![СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_0.jpg)
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
![§3 Свойства функции четность нечетность Монотонность: непрерывность Возрастание; убывание выпуклость нули функции ( значения аргумента, в которых значение Функции равно нулю) Наибольшее и наименьшее значения функции периодичность Промежутки знакопостоянства (промежутки, в которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения) Экстремумы: точка максимума, точка минимума](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_1.jpg)
§3
Свойства
функции
четность
нечетность
Монотонность:
непрерывность
Возрастание;
убывание
выпуклость
нули функции
( значения аргумента,
в которых значение
Функции равно нулю)
Наибольшее и
наименьшее
значения
функции
периодичность
Промежутки
знакопостоянства
(промежутки, в которых функция
принимает только положительные
или только отрицательные значения)
Экстремумы:
точка максимума,
точка минимума
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 1 Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве X Є D(f) , если для любых двух элементов x 1 и х 2 множества Х, таких, что x 1 2 , выполняется неравенство f(x 1 ) 2 ) .](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_2.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 1
Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве X Є D(f) , если для любых двух элементов x 1 и х 2 множества Х, таких, что x 1 2 , выполняется неравенство
f(x 1 ) 2 ) .
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_3.jpg)
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_4.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 2
Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве X Є D(f) , если для любых двух элементов x 1 и х 2 множества Х, таких, что x 1 2 , выполняется неравенство
f(x 1 ) f(x 2 ) .
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_5.jpg)
![Функция возрастает ( убывает ), если большему значению аргумента соответствует большее( меньшее ) значение функции.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_6.jpg)
- Функция возрастает ( убывает ), если большему значению аргумента соответствует большее( меньшее ) значение функции.
![Термины «возрастающая» и «убывающая» функции объединяют общим названием монотонная функция. Исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность .](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_7.jpg)
- Термины «возрастающая» и «убывающая» функции объединяют общим названием монотонная функция.
- Исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность .
![ПРИМЕР № 1. Исследовать на монотонность функцию у = – 3х + 7. Выполним № 2.2(в,г), 2.4(в,г), 2.5(а,в)](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_8.jpg)
ПРИМЕР № 1.
Исследовать на монотонность функцию
у = – 3х + 7.
Выполним № 2.2(в,г), 2.4(в,г), 2.5(а,в)
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 3](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_9.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 3
- Функция называется ограниченной снизу на множестве X Є D(f) , если существует такое число m , что для любого значения х Є D(f) выполняется неравенство f(x) m .
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_10.jpg)
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 4](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_11.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 4
- Функция называется ограниченной сверху на множестве X Є D(f) , если существует такое число m , что для любого значения х Є D(f) выполняется неравенство f(x) .
![Выполним № 2.6 (в), 2.7 (в)](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_12.jpg)
Выполним № 2.6 (в), 2.7 (в)
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 5 Число m называется наименьшим значением функции у = f(x) на множестве X Є D(f) , если:](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_13.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 5
Число m называется наименьшим значением функции у = f(x) на множестве X Є D(f) , если:
- Существует число x 0 Є D(f) такое, что f(x 0 ) = M ;
- Для любого значения х Є Х выполняется неравенство f(x) ≥ f(x 0 ) .
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 6 Число m называется наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X Є D(f) , если: Существует число x 0 Є D(f) такое, что f(x 0 ) = M ; Для любого значения х Є Х выполняется неравенство f(x) ≤ f(x 0 ) . Выполним № 2.8 – 2.10 (г)](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_14.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 6
Число m называется наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X Є D(f) , если:
- Существует число x 0 Є D(f) такое, что f(x 0 ) = M ;
- Для любого значения х Є Х выполняется неравенство f(x) ≤ f(x 0 ) .
Выполним № 2.8 – 2.10 (г)
![СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_15.jpg)
СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
- 1. Область определения функции D(f) .
- 2. Промежутки возрастания и убывания (монотонность) функции.
- 3. Ограниченность функции.
- 4. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- 5. Непрерывность функции.
- 6. Область значений функции Е(f) .
- 7. Выпуклость функции.
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_16.jpg)
Линейная функция
- функция вида y = k х + b графиком функции является прямая
- 1. D ( f ) = R ;
- E ( f ) = R ;
k0
k=0
k
![Свойства функции y=kx+b (k≠0) 1. Область определения D(f) 2. Монотонность 3. Ограниченность 4. Наибольшее и наименьшее значения функции 5. Непрерывность 6. Область значений E(f) 7. Выпуклость](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_17.jpg)
Свойства функции y=kx+b (k≠0)
1. Область определения D(f)
2. Монотонность
3. Ограниченность
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Непрерывность
6. Область значений E(f)
7. Выпуклость
- D(f)=(-∞;+∞).
- Возрастает , если k0 , убывает, если k
- Не ограничена ни снизу, ни сверху.
- Нет ни наибольшего ,ни наименьшего значения.
- Функция непрерывна.
- E(f) )=(-∞;+∞).
- О выпуклости говорить не имеет смысла.
![Квадратичная функция](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_18.jpg)
Квадратичная функция
- функция вида y = kx², k 0; графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_19.jpg)
Свойства функции y=kx² (k0)
1. Область определения
- D(f)=(-∞;+∞).
- Убывает на луче (-∞;0], возрастает на луче[0;+∞).
- Ограничена снизу, не ограничена сверху.
