуют в чемпионате мира. Победитель выявляется по такой системе: команды делятся по парам и играют друг против друга. Победители опять делятся на пары и т.д. Сколько игр нужно сыграть, чтобы выявить победителей?
Задача 8. На чемпионат по футболу съехалось n (n 5) команд. Оказалось, что среди любых пяти из них найдется по крайней мере одна, знакомая со всеми остальными из этой пятерки. При каких n отсюда можно заключить, что на чемпионате присутствует команда, знакомая со всеми участниками чемпионата?
Задача 9. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?
Задача 10. В однокруговом турнире по футболу сыграли 6 команд. По итогам турнира каждая команда набрала на 2 очка больше, чем следующая. (За победу в футболе начисляется 3 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0.) Каким был результат матча между командами, занявшими третье и последнее место? |
Решения и ответы
| 11 – 11 игроков в одной команде или 11 – метровый удар. 3 – 3 судьи 2018 - Чемпионат мира по футболу FIFA 2018 г. пройдет в Саранске 45 – 1тайм 45 минут 25 – 25 человек на поле во время игры (11+11+3 судьи) 1891 / 11 – впервые был введен 11 –метровый удар 10.12 - отмечается Официально Всемирный день футбола по инициативе ООН 1904 - создается ФИФА, Международная федерация футбольных ассоциаций.
Задача 1. Пусть х = число белых лоскутков. Тогда черных лоскутков будет (32 - х). Для уравнения узнаем количество границ белых лоскутков с черными. С одной стороны, по условию белый лоскут граничит с тремя черными. Значит, количество границ равно (3*х). С другой стороны, каждый черный лоскут граничит с пятью белыми. Тогда, количество границ будет определяться по формуле 5*(32 -х). Имеем уравнение: 3*х = 5 * (32 - х). 8*х = 160; х =20; Ответ: 20 белых лоскутков.
Задача 2. Футболист бежит по кромке поля, значит, длина его пути равна периметру футбольного поля (прямоугольника): Р = 2 * (105 + 68) = 346 м. Так как длина шага футболиста 0,6 м, то за 1 секунду он пробегает 0,6 * 2 = 1,2 м. Значит, 346 / 1,2 = 288 ,3 с ему требуется, чтобы преодолеть весь периметр. То есть, 288,3 / 60 = 4,8 мин. Ответ: 4,8 минуты.
Задача 3. Учитывая, что сыграно было всего 3 матча, а голов суммарно у команды и ее соперника было 3 = 1 =4, то расклад может быть такой. Первый матч закончился победой 3:0, второй - ничья 0:0, третий - поражение 0:1.
Задача 4. По показателям как, количество человек в команде и средний возраст игрока, можно узнать суммарный возраст игроков. При среднем возрасте 22 года и составе из 11 человек, суммарный возраст равен 242 года.При среднем возрасте 22 года и составе 10 человек, суммарный возраст равна 210 лет. Узнав разницу, получим возраст выбывшего игрока - 32 года.
Задача 5. Задача на нахождение процента от числа. 60% жителей не интересуются футболом. Значит, интересуются им 100% - 60% =40%. Найдем, сколько в городе футбольных болельщиков (40% от 55000). Это получится: 55000:100*40% =22000 или 55000*0,4. Итак, в городе 22000 футбольных болельщиков. Среди них 85% смотрели финал по телевизору. Это составило 22000* 0,85=18700 (человек).
