Урок в 10 классе "Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной. "

Урок алгебры в 10 классе по теме «Предел функции в точке»

Цель урока: формирование у учащихся наглядно – интуитивных представлений о пределе функции в точке.

Задачи урока:

• ввести понятие предела функции в точке;

• рассмотреть геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке;

• ввести понятие непрерывности функции;

• рассмотреть правила о нахождении предела суммы, произведения и частного двух функций;

• рассмотреть примеры нахождения предела функции в точке.

Тип урока: урок объяснение нового материала.

Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно поисковые.

Ход урока.

1. Организационный момент.- Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока: «Предел функции в точке». Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями «предел функции в точке», «непрерывность функции», а также рассмотрим правила вычисления предела функции в точке.

2. Мотивация изучения темы.- Эта тема очень важна для дальнейшего изучения алгебры: понятие предела функции имеет большое значение для построения графиков функций. Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать понятие производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.

3. Подготовительная работа.- Перед тем как начать изучать новую тему выполним следующее задание: постройте график функции если:

а) при х = 4 значение функции не существует; (рис.1)

б) при х = 4 значение функции равно 3; (рис.2)

(В ходе выполнения этого упражнения учащиеся повторяют нахождение области определения функции, а также построение графика функции, которая при данном значении аргумента либо имеет значение, либо не определена).

Рисунок 1 Рисунок 1

4. Изучение нового материала.

- Воспользуемся построенными графиками функций. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее, это три разные функции.

- Чем они отличаются друг от друга?

(Они отличаются друг от друга своим поведением в точке х = 4).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на первом графике?

(Для функции при х = 4 значение функции не существует, функция в указанной точке не определена).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на втором графике?

(Для функции при х = 4 значение функции существует, но оно отличается от естественного значения функции в указанной точке).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на третьем графике?

(Для функции при х = 4 значение функции существует, и оно равно естественному значению функции в указанной точке, то есть двум).

- Если мы исключим точку х = 4 из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.

- Для всех трех случаев используется одна и та же запись: .

- В общем случае эта запись выглядит следующим образом: .

- Эту запись читаем так: «предел функции y=f(x) при стремлении х к а равен b».

- А теперь ответьте на такой вопрос: какую из трех рассмотренных функций естественно считать непрерывной в точке х = 4?

(Непрерывной будет третья функция)

- Так как эта функция непрерывна, то она удовлетворяет условию . И функцию f (x) называют непрерывной в точке х = а.

- Иными словами, функцию y = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.

- Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

- При изучении различных функций (линейной, квадратичной, степенной, иррациональной, тригонометрических) мы отмечали, что они являются непрерывными либо на всей числовой прямой, либо на промежутке. Исходя из этого, можно сформулировать следующее утверждение: если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x).

5. Решение задач.- Для закрепления понятия предела функции в точке выполним номер 678.

- Решим номер 39.19 (а, б).

№ 39.19 (а, б). Постройте график какой – нибудь функции y = g (x), обладающей заданным свойством:

а) , (рис.4)

б) . (рис.5)

- Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций.

Пример 1. Вычислить: .

Решение. Выражение х³ – 2х² + 5х + 3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х³ – 2х² + 5х + 3 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: .

Ответ: 7.

- Для решения следующего примера нам потребуются правила вычисления предела функции в точке.

Правило 1. .

Правило 2. .

Правило 3. .

Пример 2. Используя эти правила, вычислим .

Решение. Выражение определено в любой точке х  0, в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х = 2. Имеем: .

Ответ: 0.- Решим номер 39.23.

№ 39.23. Вычислите: а) ; б) ; в) ;г) .

Решение. а) . Выражение х² – 3х + 5 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х² – 3х + 5 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: .

Ответ: 3.б) . Выражение определено в любой точке х  , в частности, в точке х = . Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = , а потому предел функции при стремлении х к равен значению функции в точке х = . Имеем: .

Ответ: 0.

в) . Выражение х² + 6х – 8 определено в любой точке х, в частности, в точке х = - 1. Следовательно, функция у = х² + 6х – 8 непрерывна в точке х = - 1, а потому предел функции при стремлении х к - 1 равен значению функции в точке х = - 1.

Имеем: .

Ответ: - 1.

г) . Выражение определено в любой точке х  , в частности, в точке х = . Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = , а потому предел функции при стремлении х к равен значению функции в точке х = .

Имеем: .

- Вы заметили, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Если подставить значение х = - 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции и тождественны при условии х  - 3. Но при вычислении предела функции при х  - 3 саму точку х = - 3 можно исключить из рассмотрения. Значит, .Ответ: - 1,5.

№ 39.27. Вычислите

: а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение.

а) . Если подставить значение х = 0 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции и тождественны при условии х  0, х  1. Значит, .

Ответ: 0.

б) . Если подставить значение х = - 1 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции и тождественны при условии х  0, х  - 1. Значит, .

Ответ: - 1.

в) . Если подставить значение х = 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции и тождественны при условии х  3. Значит, .

Ответ: 3.

г) . Если подставить значение х = - 5 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции и тождественны при условии х  0, х  - 5. Значит, .

Ответ: - .

6. Домашнее задание.

- Открываем дневники и записываем домашнее задание: номера 39.19 (а, б), 39.24, 39.28. Эти номера подобны тем, которые мы решали в классе, образец записи у вас в тетрадях.

7. Итог урока.

- Сегодня на уроке мы познакомились с понятием предела функции, непрерывности функции в точке и на промежутке, правила вычисления предела в точке, научились вычислять предел функции в точке.