Урок по алгебре "Свойства функций"

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

§3

Свойства

функции

четность

нечетность

Монотонность:

непрерывность

Возрастание;

убывание

выпуклость

нули функции

( значения аргумента,

в которых значение

Функции равно нулю)

Наибольшее и

наименьшее

значения

функции

периодичность

Промежутки

знакопостоянства

(промежутки, в которых функция

принимает только положительные

или только отрицательные значения)

Экстремумы:

точка максимума,

точка минимума

ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 1

Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве X Є D(f) , если для любых двух элементов x 1 и х 2 множества Х, таких, что x 1 2 , выполняется неравенство

f(x 1 ) 2 ) .

f(x 2 ) ." width="640"
ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 2
Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве X Є D(f) , если для любых двух элементов x 1 и х 2 множества Х, таких, что x 1 2 , выполняется неравенство
f(x 1 ) f(x 2 ) .

Функция возрастает ( убывает ), если большему значению аргумента соответствует большее( меньшее ) значение функции.

Термины «возрастающая» и «убывающая» функции объединяют общим названием монотонная функция.
Исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность .

ПРИМЕР № 1.
Исследовать на монотонность функцию
у = – 3х + 7.
Выполним № 2.2(в,г), 2.4(в,г), 2.5(а,в)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 3
Функция называется ограниченной снизу на множестве X Є D(f) , если существует такое число m , что для любого значения х Є D(f) выполняется неравенство f(x) m .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 4
Функция называется ограниченной сверху на множестве X Є D(f) , если существует такое число m , что для любого значения х Є D(f) выполняется неравенство f(x) .

Выполним № 2.6 (в), 2.7 (в)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 5
Число m называется наименьшим значением функции у = f(x) на множестве X Є D(f) , если:
Существует число x 0 Є D(f) такое, что f(x 0 ) = M ;
Для любого значения х Є Х выполняется неравенство f(x) ≥ f(x 0 ) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 6
Число m называется наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X Є D(f) , если:
Существует число x 0 Є D(f) такое, что f(x 0 ) = M ;
Для любого значения х Є Х выполняется неравенство f(x) ≤ f(x 0 ) .
Выполним № 2.8 – 2.10 (г)

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
1. Область определения функции D(f) .
2. Промежутки возрастания и убывания (монотонность) функции.
3. Ограниченность функции.
4. Наибольшее и наименьшее значения функции.
5. Непрерывность функции.
6. Область значений функции Е(f) .
7. Выпуклость функции.
0 k=0 k" width="640"
Линейная функция
функция вида y = k х + b графиком функции является прямая
1. D ( f ) = R ;
E ( f ) = R ;
k0
k=0
k

Свойства функции y=kx+b (k≠0)

1. Область определения D(f)
2. Монотонность
3. Ограниченность
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Непрерывность
6. Область значений E(f)
7. Выпуклость
D(f)=(-∞;+∞).
Возрастает , если k0 , убывает, если k
Не ограничена ни снизу, ни сверху.
Нет ни наибольшего ,ни наименьшего значения.
Функция непрерывна.
E(f) )=(-∞;+∞).
О выпуклости говорить не имеет смысла.

Квадратичная функция
функция вида y = kx², k 0; графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх
0) 1. Область определения D(f)=(-∞;+∞). Убывает на луче (-∞;0], возрастает на луче[0;+∞). Ограничена снизу, не ограничена сверху. Yнаим.=0; Yнаиб. не существует. Функция непрерывна. E(f) )= [0;+∞). Выпукла вниз. 2. Монотонность 3. Ограниченность 4. Наибольшее и наименьшее значения функции 5. Непрерывность 6. Область значений 7. Выпуклость" width="640"
Свойства функции y=kx² (k0)
1. Область определения
D(f)=(-∞;+∞).
Убывает на луче (-∞;0], возрастает на луче[0;+∞).
Ограничена снизу, не ограничена сверху.
Yнаим.=0; Yнаиб. не существует.
Функция непрерывна.
E(f) )= [0;+∞).
Выпукла вниз.
2. Монотонность
3. Ограниченность
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Непрерывность
6. Область значений
7. Выпуклость
0 k функция вида y = ; графиком функции является гипербола x k" width="640"
Обратная пропорциональность
k0
k
функция вида y = ; графиком функции является гипербола
x
k
0 и выпукла вниз x2. Монотонность 3. Ограниченность 4. Наибольшее и наименьшее значения функции 5. Непрерывность 6. Область значений 7. Выпуклость" width="640"
Свойства функции y=k/x (k
1. Область определения
D(f)=(-∞;0)U(0;+∞).
Возрастает на всей области определения.
Не ограничена ни снизу, ни сверху.
Нет ни наибольшего ,ни наименьшего значения.
Функция непрерывна на открытом луче (-∞;0) и на открытом луче (0;+∞).
E(f) )=(-∞; 0)U(0;+∞).
Выпукла вверх при x0 и выпукла вниз x
2. Монотонность
3. Ограниченность
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Непрерывность
6. Область значений
7. Выпуклость
0) 1 . Область определения 2. Монотонность 3. Ограниченность 4. Наибольшее и наименьшее значения функции 5. Непрерывность 6. Область значений 7. Выпуклость" width="640"
Свойства функции y=k/x (k0)
1 . Область определения
2. Монотонность
3. Ограниченность
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Непрерывность
6. Область значений
7. Выпуклость
D(f)=(-∞;0)U(0;+∞).
Убывает на всей области определения.
Не ограничена ни снизу, ни сверху.
Нет ни наибольшего ,ни наименьшего значения.
Функция непрерывна на открытом луче (-∞;0) и на открытом луче (0;+∞).
E(f) )=(-∞; 0)U(0;+∞).
Выпукла вверх при x0.

Функция корня
функция вида y = ; графиком функции является ветвь параболы.
1. D ( f ) = [0;∞);
2. E ( f ) = [0;∞);

Функция модуля
функция вида y = | x |;
1. D ( f ) = R ;
2. E ( f ) = [0;∞);
3. график функции на промежутке [0;∞) совпадает с графиком функции у = х , а на промежутке (-∞;0] – с графиком функции у = - х

Выполним № 2.13, 2.15
Домашнее задание
№ 2.2,2.4 – а
№ 2.8 и 2.9 – а
№ 2.12

Укажите область определения функции.

Укажите область определения функции

Найдите область определения этой функции.

Укажите область определения этой функции.

Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке.

Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке.

Укажите множество значений функции

Найдите множество значений этой функции.

Укажите множество значений функции

Четность и нечетность функций
Функция у=f(x), называется чётной , если область её определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство
f(-x)=f(x)

Функция у=f(x) называется нечётной , если область её определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Укажите график нечетной функции.

Укажите график нечетной функции.

Укажите график четной функции.

Укажите график четной функции.

Алгоритм исследования
Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объяснить, что функция ни четная, ни нечетная. Если да, то продолжить проверку.
Составить выражение f(-x).
Сравнить f(x) и f(-x)
Если f(x) = f(-x), то функция четная
Если f(-x) = -f(x), то функция нечетная
В другом случае функция является ни четной, ни нечетной.

Обратная функция

Определение 1: Функцию y=f(x) называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Какая из предложенных функций обратима?
Если функция монотонная на промежутке, то она обратима.

Пример 1:
Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R.
Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим
Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x2, х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, можно сделать вывод об аналитическом выражении для обратной функции.