- Yнаим.=0; Yнаиб. не существует.
- Функция непрерывна.
- E(f) )= [0;+∞).
- Выпукла вниз.
2. Монотонность
3. Ограниченность
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Непрерывность
6. Область значений
7. Выпуклость
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_20.jpg)
Обратная пропорциональность
k0
k
- функция вида y = ; графиком функции является гипербола
x
k
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_21.jpg)
Свойства функции y=k/x (k
1. Область определения
- D(f)=(-∞;0)U(0;+∞).
- Возрастает на всей области определения.
- Не ограничена ни снизу, ни сверху.
- Нет ни наибольшего ,ни наименьшего значения.
- Функция непрерывна на открытом луче (-∞;0) и на открытом луче (0;+∞).
- E(f) )=(-∞; 0)U(0;+∞).
- Выпукла вверх при x0 и выпукла вниз x
2. Монотонность
3. Ограниченность
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Непрерывность
6. Область значений
7. Выпуклость
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_22.jpg)
Свойства функции y=k/x (k0)
1 . Область определения
2. Монотонность
3. Ограниченность
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Непрерывность
6. Область значений
7. Выпуклость
- D(f)=(-∞;0)U(0;+∞).
- Убывает на всей области определения.
- Не ограничена ни снизу, ни сверху.
- Нет ни наибольшего ,ни наименьшего значения.
- Функция непрерывна на открытом луче (-∞;0) и на открытом луче (0;+∞).
- E(f) )=(-∞; 0)U(0;+∞).
- Выпукла вверх при x0.
![Функция корня](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_23.jpg)
Функция корня
- функция вида y = ; графиком функции является ветвь параболы.
- 1. D ( f ) = [0;∞);
- 2. E ( f ) = [0;∞);
![Функция модуля функция вида y = | x |; 1. D ( f ) = R ; 2. E ( f ) = [0;∞); 3. график функции на промежутке [0;∞) совпадает с графиком функции у = х , а на промежутке (-∞;0] – с графиком функции у = - х](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_24.jpg)
Функция модуля
функция вида y = | x |;
1. D ( f ) = R ;
2. E ( f ) = [0;∞);
3. график функции на промежутке [0;∞) совпадает с графиком функции у = х , а на промежутке (-∞;0] – с графиком функции у = - х
![Выполним № 2.13, 2.15 Домашнее задание № 2.2,2.4 – а № 2.8 и 2.9 – а № 2.12](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_25.jpg)
Выполним № 2.13, 2.15
Домашнее задание
№ 2.2,2.4 – а
№ 2.8 и 2.9 – а
№ 2.12
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_26.jpg)
![Укажите область определения функции.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_27.jpg)
Укажите область определения функции.
![Укажите область определения функции](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_28.jpg)
Укажите область определения функции
![Найдите область определения этой функции.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_29.jpg)
Найдите область определения этой функции.
![Укажите область определения этой функции.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_30.jpg)
Укажите область определения этой функции.
![Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_31.jpg)
Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке.
![Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_32.jpg)
Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке.
![Укажите множество значений функции](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_33.jpg)
Укажите множество значений функции
![Найдите множество значений этой функции.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_34.jpg)
Найдите множество значений этой функции.
![Укажите множество значений функции](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_35.jpg)
Укажите множество значений функции
![Четность и нечетность функций Функция у=f(x), называется чётной , если область её определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство f(-x)=f(x) Функция у=f(x) называется нечётной , если область её определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство f(-x)=-f(x)](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_36.jpg)
Четность и нечетность функций
Функция у=f(x), называется чётной , если область её определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство
f(-x)=f(x)
Функция у=f(x) называется нечётной , если область её определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство f(-x)=-f(x)
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_37.jpg)
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_38.jpg)
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_39.jpg)
![Укажите график нечетной функции.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_40.jpg)
Укажите график нечетной функции.
![Укажите график нечетной функции.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_41.jpg)
Укажите график нечетной функции.
![Укажите график четной функции.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_42.jpg)
Укажите график четной функции.
![Укажите график четной функции.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_43.jpg)
Укажите график четной функции.
![Алгоритм исследования](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_44.jpg)
Алгоритм исследования
- Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объяснить, что функция ни четная, ни нечетная. Если да, то продолжить проверку.
- Составить выражение f(-x).
- Сравнить f(x) и f(-x)
- Если f(x) = f(-x), то функция четная
- Если f(-x) = -f(x), то функция нечетная
- В другом случае функция является ни четной, ни нечетной.
![Обратная функция](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_45.jpg)
Обратная функция
![Определение 1: Функцию y=f(x) называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_46.jpg)
Определение 1: Функцию y=f(x) называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.
![Какая из предложенных функций обратима? Если функция монотонная на промежутке, то она обратима.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_47.jpg)
Какая из предложенных функций обратима?
Если функция монотонная на промежутке, то она обратима.
![Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение. Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_48.jpg)
Пример 1:
Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R.
Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим
Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.
![Пример 2: Показать, что для функции y=x2, х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение. Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, можно сделать вывод об аналитическом выражении для обратной функции.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/10/06/i_5d998350f31a4/img_phpQk3EmB_svojstva-funkcij-10-klass_49.jpg)
Пример 2: Показать, что для функции y=x2, х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, можно сделать вывод об аналитическом выражении для обратной функции.