Автор: Александрова З.В., учитель физики и информатики
9 класс
МБОУ СОШ №5 пгт Печенга, Мурманская область
Двоичная арифметика
Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, необходимо освоить выполнение арифметических действий над двоичными числами.
Все позиционные системы счисления «одинаковы», а именно, во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:
- Справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный; Справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком; Правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
- Справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный;
- Справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
- Правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
Сложение
Правила сложения:
0+0=0
1+0=1
0+1=1
1+1=10
результат сложения двух единиц:
ноль и единица переноса в старший разряд
Сложение двоичных чисел выполняются в столбик
Ответы
Примеры:
10110 1001 2 1111 2 101,011 2
+ 101 2 + 1010 2 + 1 2 + 1,11 2
11011 2 10011 2 10000 2 111,001 2
Сложение в двоичной системе счисления выполняется по тем же правилам, что и в десятичной. Два числа записываются в столбик с выравниванием по разделителю целой и дробной части и при необходимости дополняются справа незначащими нулями.
Сложение начинается с крайнего правого разряда. Две единицы младшего разряда объединяются в единицу старшего.
Задание
Сложим 110 2 и 11 2 :
+110 2
11 2
1001 2
Проверка.
Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:
110 2 =1*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 = 6 10 ;
11 2 = 1*2 1 + 1*2 0 = 3 10 ;
6 10 + 3 10 = 9 10 .
Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:
1001 2 = 1*2 3 +0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 9 10
Сравним результаты – сложение выполнено правильно.
Умножение
Правила умножения:
0*0=0
1*0=0
0*1=0
1*1=1
Умножение двоичных чисел производится в столбик аналогично умножению десятичных чисел.
Примеры:
1011 2 1101 2
*101 2 *11 2
+ 1011 1101
1011 +1101
110111 2 100111 2
Ответы
Вычитание
Правила вычитания:
0-0=0
1-0=1
1-1=0
10-1=1
(из нуля вычесть единицу нельзя, поэтому для вычитания необходимо занять единицу у старшего разряда)
При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак.
Ответы
Примеры:
1011 2 1001 2 1011 2
-111 2 -110 2 - 11 2
100 2 11 2 1000 2
В случаях, когда занимается единица старшего разряда, она дает две единицы младшего разряда. Если занимается единица через несколько разрядов, то она дает по одной единице во всех промежуточных нулевых разрядах и две единицы в том разряде, для которого занималась.
Деление
Деление в двоичной системе счисления выполняется, как и в десятичной системе
Пример:
10101 111
- 111 11 2
111
- 111
0
_ 101 11
11 1,10 2
10
Таблица сложения, вычитания и умножения для двоичной системы счисления
Сложение
Вычитание
0 + 0 = 0
Умножение
0 - 0 = 0
0 + 1 = 1
1 - 0 = 1
0 ∙ 0 = 0
1 + 0 = 1
0 ∙ 1 = 0
1 - 1 = 0
1 + 1 = 10
10 - 1 = 1
1 ∙ 0 = 0
1 ∙ 1 = 1
Самостоятельная работа
Ответы
№ 1 Выполните сложение: №2 Выполните умножение:
- 100101 2 + 101 2 = 101010 2 1) 100001 2 * 10010 2 = 1001010010 2
- 101101 2 + 111 2 = 110100 2 2) 110001 2 * 1011 2 = 1000011011 2
- 11001,1 2 + 11,01 2 = 11100,11 2 3) 101 2 * 101 2 = 11001 2
№ 3 Выполните вычитание: №4 Выполните деление:
- 1000101 2 - 1010 2 = 111011 2 1) 10000 2 : 10 2 = 100 2
- 1101101 2 - 110 2 = 1100111 2 2) 101101 2 : 101 2 = 1001 2
- 110101 2 - 101 2 = 110000 2 3) 100011 2 : 11 2 = 1011 2
Решите задачи в двоичной системе счисления
- На берегу моря лежало 10 камешков. Набежавшая волна выбросила еще несколько. Их стало 1000. Сколько камешков было выброшено волной?
- Греются на солнышке воробьи. На нижней ветке их было 110, на верхней – на 10 меньше. Сколько всего было воробьев?
- Младший брат учится в 101 классе. Старший на 11 лет старше. В каком классе учится старший брат?
- В кабинетах биологии и информатики 1010 кактусов. В биологии их 111. Сколько кактусов в кабинете информатики?
- У первоклассника Миши 1111 палочек для счета. У Коли 101. На сколько палочек у Миши больше, чем у Коли?
Домашнее задание
1. Выучить правила выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления, а так же таблицы сложения, вычитания и умножения в двоичной системе счисления.
2. Выполните действия:
- 110010 2 + 111,01 2 ; 11110000111 2 – 110110001 2 ; 10101,101 2 * 111 2 ; 10101110 2 /101 2 .
- 110010 2 + 111,01 2 ; 11110000111 2 – 110110001 2 ; 10101,101 2 * 111 2 ; 10101110 2 /101 2 .
- 110010 2 + 111,01 2 ;
- 11110000111 2 – 110110001 2 ;
- 10101,101 2 * 111 2 ;
- 10101110 2 /101 2 .