Задача 7. Покажем сначала, что если n четное, то команды, знакомой со всеми остальными участниками чемпионата, может не быть. Действительно, пусть n – 2k, где k – целое число, большее, чем 2. Тогда всех участников соревнований можно разбить на k пар. Пусть в каждой такой паре участники не знакомы друг с другом, а два любых участника из разных пар – знакомы друг с другом. Тогда нет ни одного участника, знакомого со всеми остальными на чемпионате. В то же время, каких бы 5 участников ни взять, среди них самое большее могут оказаться две такие пары. Это значит, какой-то из пяти не будет иметь в данной пятерке парного ему (того, с кем он не знаком) и, значит, будет знаком с другими четырьмя из этой пятерки. Итак, чтобы можно было утверждать, что на чемпионате присутствует команда, знакомая со всеми участниками чемпионата, необходимо, чтобы n было нечетным. Покажем, что при всех нечетных n 5 такая команда найдется. Предположим противное, у каждой команды есть хотя бы один незнакомый ему участник. Тогда, поскольку n нечетное, найдется команда А, у которой не менее двух незнакомых на чемпионате (пусть это команды Б и В). В противном случае всех участников соревнований можно было бы разбить на пары. Тогда две любых из остальных n - 3 команды знакомы друг с другом, в противном случае эти двое вместе с А, Б и В образовывали бы пятерку, противоречащую условию. Возьмем две любые из этих n - 3 команды, скажем Ю и Я. Хотя бы одна из них знакома со всеми командами А, Б и В (иначе пятерка А, Б, В, Ю, Я противоречила бы условию). Поэтому данная команда знакома со всеми остальными. Ответ: при всех нечетных n 5.
Задача 9.
18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит вратарей будет 30-28=2. Ответ: 2 вратаря.
Задача 10. Турнир однокруговой — это значит, что каждая команда с каждой сыграла один матч, а всего в турнире сыграно 15 матчей. Если две команды играют вничью, они набирают в сумме 2 очка, а если одна из них побеждает — то 3. Все команды могли набрать в сумме от 30 до 45 очков. Если последняя команда набрала k очков, то общее число очков равно k + (k + 2) + (k + 4) + (k + 6) + (k + 8) + (k + 10). Следует проверить, что случаи, в которых команды набрали 30 или 36 очков, невозможны. Пусть последняя команда набрала k очков, тогда общее число очков равно 6k + 30, и это должно быть числом между 30 и 45. Отсюда k = 0, k = 1 или k = 2.
Случай 1. k = 0. Всего командами набрано 30 очков, то есть все игры закончились вничью. Но тогда все команды должны были набрать одно и то же число очков. Противоречие.
Случай 2. k = 1. Всего командами набрано 36 очков. Если из 15 игр n закончились вничью, то имеем уравнение 2n + 3·(15 – n) = 36, откуда 45 – n = 36, n = 9. Три последних команды сыграли 12 игр — 3 между собой и 9 игр против остальных команд. Поскольку игр, которые не закончились вничью, во всём турнире было 6, то не менее 6 из этих 12 игр закончились вничью. Значит, не менее 3 из этих ничьих были в матчах против первой тройки команд. Но так как они набрали в сумме всего 9 очков, то в трех играх между собой ими было набрано не более 6 очков! Это означает, что все их игры между собой должны были закончиться вничью, что невозможно, так как последняя команда набрала всего одно очко, в то время как две ничьи против 4-й и 5-й команд принесли бы ей минимум 2 очка. Следовательно, и этот случай приводит к противоречию. (Это, разумеется, не единственное возможное рассуждение, приводящее к противоречию. Вот другой способ рассуждений. При девяти ничьих и шести результативных играх получается следующее: команда-победительница сыграла не менее трех результативных игр, а команда с 1 очком — ровно 4. Тогда все остальные игры между командами завершились вничью. В частности, пятая (предпоследняя) команда сыграла вничью со второй, третьей и четвертой. Но так как она еще и не проиграла шестой команде, то у нее не может оказаться всего 3 очка. Снова противоречие.)
Случай 3. k = 2. Теперь 6k + 30 = 42, поэтому, рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем, что вничью сыграны ровно 3 игры из 15. Как могли эти 3 ничьих распределиться между командами, набравшими 2, 4, 6, 8, 10 и 12 очков? Поскольку число очков в результативных (победных или проигранных) встречах кратно трем, то у последней и у третьей команд было не менее 2 ничьих, а у второй и пятой — не менее одной. Этим количеством «лимит на ничьи» уже исчерпан, так что у последней и третьей команд — ровно две ничьи, у второй и пятой — ровно одна, а у первой и четвертой команд ничьих нет. Если бы матч третьей и последней команды был результативным, то каждая из этих команд должна была бы играть вничью со второй и с пятой, но тогда у тех команд было бы по две ничьи, что невозможно. Значит, третья с шестой командами должны были сыграть вничью.
Для завершения решения убедимся в том, что такой итог турнира действительно возможен. Для этого достаточно нарисовать соответствующую турнирную табличку:
|
